題庫 教師版 3 1. 掌握最佳安排和選擇方案的組合問題 . 2. 利用 基本染色 去解決相關(guān)圖論 問題 知識點說明 各種探討給定要求能否實現(xiàn)，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼于極端情形，或從整體把握設(shè)計最佳安排和選擇方案的組合問題，這里的最佳通常指某個量達到最大或最小解題時，既要構(gòu)造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優(yōu)性進行論證論證中的常用 手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計 組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼于極端情況，或從整體把握。若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱為圖論問題。若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關(guān)的題目稱為圖論問題，這里宜從特殊的點或線著手進行分析各種以染色為內(nèi)容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色 板塊一、 最佳安排和選擇方案 【例 1】 一個盒子里有 400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200枚 下面我們對這些棋子做如下操作：每次拿出 2 枚棋子，如果顏色相同，就補 1 枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補 1 枚白色的棋子回去這樣的操作，實際上就是每次都少了 1 枚棋子，那么，經(jīng)過 399 次操作后，最后剩下的棋子是 顏色 (填“黑”或者“白” ) 【解析】 在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子 1 枚，所以拿出的白子可能為 0 枚或 2 枚；若拿出的 兩枚棋子異色，則補白子 1 枚， “兩枚棋子異色 ”說明其中一黑一白，那么此時拿出的白子數(shù)為 0 枚可見每次操作中拿出的白子都是偶數(shù)枚，而由于起初白子有 200 枚，是偶數(shù)枚，所以每 次操作后剩下的白子都是偶數(shù)枚，因此最后 1 枚不可能是白子，只能是黑子 【鞏固】 在黑板上寫上 1 、 2 、 3 、 4 、 、 2008 ，按下列規(guī)定進行 “操怍 ”：每次擦去其中的任意兩個數(shù) a 和 b ，然后寫上它們的差 (大數(shù)減小數(shù) )，直到黑板上剩下一個數(shù)為止問黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？ 【解析】 根據(jù)等差數(shù)列求和公式，可知開始時黑板上所有數(shù)的和為 1 2 3 2 0 0 8 2 0 0 9 1 0 0 4 L 是一個偶數(shù)，而每一次 “操作 ”，將 a 、 b 兩個數(shù)變成了 ()，它們的和減少了 2b ，即減少了一 個偶數(shù)那么從整體上看，總和減少了一個偶數(shù)，其奇偶性不變，還是一個偶數(shù) 所以每次操作后黑板上剩下的數(shù)的和都是偶數(shù)，那么最后黑板上剩下一個數(shù)時，這個數(shù)是個偶數(shù) 【例 2】 5 卷本百科全書按從第 1 卷到第 5 卷的遞增序號排列，今要將它們變?yōu)榉葱蚺帕校磸牡?5 卷知識點撥 知識點撥 教學(xué)目標 8造與論證 題庫 教師版 3 到第 1卷如果每次只能調(diào)換相鄰的兩卷，那么最少要調(diào)換多少次 ? 【解析】 因為必須是調(diào)換相鄰的兩卷，將第 5卷調(diào)至原來第 1卷的位置最少需 4次，得到的順序為 51234； 現(xiàn)在將第 4卷調(diào)至此時第 次，得到的順序為 54123； 現(xiàn)在將第 3卷調(diào)至此時第 次 ，得到的順序為 54312； 最后將第 卷對調(diào)即可 所以，共需調(diào)換 4+3+2+1=10 次 【鞏固】 在 1997 1997 的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變?yōu)椴涣粒蛴刹涣磷優(yōu)榱寥绻瓉砻勘K燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮 ? 【解析】 最少要 1997 次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態(tài)，由不亮變成亮而第一列每格的燈都改變 1997 次狀態(tài)，由不亮變亮如果少于 1997次，則至少有一 列和至少有一行沒有被按過，位于這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態(tài) 【例 3】 有 3 堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子， 或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時，第一堆有 1989 塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有 89塊石子問能否做到： 、 (1)某 2堆石子全部取光 ? (2)3堆中的所有石子都被取走 ? 【解析】 (1)可以，如 (1989， 989， 89) (1900， 900， 0) (950， 900， 950) (50， 0， 50) (25， 25，50) (O， 0， 25) (2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數(shù)目的小石子，將有偶數(shù)堆石子堆中一半移至另一堆，所 以每次操作石子總數(shù)要么減少 3的倍數(shù)，要么不變 現(xiàn)在共有 1989+989+89=3067，不是 3的倍數(shù)，所以不能將 3堆中所有石子都取走 【鞏固】 在 2009 張卡片上分別寫著數(shù)字 1、 2、 3、 4、 、 2009，現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別寫上 1、 2、 3、 4、 、 2009然后將每一張卡片正反兩個面上的數(shù)字相加，再將這 2009 個和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 【解析】 從整體進行考慮所得的 2009 個和相加，便等于 1 2009 的所有數(shù)的總和的 2 倍，是個偶數(shù) 2009個數(shù)的和是偶數(shù)，說明這 2009 個數(shù)中必有偶數(shù)，那么這 2009 個數(shù)的乘積是偶數(shù) 本題也可以考慮其中的奇數(shù)由于 1 2009 中有 1005 個奇數(shù)，那么正反兩面共有 2010 個奇數(shù)，而只有 2009 張卡片，根據(jù)抽屜原理，其中必有 2 個奇數(shù)在同一張卡片上，那么這張卡片上的數(shù)字的和是偶數(shù)，從而所有 2009 個和的乘積也是偶數(shù) 【例 4】 在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有 3名專業(yè)選手與 3名業(yè)余選手參 加 是說每兩名選手都要比賽一場為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者 扣分，每勝專業(yè)選手一場加 2 分，每勝業(yè)余選手一場加 1 分；專業(yè)選手每負一場扣 2 分，業(yè)余選手每負一場扣 1 分問：一位業(yè)余選手最少要勝幾場，才能確保他的 得分比某位專業(yè)選手高 ? 【解析】 當(dāng)一位業(yè)余選手勝 2場時，如果只勝了另兩位業(yè)余選手，那么他得 10+2(分 )此時，如果專業(yè)選手間的比賽均為一勝一負，而專業(yè)選手與業(yè)余選手比賽全勝，那么每位專業(yè)選手的得分都是10+2=13(分 )所以，一位業(yè)余選手勝 2場，不能確保他的得分比某位專業(yè)選手高 當(dāng)一位業(yè)余選手勝 3 場時，得分最少時是勝兩位業(yè)余選手，勝一位專業(yè)選手，得10+2+22(分 )此時，三位專業(yè)選手最多共得 30+0+4=34(分 )，其中專業(yè)選手之間的三場比賽共得 0分，專業(yè)選手與業(yè)余選手的比賽最多共得 4分 4分， 34 3=1113，推知，必有人得分不超過 11 分 . 也就是說，一位業(yè)余選手勝 3場，能確保他的得分比某位專業(yè)選手高 . 【例 5】 賽采用單循環(huán)制，即每對均與其他各隊比賽一場 分，平一場得 1分，負一場得 0分 且所有各隊的積分都不相同，問： 題庫 教師版 3 （ 1） n=4是否可能？ （ 2） n=5是否可能？ 【解析】 （ 1）我們知道 4個隊共進行了 24每場比 賽有 2分產(chǎn)生，所以 4個隊的得分總和為 24C 2=以得分最低的隊至少得 2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以 4個隊得分最少 2+3+4+5=14 12，不滿足 .