題庫(kù) 教師版 本講是數(shù)論知識(shí)體系中的兩大基本問(wèn)題，也是學(xué)好數(shù)論知識(shí)所必須要掌握的知識(shí)要點(diǎn)。通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生理解并熟練應(yīng)用位值原理的表示形式，掌握進(jìn)制的表示方法、各進(jìn)制間的互化以及二進(jìn)制與實(shí)際問(wèn)題的綜合應(yīng)用。并學(xué)會(huì)在其它進(jìn)制中位值原理的應(yīng)用。從而使一些與數(shù)論相關(guān)的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。 一、位值原理 位值原理的 定義： 同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里 的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō)，每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“ 2” ,寫在個(gè)位上，就表示 2 個(gè)一，寫在百位上，就表示 2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。 位值原理的表達(dá)形式： 以六位數(shù)為例： a 100000+b 10000+c 1000+d 100+e 10+f。 二、數(shù)的進(jìn)制 我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于 1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn) 制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。 二進(jìn)制： 在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字 0和 1。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是 1、 21、 22、 23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如 100110在二進(jìn)制中表示為： (100110)2=1 25+0 24+0 23+1 22+1 21+0 20。 二進(jìn)制的運(yùn)算法則 ： “滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意： 對(duì)于任意自然數(shù) n,我們有 。 n 進(jìn)制： n 進(jìn)制的運(yùn)算法則是“逢 n 進(jìn)一，借一當(dāng) n”， n 進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。 進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換： 如右圖所示。 知識(shí)點(diǎn)撥 教學(xué)目標(biāo) 5十進(jìn)制 二進(jìn)制 十六進(jìn)制 八進(jìn)制 題庫(kù) 教師版 模塊一、 位置原理 【例 1】 某三位數(shù) 它的反序數(shù) 差被 99 除，商等于 _與 _的差； 【 解解 析析 】 本題屬于基礎(chǔ)型題型。我們不妨設(shè) a b c。 ( 99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a) 99=(99 99= 【 鞏鞏 固固 】 差被 9 除，商等于 _與 _的差； 【 解解 析析 】 ( 9=(10a+b)-(10b+a) 9=(9 9= 【 鞏鞏 固固 】 和被 11 除，商等于 _與 _的和。 【 解解 析析 】 ( 11=(10a+b)+(10b+a) 11=(11a+11b) 11=a+b。 【例 2】 (美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克 )把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換 后的新的兩位數(shù)的差是 45，試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少？ 