的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 等差數(shù)列的相關(guān)公式 (1)三個(gè)重要的公式 通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng) 首項(xiàng) (項(xiàng)數(shù) 1 ) 公差，1 1na a n d （ ）遞減數(shù)列：末項(xiàng) 首項(xiàng) (項(xiàng)數(shù) 1 ) 公差，1 1na a n d （ ）回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白 末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上 (末項(xiàng)與首項(xiàng)的 )間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手同時(shí)還可延伸出來這樣一個(gè)有用的公式：a n m d （ ）， ） 項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù) (末項(xiàng) 首項(xiàng) ) 公差 +1 由通項(xiàng)公式可以得到：1 1nn a a d （ ）(若1；1 1nn a a d （ ）(若1 找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的 譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)： 4、 7、 10、 13、 L 、 40、 43、 46 ， 分析：配組： (4、 5、 6)、 (7、 8、 9)、 (10、 11、 12)、 (13、 14、 15)、 L 、 (46、 47、 48)，注意等差是 3 ，那么每組有 3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第 1位，所以 46應(yīng)在最后一組第 1位， 4到 48有 48 4 1 45 項(xiàng)，每組 3 個(gè)數(shù)，所以共 45 3 15 組，原數(shù)列有 15 組 當(dāng)然還可以有其他的配組方法 求和公式：和 =(首項(xiàng) 末項(xiàng) ) 項(xiàng)數(shù) 2 對于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手： (思路 1) 1 2 3 9 8 9 9 1 0 0 L 1 1 0 0 2 9 9 3 9 8 5 0 5 1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3共 50 個(gè) 101（ ） （ ） （ ） （ ）101 50 5050 (思路 2)這道題目，還可以這樣理解： 2 3 4 9 8 9 9 1 0 01 0 0 9 9 9 8 9 7 3 2 12 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1+ 和倍 和即，和( 1 0 0 1 ) 1 0 0 2 1 0 1 5 0 5 0 5 0 (2) 中項(xiàng)定理： 對于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù) 譬如： 4 8 1 2 3 2 3 6 4 3 6 9 2 2 0 9 1 8 0 0 L （ ）， 題中的等差數(shù)列有 9 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 5 項(xiàng)的值是 20，而和恰等于 20 9 ； 6 5 6 3 6 1 5 3 1 1 6 5 3 3 2 3 3 3 3 1 0 8 9 L （ ）， 題中的等差數(shù)列有 33 項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第 17 項(xiàng)的值是 33，而和恰等于 33 33 知識(shí)點(diǎn)撥 等差數(shù)列計(jì)算題 的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 【例 1】 用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？ 3 4 5 6 7 6 7 7 7 8 L 1 3 5 7 8 7 9 9 L 4 7 1 0 1 3 4 0 4 3 4 6 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列 計(jì)算題 【 難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 根據(jù)例 1 的結(jié)果知：算式中的等差數(shù)列一共有 76 項(xiàng) ， 所以： 3 4 5 6 7 6 7 7 7 8 3 7 8 7 6 2 3 0 7 8 L （ ） 算式中的等差數(shù)列一共有 50 項(xiàng)，所以： 1 3 5 7 8 7 9 9 ( 1 9 9 ) 5 0 2 2 5 0 0 L 算式中的等差數(shù)列一共有 15 項(xiàng)，所以： 4 7 1 0 1 3 4 0 4 3 4 6 4 4 6 1 5 2 3 7 5 L （ ） 【答案】 3078 2500 375 【 鞏鞏 固固 】 12 891098 21_。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 2005 年，希望杯，第三屆，四年級(jí)，二試 【解析】 1+2+3+ n+3+2+1= nn，所以原式 =1010=100 【答案】 100 【 鞏鞏 固固 】 1966、 1976、 1986、 1996、 2006 這五個(gè)數(shù)的總和是多少 ? 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì) 算題 【難度】 1 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 第一屆，華杯賽，初賽 【解析】 1986 是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以和 19865 9930。 