即 n=4不可能。 （ 2）我們知道 5 個隊共進行 25每場比賽有 2分產(chǎn)生，所以 4個隊的得分總和為 25C2=以得分最低的隊至少得 2 分，又要求每個 隊的得分都不相同，所以 5個隊得分最少為 2+3+4+5+6=20，滿足 .即 n=5有可能 如下所示， 分， 分， 分， 分， 分 A B”表示 A、 勝 B；“ 示 B、 ，余下類推 . 【例 6】 如 圖 35 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10這 10 個數(shù)分別填入圖中的 10個圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的 5 個圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個整數(shù) 的最小值并完成你的填圖 . 【解析】 要 使 要盡量平均的填寫，因為如果有的連續(xù) 5個圓圈內(nèi)的數(shù)特別小，有的特別大，那么 能達到盡量小的目的 因為每個圓圈內(nèi)的數(shù)都用了 5次，所以 10次的和為 5 (1+2+3+ +10)=275 每次和都小于等于朋，所以 75，整數(shù) 8 下面來驗證 M=28時是否成立，注意到圓圈內(nèi)全部數(shù)的總和是 55，所以肯定是一邊五個的和是 28， 一邊是 27因為數(shù)字都不一樣，所以和 28肯定是相間排列，和 27也是相問排列，也就是說數(shù) 組每隔 4個差值為 l，這樣從 1填起，容易排出適當(dāng)?shù)奶顖D . 【例 7】 （ 2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，在時鐘的表盤上任意作 9 個 120 的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋 4 個數(shù)，且每兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到 3 個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù)并舉一個反例說明，作 8 個扇形將不能保證上述結(jié)論成立 11109876 5432112【解析】 要 在表盤上共可作出 12 個不同的扇形，且 1 12 中的每個數(shù)恰好被 4 個扇形覆蓋將這 12 個扇形分為 4 組，使得每一組的 3 個扇形恰好蓋住整個表盤那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇 9 個扇 題庫 教師版 3 形，必有 9 134個扇形屬于同一組，那么這一組的 3 個扇形可以覆蓋整個表盤 另一方面，作 8 個扇形相當(dāng)于從全部的 12 個扇形中去掉 4 個，則可以去掉蓋住同一個數(shù)的 4 個扇形，這樣這個數(shù)就沒有被剩下的 8 個扇形蓋住，那么這 8 個扇形不能蓋住整個表盤 【鞏固】 （ 2008 年臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽）將 1、 2、 3、 4、 5、 6 寫在一個圓周上，然后把圓周上連續(xù)三個數(shù)之和寫下來，則可以得到六個數(shù)1a、2a、3a、4a、5a、6a，將這六個數(shù)中最大的記為 A 請問在所有填寫方式中， A 的最小值是什么？ 632541【解析】 要 由 于 每 個 寫 在 圓 周 上 的 數(shù) 都 被 用 了 三 次 ， 則1 2 3 4 5 6 3 ( 1 2 3 4 5 6 ) 6 3a a a a a a ，即寫出來的這 6 個數(shù)的平均數(shù)為 因此 A 至少為 11由上圖的排列方式可知 A 為 11 的情形存在，故 A 的最小值為 11 【例 8】 1998 名運動員的號碼依次為 1 至 1998 的自然數(shù)現(xiàn)在要從中選出若干 名運動員參加儀仗隊，使得剩下的運動員中沒有一個人的號碼等于另外兩人的號碼的乘積那么，選為儀仗隊的運動員最少有多少人 ? 【解析】 我 們很自然的想到把用得比較多的乘數(shù)去掉，因為它們參與的乘式比較多，把它們?nèi)サ粲兄谑故Ｏ碌臉?gòu)不成乘式，比較小的數(shù)肯定是用得最多的，因為它們的倍數(shù)最多，所以考慮先把它們?nèi)サ簦P(guān)鍵是除到何處 ? 考慮到 44 的平方為 1936，所以去到 44 就夠了，因為如果剩下的構(gòu)成了乘式，那么乘式中最小的數(shù)一定小于等于 44，所以可以保證剩下的構(gòu)不成乘式因為對結(jié)果沒有影響，所以可以將 1保留，于是去掉 2， 3， 4， 44這 43個數(shù) 但是，是不是去掉 43個數(shù)為最小的方法呢 ?