【 解解 析析 】 設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)為 交換后的新的兩位數(shù)為 根據(jù)題意， ( 1 0 ) ( 1 0 ) 9 ( ) 4 5a b b a a b b a a b ， 5 ，原兩位數(shù)最大時(shí)，十位數(shù)字至多為 9，即9a ， 4b ，原來(lái)的兩位數(shù)中最大的是 94 【 鞏鞏 固固 】 將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過(guò)來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù) (這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù) )，新數(shù)比原數(shù)大 8802求原來(lái)的四位數(shù) 【 解解 析析 】 設(shè)原數(shù)為 則新數(shù)為 ( 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) ( 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) 9 9 9 ( ) 9 0 ( )d c b a a b c d d c b a a b c d d a c b 根據(jù)題意，有 9 9 9 ( ) 9 0 ( ) 8 8 0 2d a c b ， 1 1 1 ( ) 1 0 ( ) 9 7 8 8 8 8 9 0d a c b 推知 8 ， 9 ，得到 9d ， 1a ， 9c ， 0b ，原數(shù)為 1099 【 鞏鞏 固固 】 如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)，我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如， 99 就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?9 9 (9 9) 99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位數(shù)。請(qǐng)你寫出所有的巧數(shù)。 【 解解 析析 】 設(shè)這個(gè)巧數(shù)為 則有 ab+a+b=10a+b， a(b+1)=10a，所以 b+1=10， b=9。 滿足條件的巧數(shù)有： 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 99。 【例 3】 (第五屆希望杯培訓(xùn)試題 )有 3 個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成 6 個(gè)不同的三位數(shù)，如果這 6 個(gè)三位數(shù)的和是 1554，那么這 3 個(gè)數(shù)字分別是多少？ 【 解解 析析 】 設(shè)這六個(gè)不同的三位數(shù)為 , , , , ,a b c a c b b a c b c a c a b c b a， 因?yàn)?1 0 0 1 0a b c a b c ， 1 0 0 1 0a cb a c b ，它們的和是： 2 2 2 ( ) 1 5 5 4 ，所以 1 5 5 4 2 2 2 7 ，由于這三個(gè)數(shù)字互不相同且均不為 0，所以這三個(gè)數(shù)中較小的兩個(gè)數(shù)至少為 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的數(shù)最大為 4；又 1 2 3 6 7 ，所以最大的數(shù)大于 3 ，所以最大的數(shù)為 4，其他兩數(shù)分別是 1， 2 【 鞏鞏 固固 】 (迎春杯決賽 )有三個(gè)數(shù)字能組成 6 個(gè) 不同的三位數(shù)，這 6 個(gè)三位數(shù)的和是 2886，求所有這樣的 6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù) 【 解解 析析 】 設(shè)三個(gè)數(shù)字分別為 a、 b、 c，那么 6個(gè)不同的三位數(shù)的和為： 2 ( ) 1 0 0 2 ( ) 1 0 2 ( ) 2 2 2 ( )a b c a c b b a c b c a c a b c b a a b c a b c a b c a b c 所以 2 8 8 6 2 2 2 1 3 ，最小的三位數(shù)的百位數(shù)應(yīng)為 1，十位數(shù)應(yīng)盡可能地小，由于十位 數(shù)與個(gè)位數(shù)之和一定，故個(gè)位數(shù)應(yīng)盡可能地大，最大為 9，此時(shí)十位數(shù)為 13 1 9 3 ，所以所 例題精講 題庫(kù) 教師版 有這樣的 6個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù)為 139 【 鞏鞏 固固 】 用 1， 9， 7 三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？ 【 解解 析析 】 卡片“ 9”倒過(guò)來(lái)看是“ 6”。作為卡片“ 9”，由第 3題的結(jié)果可知， 1， 9， 7可組成的六個(gè)不同的三位數(shù)之和是（ 1 9 7） 222；同理，作為卡片“ 6”， 1， 6， 7 可組成的六個(gè)數(shù)之和是（ 1 6 7） 222。這 12個(gè)數(shù)的平均值是：（ 1 9 7）（ 1 6 7） 222 12 【 鞏鞏 固固 】 從 1 9 九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。若這六個(gè)三位數(shù)之和是3330，則這六個(gè) 三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？ 