【答案】 9930 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 110 111 112 126 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 第四屆，走美杯，四年級(jí)，初賽 【解析】 原式 (1 1 0 1 2 6 ) 1 7 2 2 0 0 6 【答案】 2006 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算下面結(jié)果 4 8 1 2 1 6 3 2 3 6 L 6 5 6 3 6 1 5 3 1 L 3 4 5 9 9 1 0 0 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù) (末項(xiàng) 首項(xiàng) ) 公差 1 等差數(shù)列的和 （首項(xiàng)末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2 項(xiàng)數(shù)： 3 6 4 4 1 9 （ ） ； 和： 4 3 6 9 2 1 8 0 （ ） 項(xiàng)數(shù)： 6 5 1 2 1 3 3 （ ） ；和： 1 6 5 3 3 2 3 3 3 3 1 0 8 9 （ ） 項(xiàng)數(shù)： 1 0 0 3 1 1 9 8 （ ） ；和： 3 1 0 0 9 8 2 5 0 4 7 （ ） 【答案】 180 1089 5047 【 鞏鞏 固固 】 用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？ 3 4 5 6 7 6 7 7 7 8 L 例題精講 的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 1 3 5 7 8 7 9 9 L 4 7 1 0 1 3 4 0 4 3 4 6 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 （ 1）算式中的等差數(shù)列一共有 76 項(xiàng)，所以： 3 4 5 6 7 6 7 7 7 8 3 7 8 7 6 2 3 0 7 8 L （ ） （ 2）算式中的等差數(shù)列一共有 50 項(xiàng)，所以： 1 3 5 7 8 7 9 9 ( 1 9 9 ) 5 0 2 2 5 0 0 L （ 3）算式中的等差數(shù)列一共有 15 項(xiàng)，所以： 4 7 1 0 1 3 4 0 4 3 4 6 4 4 6 1 5 2 3 7 5 L （ ） 【答案】 （ 1） 3078 （ 2） 2500 （ 3） 375 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算下列一組數(shù)的和： 105， 110， 115， 120， ， 195， 200 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是 105，末項(xiàng)是 200，但項(xiàng)數(shù)不知道若利用1 ( 1)na a n d ， 可有1( ) 1nn a a d 據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和 解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 1( ) 1nn a a d ( 2 0 0 1 0 5 ) 5 1 95 5 1 20 故數(shù)列的和是： 1( ) 2nS a a n (1 0 5 2 0 0 ) 2 0 2 305 20 2 3050 【答案】 3050 【 鞏鞏 固固 】 聰明的小朋友們， 下吧 4 8 1 2 1 6 3 2 3 6 L 6 5 6 3 6 1 5 3 1 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù) (末項(xiàng) 首項(xiàng) ) 公差 1 等差數(shù)列的和 （首項(xiàng)末項(xiàng)） 項(xiàng)數(shù) 2 項(xiàng)數(shù)： 3 6 4 4 1 9 （ ） ； 和： 4 3 6 9 2 1 8 0 （ ） ； 項(xiàng)數(shù)： 6 5 1 2 1 3 3 （ ） ；和： 1 6 5 3 3 2 3 3 3 3 1 0 8 9 （ ） 【答案】 180 1089 【 鞏鞏 固固 】 巧算下題： 5 0 0 0 2 4 6 9 8 1 0 0 L 1 3 5 7 1 9 9 5 1 9 9 7 1 9 9 9 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì) 算 【解析】 原式 5 0 0 0 2 4 6 9 8 1 0 0 5 0 0 0 2 1 0 0 5 0 2 5 0 0 0 2 5 5 0 2 4 5 0 L（ ） （ ） 這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為 1、末項(xiàng)為 1999，公差為 2 的等差數(shù)列， 項(xiàng)數(shù) 1 9 9 9 1 2 1 1 0 0 0 （ ） ，原式 1 1 9 9 9 1 0 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 （ ） 【答案】 2450 1000000 【 鞏鞏 固固 】 ( 1 2 3 2 0 0 7 2 0 0 8 2 0 0 7 3 2 1 ) 2 0 0 8 的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 第六屆，走美杯，四年級(jí)，初賽 【解析】 觀察原式可知， 1、 2、 32007 分別可與 2007、 2006、 20051 組成 2008，于是括號(hào)中有 2008個(gè) 2008，故原式結(jié)果為 2008。 