自動控制原理 有志者事競成 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 of 連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的 數(shù)學(xué)模型 是指描述系統(tǒng)或元件輸入量、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。 建立數(shù)學(xué)模型，可以使用 解析法 和 實驗法 數(shù)學(xué)模型 時域模型 頻域模型 方框圖和 信號流圖 狀態(tài)空間模型 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 本章重點內(nèi)容 系統(tǒng)微分方程的列寫 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 系統(tǒng)框圖的建立和等效變換 信號流圖和梅遜公式的應(yīng)用 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法 例 2圖 2()()()(22c )()( )()()()( )()()(22動態(tài)數(shù)學(xué)模型為二階常系數(shù)線性微分方程。 單系統(tǒng)微分方程的建立 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2已知一 寫出該網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出之間的微分方程。 解： 設(shè)回路電流 11 c )(1 2111 2221 c 2221 2U 由、得 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由導(dǎo)出 將 ，則得 22211 222111 )(2222211 )(222111222211 )(222111222121大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 試證明圖 (a)、 (b)所示的機、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng) (即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型 )。 圖 2 - 2 機 電 相 似 系 統(tǒng)B 1B 2K 1K 2X rX c( a ) 機 械 系 統(tǒng)R 2 C 2R 1C 1U r U c( b ) 電 氣 系 統(tǒng)例 2連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對電氣網(wǎng)絡(luò) (b)，列寫電路方程如下： )K 121)(X)( i UU)i(R 對機械網(wǎng)絡(luò)：輸入為 出為 據(jù)力平衡，可列出其運動方程式 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 利用 、 、 求出 代入 將 兩邊微分得 1)211(21)211(1()( 121)(X)( 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 力 機系統(tǒng)（ a）和電系統(tǒng)（ b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)） 相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。 為我們利用簡單易實現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機械系統(tǒng) . 因為一般來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗進行研究。 機械 阻尼 尼 性系數(shù) 性系數(shù) 氣 電阻 阻 找到控制系統(tǒng)的總輸入量和最終的輸出量 ，明確系統(tǒng)中各元件的連接方式和各自的工作原理 ; 分別列寫出各個典型元件的微分方程 ， 組成方程組 ; 消去所有中間變量 ， 得到系統(tǒng)最終輸入量和輸出量的關(guān)系式 ,即為控制系統(tǒng)的微分方程 。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 2DC 當(dāng)電動機的負(fù)載或電網(wǎng)電壓變化時，由于系統(tǒng)的 自動控制作用，電動機的轉(zhuǎn)速能近似的維持不變。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 解：系統(tǒng)框圖 執(zhí)行元件 參考輸入 控制變量 被控制量 擾動量 被控對象 控制器 測量元件 偏差 gU 1自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (1) 放大器 ( 假設(shè)無慣性 （ 2）直流他勵發(fā)電機 (DC 為分析簡化起見，假設(shè)拖動發(fā)電機 的原動機的轉(zhuǎn)速 恒定不變，發(fā) 電機沒有磁滯回線和剩磁。此外， 還設(shè)發(fā)電機的磁化曲線為一直線， 即 。 11 n/ 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由電機學(xué)的原理得 其中 。把式 (2入式 (2于是得 式中， 1（ 2 （ 2 2 12 ；12 C i大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (3) 直流他勵電動機 (DC 由基爾霍夫定律和 牛頓第二定律得 752大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由上述三式中消去中間變量 后，得 式中 , 稱為電動機的機電時間常數(shù)； 稱為電動機的電氣時間常數(shù)； 的量綱與時間的量綱相同。 ae )(122 (2 52 和大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (4) 測速發(fā)電機 測速發(fā)電機的磁場恒定不變。 測速發(fā)電機發(fā)出的電壓與轉(zhuǎn)速成正比 (5) 比較環(huán)節(jié) nu (2 (2 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)方程 : 對整個系統(tǒng)而言，引起系統(tǒng)運動的外部因素是給定電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。其余的物理量均為中間變量，經(jīng)消元后得 )()1()()(222233(2大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 )()(.)