【 解解 析析 】 設(shè)這三個(gè)數(shù)字分別為 a、 b、 c。由于每個(gè)數(shù)字都分別有兩次作百位、十位、個(gè)位，所以六個(gè)不同的三位數(shù)之和為 222（ a b c） 3330，推知 a b c 15。所以，當(dāng) a、 b、 、 5、 9時(shí)，它們組成的三位數(shù)最小為 159，最大為 951。 【 鞏鞏 固固 】 a， b， c 分別是 09: 中不同的數(shù)碼，用 a， b， c 共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù) 之和是 2234，那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？ 【 解解 析析 】 由 a ， b ， c 組成的六個(gè)數(shù)的和是 222 ( ) 因?yàn)?2234 222 10，所以 10 若 11 ，則所求數(shù)為 2 2 2 1 1 2 2 3 4 2 0 8 ，但 2 0 8 1 0 1 1 ，不合題意 若 12 ，則所求數(shù)為 2 2 2 1 2 2 2 3 4 4 3 0 ，但 4 3 0 7 12 ，不合題意 若 13 ，則所求數(shù)為 2 2 2 1 3 2 2 3 4 6 5 2 ， 6 5 2 13 ，符合題意 若 14 ，則所求數(shù)為 2 2 2 1 4 2 2 3 4 8 7 4 ，但 8 7 4 1 9 1 4 ，不合題意 若 15 ，則所求數(shù) 2 2 2 1 5 2 2 3 4 1 0 9 6 ，但所求數(shù)為三位數(shù)，不合題意 所以，只有 13 時(shí)符合題意，所求的三位數(shù)為 652 【例 4】 在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入 0 9 中的一個(gè)數(shù)碼，這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來(lái)兩位數(shù)的 9 倍。求出所有這樣的三位數(shù)。 【 解解 析析 】 因?yàn)樵瓋晌粩?shù)與得到的三位數(shù)之和是 原兩位數(shù)的 10倍，所以原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是 0或 5。如果個(gè)位數(shù)是 0，那么無(wú)論插入什么數(shù)，得到的三位數(shù)至少是原兩位數(shù)的 10倍，所以個(gè)位數(shù)是 5。設(shè)原兩位數(shù)是 則 b=5，變成的三位數(shù)為 題意有 100a 10b 5（ 10a 5） 9，化簡(jiǎn)得 a b 4。變成的三位數(shù)只能是 405， 315， 225， 135。 【 鞏鞏 固固 】 一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口 處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè) 0 的三位數(shù)，請(qǐng)問(wèn)：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)。 【 解解 析析 】 設(shè)第一個(gè) 2 位數(shù)為 10a+b；第二個(gè)為 10b+a ；第三個(gè)為 100a+b ；由題意： (100a+b)-（ 10b+a）=( 10b+a)-（ 10a+b) ；化簡(jiǎn)可以推得 b=6a， 0 a,b 9，得 a=1， b=6；即每小時(shí)走 615 ；（ 601 45=11；再行 11 小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換所得的三位數(shù)。 【 鞏鞏 固固 】 將四位數(shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些 新的四位數(shù)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒(méi)有 0 的四位數(shù) M ，它比新數(shù)中最大的小 3834，比新數(shù)中最小的大 4338求這個(gè)四位數(shù) 【 解解 析析 】 設(shè)組成這個(gè)四位數(shù)的四個(gè)數(shù)碼為 a ， b ， c ， d (91a b c d )， 則有 3 8 3 4 4 3 3 8 8 1 7 2a b c d d c b a ， 可得 9 9 9 ( ) 9 0 ( ) 8 1 7 2 7 9 9 2 1 8 0a d b c ， 則 8， 2 ， 9a ， 1d ， 1 9 4 3 3 8M ，且 、 c 、 b 、 9，由于 8 9 17 的個(gè)位數(shù)字為 7，所以 b ， c 中有一個(gè)為 7，但 2 ，所以 c 不能為 7，故 7b ，5c ， 1 5 7 9 4 3 3 8 5 9 1 7M 【例 5】 已知 1 3 7 0 ,a b c d a b c a b a a b c d 求. 