【答案】 2008 【 鞏鞏 固固 】 2008)2011201020092008200720062005( _ 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 2008 年，第 6 屆，希望杯， 4 年級(jí)， 1 試 【解析】 根據(jù)中項(xiàng)定理 知 : 2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=20087,所以原式 = 200872008=7 【答案】 7 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 150+250+9850+9950= 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 2009 年，第 7 屆，希望杯， 4 年級(jí)， 1 試 【解析】 原式 = ( ) ( ) 1 2 3 4 5 9 8 9 9 5 0 1 9 9 9 9 2 5 0 9 9L 【答案】 99 【例 2】 計(jì)算： 1 3 5 1 9 9 7 1 9 9 9 2 4 6 1 9 9 6 1 9 9 8 ） - （ ） 4 0 0 0 5 1 0 1 5 9 5 1 0 0 L 9 9 1 9 8 2 9 7 3 9 6 4 9 5 5 9 4 6 9 3 7 9 2 8 9 1 9 9 0 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【解析】 （方法一）第一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 1000，第二個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 999，利用求和公式得： 1 1 9 9 9 1 0 0 0 2 2 1 9 9 8 9 9 9 2 1 0 0 0 （ ） （ ） （方法二）第一個(gè)括號(hào)內(nèi)共有 1000 個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)有 999 個(gè)數(shù)把 1 除外，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)依次比第二個(gè)括號(hào)里相應(yīng)的數(shù)大 1，因此可簡捷求和 原式 1 3 2 5 4 1 9 9 9 1 9 9 8 1 1 1l ） （ ） （ ）(共 1000 個(gè) 1) 1000 通過觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再從被減數(shù)中減去這個(gè)和 4 0 0 0 5 1 0 1 5 9 5 1 0 0 4 0 0 0 5 1 0 1 5 9 5 1 0 0 4 0 0 0 5 1 0 0 2 0 2 ） （ ） （ ） 4 0 0 0 1 0 5 0 2 9 5 0 當(dāng)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時(shí)，可以先求這些減數(shù)的和，再從被減數(shù)中減去這個(gè)和 9 9 1 9 8 2 9 7 3 9 6 4 9 5 5 9 4 6 9 3 7 9 2 8 9 1 9 9 0 1 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 3 1 0 0 0 1 0 L 1 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 2 3 1 0 ） 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 （ ） （ ） 5500 55 5445 【答案】 1000 2950 5445 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算 2 4 6 1 9 8 4 1 9 8 6 1 9 8 8 1 3 5 1 9 8 3 1 9 8 5 1 9 8 7 ） （ ） 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【解析】 根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的算式都各有 994 項(xiàng) 原式 2 1 4 3 2 1 4 3 ( 1 9 8 8 1 9 8 7 ) ） （ ） （ ） （ ）11 1 1 1 9 9 4 4 2 4 4 3994 個(gè) 的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 【答案】 994 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 5 4 3 2 1 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 2007 年，第 5 屆，走美杯， 3 年級(jí)，決賽 【解析】 找規(guī)律 并分組計(jì)算如下： 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 5 4 3 2 1 L 2 0 0 3 1= 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 5 4 3 2 1= 1 + 1 + + 1 + 1= 2 0 0 4 4 2 4 43個(gè)【答案】 2004 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 4 6 9 6 9 8 1 0 0 1 3 5 9 5 9 7 9 9 ） （ ） 1 3 4 6 7 9 1 0 1 2 1 3 6 6 6 7 6 9 7 0 L； 1 0 0 0 9 9 9 9 9 8 9 9 7 9 9 6 9 9 5 1 0 6 1 0 5 1 0 4 1 0 3 1 0 2 1 0 1 L 6 1 6 9 2 6 9 9 3 6 9 9 9 4 6 9 9 9 9 5 6 9 9 9 9 9 6 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 和式 2 4 9 8 1 0 0 L ， 1 3 5 9 7 9 9 L 中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再 做減法這樣做，很自然，也比較簡便，有其他更為簡便的解法嗎 ?