()()()(.)()(0111101111線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 解析法建立微分方程的一般步驟是 根據(jù)實際工作情況，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 1 從輸入端開始，按照信號的傳遞時序及方向，根據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定律，列寫出變化（運動）過程中的微分方程組； 2 消去中間變量，得到只包含輸入、輸出量的微分方程； 3 標(biāo)準(zhǔn)化工作 :將與輸入有關(guān)的各項放在等號的右側(cè)，即將與輸出有關(guān)的各項放在等號的左側(cè)，并按照降冪排列。 4 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性數(shù)學(xué)模型的線性化 連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 絕對的線性元件和線性系統(tǒng)不存在 非本質(zhì)非線性 本質(zhì)非線性 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性化 :在滿足一定條件的前提下，用近似的線性系統(tǒng)代替非線性方程。 線性化的基本條件 :非線性特性必須是非本質(zhì)的，系統(tǒng)各變量對于 工作點 僅有微小的偏離。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微偏法 :若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級數(shù)理論可知，可在給定工作點鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并略去二階及二階以上的各項，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線性化的方法 : 設(shè)一非線性元件的輸入為 x、輸出為 y，它們間的關(guān)系如圖所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式為 )( (2大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在給定工作點 附近 ， 將上式展開泰勒級數(shù) )(00 202200 )(!21)()()(00 附近增量 的變化很小，則可略去式中 項及其后面所有的高階項，這樣，上式近似表示為 )( 00 020 )( )( 00 (2 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 或?qū)憺?（ 2 00000)( ，式中， 式（ 2是式（ 2線性化方程。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 疊加原理 ： 可疊加性和齊次性 線性系統(tǒng)的基本特性 22( ) ( ) ( ) ( )d x t d x tm f K x t f td t d t當(dāng) f(t)=f1(t)時，上述方程的解為 x1(t)； 當(dāng) f(t)=f2(t)時，上述方程的解為 x2(t)； 如果 f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解 為 x(t)= x1(t)+x2(t),這就是 疊加性 當(dāng) f(t)=t)時，上述方程的解為 x1(t)=t),這就是 齊次性 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 10y12 上線性化。求用線性化方程來計算當(dāng) x=5，y=10時 解：由于研究的區(qū)域為5x7 、 10y12 ，故選擇工作點 ， 1。于是 z0= 11=66. 求在點 ， 1， 6附近非線性方程的線性化表達式。將非線性方程在點x0,y0,忽略其高階項，則有 )()( 000 11000 性化方程式為： 1(6(z=11x+6 x=5,y=10時， 10=50 由線性化方程求得的 1x+6y=55+609 因此，誤差為 50，表示成百分?jǐn)?shù) %2501 例 2把非線性方程 z=區(qū)域 5x7 、 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例子：直流他勵發(fā)電機磁化曲線的線性化 設(shè)發(fā)電機原工作于磁化曲線的 令發(fā)電機的勵磁電壓增加 ，求其增量電動勢 的變化規(guī)律。 1u連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若發(fā)電機在小 （ 增量 ） 信號勵磁電壓的作用下 ， 工作點 從而可以通過 且依此切線 在 平衡點 發(fā)電機的方程為 當(dāng)勵磁電壓增加 后 ， 則有 100 （ 2 （ 2 （ 2 （ 2 1u010 1100 )( )( 010 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 由式 （ 2減式 （ 2， 式 （ 2減去式（ 2后得 作上述相減的運算 ， 消去了原平衡工作點 使所求的式 （ 2、 （ 2中的變量均為增量 ， 因而稱這兩個方程式為 增量方程式 。 1 1（ 2 （ 2 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 增量方程只描述了發(fā)電機在平衡工作點 增量勵磁電壓 作用下的運動過程。 對于式（ 2（ 2言，發(fā)電機勵磁曲線的坐標(biāo)原點不是在 處。 因此，發(fā)電機的初始條件變?yōu)榱懔恕?這樣，不僅便于求解方程，而且也是我們以后研究 控制系統(tǒng)時 假設(shè)零初始條件的依據(jù) 。 1u大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 需要注意的是，在式（ 2之所以不寫作 ，而用 表示，原因是那一段磁化曲線不是一直線，即 ，表示電感 而用反電動勢來表示。 ti 常 量大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 把磁化曲線 在平衡工作點 處展開為泰勒級數(shù) 略去上式中 項及其后面所有的高階項 ， 并令 則式 （ 2便簡化為 （ 2 20 )( BB () 00()0()B B B Bf i i i i ，0()i i 200000 )(!21)()()(自動控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 或?qū)懽?式中 為平衡工作點 根據(jù)式 （ 2， 式 （ 2和式 （ 2可改寫為 其中， )( 0 （ 2 )( 0 B BG 2（ 2 （ 2 )()( 0120 BB ，大連民