【 解解 析析 】 原式： 1111a 111b 11c d 1370，所以 a 1， 則 111b 11c d 1370 1111 259，推知 b 2；進(jìn)而推知 c 3， d=4所以 1234。 題庫(kù) 教師版 【 鞏鞏 固固 】 (2008 年清華附中考題 )已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于 2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少 【 解解 析析 】 設(shè)這樣的四位數(shù)為 則 2008a b c d a b c d ，即 1 0 0 1 1 0 1 1 1 2 2 0 0 8a b c d ，則 1a 或 2 若 2a ，則 1 0 1 1 1 2 6b c d ，得 0 ， 3d ， 2003 ； 若 1a ，則 1 0 1 1 1 2 1 0 0 7b c d ， 由 于 1 1 2 1 1 9 2 9 1 1 7 ，所以1 0 1 1 0 0 7 1 1 7 8 9 0b ，所以 8b ，故 b 為 9， 1 1 2 1 0 0 7 9 0 9 9 8 ，則 c 為偶數(shù)，且1 1 9 8 2 9 8 0c ，故 7c ，由 c 為偶數(shù)知 8c ， 5d ， 1985 ； 所以，這樣的四位數(shù)有 2003和 1985兩個(gè)，其和為： 2 0 0 3 1 9 8 5 3 9 8 8 【例 6】 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼 3 加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼 3 加寫在它的后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼 3，則可得到一個(gè)四位數(shù)將 這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于 3600 求原來(lái)的兩位數(shù) 【 解解 析析 】 設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)是 則得到的兩個(gè)三位數(shù)分別為 3 3四位數(shù)為 33由題知3 3 3 3 3 6 0 0a b a b a b ，即 1 0 3 3 0 0 3 0 0 3 1 0 3 6 0 0ab ab ， 21 294 ，故 14 【 鞏鞏 固固 】 如果把數(shù)碼 5 加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加 1111A ，這里 A 表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和 A。 【 解解 析析 】 設(shè)這個(gè)數(shù)為 x，則 10x+51111A ，化簡(jiǎn)得 9x= 1106A ，等號(hào)右邊是 9的倍數(shù)，試驗(yàn)可得 A=1， x=1234。 【 鞏鞏 固固 】 某八 位 數(shù) 形如 2它與 3 的乘積形如 4則七位數(shù) 是多少？ 【 解解 析析 】 設(shè) x ，則 72 2 1 0a b c d e f g x ， 4 1 0 4a b cd x， 根 據(jù) 題 意 ， 有 72 1 0 3 1 0 4 ，得 77 6 1 0 4 5 9 9 9 9 9 9 6x ，所以 8571428x 【例 7】 一 個(gè)六位數(shù) 如果滿足 4 a b c d e f fa b c d e，則稱 “迎春數(shù)” (例 如4 102564410256 ，則 102564 就是 “ 迎春數(shù) ”) 請(qǐng)你求出所有 “ 迎春數(shù) ” 的總和 【 解解 析析 】 由于是把六位數(shù) 末位 f 調(diào)到首位構(gòu)成了新六位數(shù) 所以不妨把 成一個(gè)整體，設(shè) ，則根據(jù)位值原理可知“迎春數(shù)”是 10，并滿足關(guān)系式： 4 1 0 1 0 0 0 0 0A f f A 對(duì)等式化簡(jiǎn)得： 3 9 9 9 9 9 6 所以： 2564 因?yàn)?A 是五位數(shù)， f 是一位數(shù)，所以 f 可以為 4， 5， 6， 7， 8， 9 而“迎春數(shù)” 1 0 1 0 2 5 6 4 2 5 6 4 1a b c d e f A f f f f ， 那么，所有“迎春數(shù)”的總和是： 2 5 6 4 1 4 5 6 7 8 9 2 5 6 4 1 3 9 9 9 9 9 9 9 【 鞏鞏 固固 】 (2008 年“華杯賽”決賽 )設(shè)六位數(shù) 足 fa b c d e f a b c d e f ，請(qǐng)寫出這樣的六位數(shù) 【 解解 析析 】 令 x ，則： 510fa b c d e f x ， 10x f，所以 51 0 1 0f x f x f ，可得 5101 0 1此時(shí)可將 1f ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，可得當(dāng) 1f 時(shí)，111111x ；當(dāng) 4f 時(shí)， 102564x 只有這兩個(gè)數(shù)滿足條件 由于將 f 可能的值一一代入進(jìn)行檢驗(yàn)有些麻煩，可以將其進(jìn)行如下變形后再進(jìn)行： 5 5 2 5 4 4 2 4 2410 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0101 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1ff f f f f f f f ，所以 424 1010 1 0 1fx f ，則 5 2 5 2 2 54 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1f f f f fx f ff f f 是整數(shù) 題庫(kù) 教師版 設(shè)其為 a ，則 6 6 61 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 9 9 9 9 9 91 0 1 11 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1f f fa f f f f 是整數(shù)，所以 10 1f 是999999的約數(shù) 當(dāng) 1f ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 時(shí)， 10 1f 分別為 9， 19， 29， 39， 49， 59， 69， 79， 89，由 39 9 9 9 9 9 3 7 1 1 1 3 3 7 容易知道其中只有 9和 39是 999999的約數(shù)，此時(shí) f 分別為 1和 4這樣的六位數(shù)有 111111 和 102564 【例 8】 記四位數(shù) X ，由它的四個(gè)數(shù)字 a,b,c,d 組成的最小的四位數(shù)記為 X ，如果* 999 ，那么這樣的四位數(shù) X 共有 _個(gè) 【 解解 析析 】 * 999 得到 9 9 9 1 0 0 0 1X X X ，所以如果 a 、 b 、 c 、 d 組成的四位數(shù) X 末位數(shù)字不是 0，那么 X 等于將 X 的千位數(shù)字加 1，個(gè)位數(shù)字減 1，反過(guò)來(lái) X 等于 X 的千位數(shù)字減 1，個(gè)位數(shù)字加 1，所以 X 為 11a bc d，與 X 比較， b 和 c 位置沒(méi)有換，交換的是 a 和 d ， X表示為 可以得到等式 1 ，即 1所以 a 和 d 的取值組合，只有 2和 1， 3和 2，9和 8，共 8 種情況 對(duì)于其中任意一種組合，由于 由四個(gè)數(shù)字 a b c d、 、 、 組成的最小的四位數(shù)，分別考慮 b 、c 中有 0的情況 (可能兩個(gè)都為 0；若只有一個(gè) 0，則 0b ， d c a )；以及 b 、 c 都不為 0的情況 (此時(shí) d b c a )，可知兩種情況下各有 3種可能，共 6種可能： 000 0 比如以 4a ， 3d 為例， 能的取值有 3004， 3034， 3044， 3334， 3344，34444這 6個(gè)數(shù)根據(jù)乘法原理，滿足條件的四位數(shù)一共有 8 6 48 種 如果 a 、 b 、 c 、 d 組成的最小的四位數(shù) X 末位數(shù)字是 0，顯然 X 的百位、十位都是 0，此時(shí) a 、b 、 c 、 d 無(wú)法組 成其它的四位數(shù)，不合題意 由于每一個(gè) X 對(duì)應(yīng)一個(gè) X ，所以滿足條件的四位數(shù) X 共有 48個(gè) 【例 9】 將 4 個(gè)不同的數(shù)字排在一起，可以組成 24 個(gè)不同的四位數(shù) (4 3 2 1 24 )將這 24 個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是 5 的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被 4整除的偶數(shù)；按從小到大排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在 3000 4000 之間求這 24 個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè) 【 解解 析析 】 從題中可以看出，這 4 個(gè)數(shù)都不為 0設(shè)這 4 個(gè)不同的數(shù)從小到大依次為 a,b,c,d，它們組成的24個(gè)四位數(shù)中，第二小的是 是 5的倍數(shù)，又 c 不為 0，所以 5c 它們組成的 24個(gè)四位數(shù)中，第二大的是 是 2的倍數(shù)但不是 4的倍數(shù)，所以 b 是偶數(shù)，而 的倍數(shù)由 b 是偶數(shù)且 5 知 b 為 4 或 2若為 2，那么 1a ，但此時(shí) 12是 4 的倍數(shù)，矛盾，所以，又 是 4的倍數(shù)，所以 a 為 1或 3 它們組成的 24個(gè)四位數(shù)中，第五小的為 (最小的 