再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加減運(yùn)算性質(zhì)先做減法： 21 ， 43 ， 65 ， L ， 100 99 ，它們的差都等于 1，然后，計(jì)算等于 1 的差數(shù)有多少個(gè)由于題中 1 至 100 的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減 (以大減小 )，共得 50 個(gè)差數(shù) 1，從而， 原式 2 1 4 3 9 8 9 7 1 0 0 9 9 5 0 L（ ） （ ） （ ） （ ） 以把這個(gè)數(shù)列拆分為兩個(gè)數(shù)列 1 4 7 1 0 1 3 6 7 7 0 6 9 1 2 6 6 6 9 L ，對 它們分別求和：原式 1 7 0 2 4 2 3 6 9 2 3 2 1 6 8 0 （ ） （ ）； 本題也可以按照上題的方法做，但還有更簡便的辦法，把式子中的減法都計(jì)算出來可以得到下式： 1 0 0 0 1 9 9 7 1 1 0 6 1 1 0 3 1 L 這是 1 0 0 0 9 9 7 1 0 6 1 0 3 L 和 1 1 1 1 L 的組合，分別計(jì)算結(jié)果即可： 原式 1 0 0 0 1 0 3 3 0 0 2 1 3 0 0 1 6 5 7 5 0 （ ） 原式 7 0 9 7 0 0 8 7 0 0 0 7 7 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0 0 5 7 0 0 0 0 0 0 4 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 7 7 7 7 7 7 0 9 8 7 6 5 4 7 7 7 7 7 3 1 （ ） 【答案】 50 1680 165750 7777731 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 1 3 5 2 0 0 9 2 4 6 2 0 0 8 ） （ ） 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 方法一：讓學(xué)生用等差數(shù)列求和公式分別計(jì)算前后 兩部分，然后講方法二，這樣可以讓學(xué)生體會(huì) 觀察數(shù)列規(guī)律，動(dòng)腦思考的重要性 原式 1 2 0 0 9 1 0 0 5 2 2 2 0 0 8 1 0 0 4 2 1 0 0 5 （ ） （ ） 方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算 原式1 0 0 5 11 3 2 5 4 2 0 0 9 2 0 0 8 1 1 1 1 1 1 1 0 0 5 4 4 4 2 4 4 4 3個(gè)（ ） （ ） （ ）【答案】 1005 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 4 6 2 0 0 8 1 3 5 2 0 0 7 ） （ ） 的認(rèn)識(shí)與公式運(yùn)用 教師版 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 方法一：等差數(shù)列求和 原式 2 2 0 0 8 1 0 0 4 2 1 2 0 0 7 1 0 0 4 2 1 0 0 4 （ ） （ ） 方法二：把括號(hào)去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算 原式1 0 0 4 12 1 4 3 2 0 0 8 2 0 0 7 1 1 1 1 1 1 1 0 0 4 4 4 4 2 4 4 4 3個(gè)（ ） （ ） （ ） 【答案】 1004 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 0 0 8 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 1 4 3 2 1 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 方法一：原式 2 0 0 8 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 1 4 3 2 1 L（ ） （ ） （ ） 5 0 2 44 4 4 4 5 0 2 2 0 0 8 4 2 4 43個(gè)方法二：原式 2 0 0 8 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 0 5 4 L（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 3 2 12 0 0 8 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 8 L（ ） 方法三： 2 0 0 8 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 2 4 2 3 1 2 L，觀察到這一點(diǎn)就好辦了，改變原來的運(yùn)算順序不難發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)數(shù)放在一起就是 2，就等于說每一個(gè)數(shù)都看成 1 就行了，原式有 2008 項(xiàng)，所以最后答案就是 2008（讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律動(dòng)腦思考的重要性） 【答案】 2008 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 7 9 8 9 9 L 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【 解解 析析 】 原式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 7 9 8 9 9 L（ ） （ ） （ ） （ ） 0 3 6 9 9 63 9 6 9 6 3 3 1 21584 L（ ） （ ） 【答案】 1584 【例 3】 計(jì)算： 1 . 1 3 . 3 5 . 5 7 . 7 9 . 9 1 1 . 1 1 1 3 . 1 3 1 5 . 1 5 1 7 . 1 7 1 9 . 1 9 【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 2 星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】 第十三屆，迎春杯，試題 【 解解 析析 】 原式 5 1 5 5 5 . 5 1 5 . 1 5 52 0 . 5 6 5 1 0 3 . 2 5 （ ）【答案】 【例 4】 計(jì)算 1 2 3 1 9 9 01 9 9 0 1 9 9 0 1 9 9 0 1 9 9 0 考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題 【難度】 3 星 【題型】計(jì)算 【解析