5個(gè)依次為 ，第五大 (第二十小 )的為 (最大的 5個(gè)依次為 ，所以 得到的四位數(shù)的千位為 3由于 ，所以 ，那么減法算式中百位要向千位借位，所以 13 ，故 4 又 5 ，所以 1a ，那么 3a ， 7d ， 它們組成的 24個(gè)四位數(shù)中最大的為 即 7543 模塊二、數(shù)的進(jìn)制 【例 10】 2 2 2(1 0 1 ) (1 0 1 1 ) (1 1 0 1 1 ) _； 2 2 2 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( ） ） ） ）； 4 7 1 0( 3 0 2 1 ) ( 6 0 5 ) ( ) ； 8 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 1 2 4 7 ) ( 1 6 0 3 4 ) ( 2 6 5 3 1 ) ( 1 7 4 4 ) _； 若 (1030) 140n ，則 n _ 【 解解 析析 】 對(duì)于這種進(jìn)位制計(jì)算，一般先將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的十進(jìn)制，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的進(jìn)制： 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0( 1 0 1 ) ( 1 0 1 1 ) ( 1 1 0 1 1 ) ( 5 ) ( 1 1 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 1 1 1 0 0 ) ； 可轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制來(lái)計(jì)算： 題庫(kù) 教師版 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( 1 9 9 ) ( 2 1 ) ( 3 ) ( 1 9 2 ) ( 1 1 0 0 0000 ） ） ） ）； 如果對(duì)進(jìn)制的知識(shí)較熟悉，可直接在二進(jìn)制下對(duì)22(10101 (11） ）進(jìn)行除法計(jì)算，只是每次借位都是 2，可得2 2 2 2 2 2( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 0 1 0 1 ( 1 1 ( 1 1 0 0 0 1 1 1 ( 1 1 1 ( 1 1 0 0 0 0 0 0 ） ） ） ） ） ）； 本題涉及到 3個(gè)不同的進(jìn)位制，應(yīng)統(tǒng)一到一個(gè)進(jìn)制下統(tǒng)一到十進(jìn)制比較適宜： 324 7 1 0 1 0 1 03 0 2 1 ) ( 6 0 5 ) ( 3 4 2 4 1 ) ( 6 7 5 ) ( 5 0 0 ) ( ； 十進(jìn)制中，兩個(gè)數(shù)的 和是整十整百整千的話，我們稱為“互補(bǔ)數(shù)”，湊出“互補(bǔ)數(shù)”的這種方 法叫“ 湊整法”，在 n 進(jìn)制中也有“湊整法”，要湊的就是整 n 原式8 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 1 2 4 7 ) ( 2 6 5 3 1 ) ( 1 6 0 3 4 ) ( 1 7 4 4 ) 8 8 8 8( 6 3 1 2 1 ) ( 3 0 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 ) ( 1 3 1 2 1 ) ； 若 (1030) 140n ，則 3 3 140 ，經(jīng)試驗(yàn)可得 5n 【 鞏鞏 固固 】 8 5 25 6 7 ( ( ( ） ） ）； 在八進(jìn)制中， 1 2 3 4 4 5 6 3 2 2 _； 在九進(jìn)制中， 1 4 4 3 8 3 1 2 3 7 1 2 0 1 1 7 7 0 5 7 6 6 _ 【 解解 析析 】 本題是進(jìn)制的直接轉(zhuǎn)化： 8 5 25 6 7 ( 1 0 6 7 ( 4 2 3 2 ( 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 ） ） ）； 原式 1 2 3 4 ( 4 5 6 3 2 2 ) 1 2 3 4 1 0 0 0 2 3 4 ； 原式 1 4 4 3 8 ( 3 1 2 3 5 7 6 6 ) ( 7 1 2 0 1 1 7 7 0 ) 1 4 4 3 8 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 4 4 3 8 【例 11】 在幾進(jìn)制中有 4 13 100 ？ 【 解解 析析 】 利用尾數(shù)分析來(lái)解 決 這個(gè)問(wèn)題： 由于1 0 1 0 1 0( 4 ) ( 3 ) (1 2 )，由于 式中為 100，尾數(shù)為 0， 也就是說(shuō)已經(jīng)將 12全部進(jìn)到上一位 所以說(shuō)進(jìn)位制 n 為 12的約數(shù)，也就是 12， 6， 4， 3， 2中的一個(gè) 但是 式子中 出現(xiàn)了 4，所以 n 要比 4大， 不可能是 4， 3， 2進(jìn)制 另外，由于1 0 1 0 1 0( 4 ) (1 3 ) ( 5 2 )，因 為 52 100 ，也就是說(shuō)不到 10 就已經(jīng)進(jìn)位，才能是 100， 于是知道 10n ，那么 n 不能是 12 所以， n 只能是 6 【 鞏鞏 固固 】 在幾進(jìn)制中有 1 2 5 1 2 5 1 6 3 2 4 ？ 【 解解 析析 】 注意 1 0 1 0 1 0(1 2 5 ) (1 2 5 ) (1 5 6 2 5 )，因?yàn)?15625 16324 ，所以一定是不到 10就已經(jīng)進(jìn)位，才能得到16324，所以 10n 再注意尾數(shù)分析，1 0 1 0 1 0( 5 ) ( 5 ) ( 2 5 )，而 16324 的末位為 4，于是 25 4 21 進(jìn)到上一位 所以說(shuō)進(jìn)位制 n 為 21的約數(shù)，又小于 10，也就是可能為 7或 3 因?yàn)槌霈F(xiàn)了 6，所以 n 只能是 7 【 鞏鞏 固固 】 算式 1 5 3 4 2 5 4 3 2 1 4 是幾進(jìn)制數(shù)的乘法？ 【 解解 析析 】 注意到尾數(shù)，在足夠大的進(jìn)位制中有乘積的個(gè)位數(shù)字為 4 5 20 ，但是現(xiàn)在為 4，說(shuō)明進(jìn)走20 4 16 ，所以進(jìn)位制為 16的約數(shù)，可能為 16、 8、 4或 2 因?yàn)樵街杏袛?shù)字 5，所以不可能為 4、 2進(jìn)位，而在十進(jìn)制中有 1 5 3 4 2 5 3 8 3 5 0 4 3 2 1 4 ，所以在原式中不到 10 就有進(jìn)位，即進(jìn)位制小于 10，于是原式為 8進(jìn)制 【例 12】 將二進(jìn)制數(shù) ( 化為十進(jìn)制數(shù)為多少？ 【 解解 析析 】 根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法， ( =1 24+1 23+0 22+1 21+0 20+1 2 26+8+0+2+0+ 【 鞏鞏 固固 】 二進(jìn)制數(shù) 10101011110011010101101 轉(zhuǎn)化為 8 進(jìn)制數(shù)是多少？ 【 解解 析析 】 根據(jù)二進(jìn)制與八進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化方法推導(dǎo)出二八對(duì)照表： 八進(jìn)制數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 二進(jìn)制數(shù) 000 001 010 011 100 101 110 111 從后往前取三合一進(jìn)行求解，可以得知 (10101011110011010101101)2=(25363255)8。 題庫(kù) 教師版 【 鞏鞏 固固 】 將二進(jìn)制數(shù) 換為十六進(jìn)制數(shù)。 【 解解 析析 】 在轉(zhuǎn) 換為高于 9進(jìn)制的數(shù)時(shí)，遇到大于 9的數(shù)用字母代替，如： 0、 1、 2、3。根據(jù)取四合一法，二進(jìn)制 【 鞏鞏 固固 】 某數(shù)在三進(jìn)制中為 12120120110110121121，則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第 l 位數(shù)字是幾 ? 【 解解 析析 】 由于 32=9，所以由三進(jìn)制化為 9 進(jìn)制需要取二合一。從后兩個(gè)兩個(gè)的取，取至最前邊為 12，用位值原理將其化為 1 31+2 30=5，所以化為 9 進(jìn)制數(shù)后第一位為 5. 【例 13】 現(xiàn)有 1 克， 2 克， 4 克， 8 克， 16 克的砝碼各 1 枚， 在天平上能 稱多少種不同重量的物體？ 【 解解 析析 】 因?yàn)轫来a的克數(shù)恰好是 1， 2， 4， 8， 16，而二進(jìn)位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示： 1， 2， 22=4，23=8， 24=16，在砝碼盤上放 1克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第一位 (從右數(shù) )是 1，放 2克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第二位是 1，放 16克砝碼認(rèn)為是二進(jìn)位制數(shù)第五位是 1，不放砝碼就認(rèn)為相應(yīng)位數(shù)是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是 1，最大的是 (11111)2=24+23 22 21 20=(31)10，這就是說(shuō) 1至 31 的每個(gè)整數(shù) (克 )均能稱出。所以共可以稱出 31 種不同重量的物體。 【例 14】 在 6 進(jìn)制中有三 位數(shù) 化為 9 進(jìn)制為 求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少 ? 【 解解 析析 】 ( =a 62 b 6+c=36a+6b+c； (=c 92+b 9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a；于是 35a=3b+80c；因?yàn)?35的倍數(shù)， 80的倍數(shù)所以 3的倍數(shù)，又 (3，5)=1所以， b=0或 5 當(dāng) b=0，則 35a=80c；則 7a=16c； (7， 16)=1，并 且 a、 c 0，所以 a=16， c=7。但是在 6,9 進(jìn)制，不可以有一個(gè)數(shù)字為 16 當(dāng) b=5，則 35a=3 5+80c；則 7a=3+16c； 后， 3+2c 0。所以 c=2或者 2+7k(因?yàn)橛?6進(jìn)制，所以不可能有 9或者 9以上的數(shù)，于是 c=2； 35a=15+80 2， a=5。所以 ( =(552)6 =5 62+5 6+2=212。這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為 212。 【 鞏鞏 固固 】 在 7 進(jìn)制中有三位數(shù) 化為 9 進(jìn)制為 求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少？ 【 解解 析析 】 首先還原為十進(jìn)制： 27( ) 7 7 4 9 7a b c a b c a b c ； 29( ) 9 9 8 1 9c b a c b a c b a 于是 4 9 7 8 1 9a b c c b a ；得到 48 80 2a c b，即 24 40a c b 因?yàn)?24a 是 8 的倍數(shù)， 40c 也是 8的倍數(shù)，所以 b 也應(yīng)該是 8的倍數(shù)，于是 0b 或 8 但是在 7進(jìn)制下，不可能有 8這個(gè)數(shù)字于是 0b ， 24 40，則 35 所以 a 為 5的倍數(shù)， c 為 3的倍數(shù) 所以， 0a 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 5a ， 3c ； 所以77( ) ( 5 0 3 ) 5 4 9 3 2 4 8 于是，這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為 248 【 鞏鞏 固固 】 一個(gè)人的年齡用十進(jìn)制數(shù)和三進(jìn)制數(shù)表示，若在十進(jìn)制數(shù)末尾添個(gè)“ 0” 就是三進(jìn)制數(shù)，求此人的年齡 【 解解 析析 】 設(shè)這個(gè)人為 a 歲，得(10) (3)0又 10( 3 ) ( 1 0 )0 3 0 3 3a a a ，解得 0a ，不合題意，所以這個(gè)人的年齡不可能是一位數(shù) 設(shè)這個(gè)人是 ，由題意得：(10) (3)0ab 因?yàn)?2 1 0( 1 0 ) ( 3 )1 0 , 0 3 3 0 3 9 3a b a b a b a b a b ，所以 10 9 3a b a b ，即 2又因?yàn)?0三進(jìn)制數(shù)， a ， b 都小于 3，所以 2a ， 1b 所以，這個(gè)人為 21歲 設(shè) 這 個(gè) 人 為 ， 由 題 意 有 ，(10 ) ( 3 )0 因 為( 1 0 ) 1 0 0 1 0a b c a b c ，32( 3 )0 3 3 3 2 7 9 3a b c a b c a b c ，所以 1 0 0 1 0 2 7 9 3a b c a b c 即 73 2a b c 又 題庫(kù) 教師版 a 、 b 、 c 都小于 3，所以上述等式不成立所以這個(gè)人的年齡不可能是三位數(shù) 綜上可知這個(gè)人的年齡是 21歲 【 鞏鞏 固固 】 N 是整數(shù)，它的 b 進(jìn)制表示是 777，求最小的正整數(shù) b，使得 N 是十進(jìn)制整數(shù)的四次方 【 解解 析析 】 設(shè) 整數(shù)， 247 7 7b b x x N ，因?yàn)橘|(zhì)數(shù) 7能整除 27 7 7，所以也能整除 x，不妨設(shè) 7， m 是大于 0的自然數(shù)。則： 427 7 7 7b b m ，化簡(jiǎn)得： 2 3 417b b m ，易知， m=1時(shí)， b=18。 【例 15】 試求 (22006 以 992 的余數(shù)是多少 ? 【 解解 析析 】 我 們通過(guò)左式的短除法，或者直接運(yùn)用通過(guò) 2次冪來(lái)表達(dá)為 2進(jìn)制： (992)10=(1111100000)2， (22006 =2006 2111.123個(gè) 1我們知道在 2進(jìn)制中5021 1 1 . 0 0 0 .1 2 3 14 2 435個(gè) 1 個(gè) 或 以 上一定能整除(1111100000)2，于是我們注意到5021 1 1 . 0 0 0 .1 2 3 14