構(gòu)造 2 97， 3 96， 4 95， 44 45，發(fā)現(xiàn)這 43組數(shù)全不相同而且結(jié)果都比 1998小，所以要去掉這些乘式就至少要去掉 43個數(shù)，所以 43 位最小值，即為所求 . 【例 9】 一 組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是 l，最大的數(shù)是 25，除 1 之外，這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的 2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和 組數(shù)之和的最小值是多少 ?當(dāng)取到最小值時 ，這組數(shù)是怎樣構(gòu)成的 ? 【解析】 首先把這組數(shù)從小到大排列起來，那么最小的肯定為 1， 1后面只能是 1的 2倍即 2， 2后面可以是 3或 4， 3的后面可以是 4， 5， 6； 4的后面可以是 5， 6， 8最大的為 25下面將所有的可能情況列出： l， 2， 3， 4， 25 所有的和是 35； l， 2， 3， 5， 25 所有的和是 36； 1， 2， 3， 6， 25 所有的和是 37； 1， 2， 4， 5， 25 所有的和是 37； 1， 2， 4， 6， 25 所有的和是 38； 1， 2， 4， 8， 25 所有的和是 40. 25 是奇數(shù)，只能是一個偶數(shù)加上一個奇數(shù)在中間 省略的數(shù)中不能只有 1 個數(shù)，所以至少還要添加兩個數(shù)，而且這兩個數(shù)的和不能小于 25，否則就無法得到 25這個數(shù)要求求出最小值，先看這兩個數(shù)的和是 25 的情況，因為省略的兩個數(shù)不同于前面的數(shù)，所以從 20+5開始 25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12 題庫 教師版 3 這些數(shù)中 20， 19， 18， 17太大，無法產(chǎn)生，所以看： 16+9=15+10=14+11=13+12 看這些誰能出現(xiàn)和最小的 l， 2， 3， 4， 25 中，檢驗發(fā)現(xiàn)沒有可以滿足的： 再看 l， 2， 3， 5， 25，發(fā)現(xiàn) 1， 2， 3， 5， 10， 15， 25 滿足，所以： 1+2+3+5+10+15+25=36+25=61 【例 10】 2004 枚棋子，每次可以取 1、 3、 4、 7 枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流取，如果甲先取，如何才能保證贏？ 【解析】 先從簡單的情況看起，看看棋子數(shù)量較少時，在什么情況下先取者勝，什么情況下后取者勝 可以列表如下： 棋子數(shù)量 先取者勝 后取者勝 1 枚 2 枚 3 枚 4 枚 5 枚 ( 3 1 1) 6 枚 ( 4 1 1) 7 枚 8 枚 9 枚 ( 1 8) 10 枚 11 枚 ( 3 8) 12 枚 ( 4 8) 13 枚 ( 3 10) 14 枚 ( 4 10) 15 枚 ( 7 8) 16 枚 17 枚 ( 1 16) 18 枚 19 枚 ( 3 16) 20 枚 ( 4 16) 棋子數(shù)是 1 8 時比較容易看得出來是先取者勝還是后取者勝，可以看出只有棋子數(shù)是 2 枚和 8枚時是后取者勝，其他情況下都是先取者勝 當(dāng)棋子數(shù)大于 8 時，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子數(shù)變成前面已有的棋子數(shù) 先取者為了取勝，第一次取后，應(yīng)該使剩下的棋子數(shù)是后取者勝的情況，比如變成剩下 2 枚或 8 枚 這樣推下去，可以發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)棋子數(shù)是 8 的倍數(shù)或者除以 8 余 2 時，是后取者勝，其他情況下是先取者勝 題目中有 2004 枚棋子，除以 8 余 4，所以先取者肯定可以取勝 不過取勝的策略比較靈活，不能明確地說每次后取者取多少枚先取者就相應(yīng)地取多少枚，應(yīng)該從除以 8 的余數(shù)來考慮： 先取者第一次可以先取 4 枚，這樣還剩下 2000 枚， 2000 除以 8 的余數(shù)是 0； 先取者為了保證獲勝，在每一次后取者取了之后，先取者再取的時候，應(yīng)該使得自己取后剩下的棋子數(shù)是 8 的倍數(shù)或者除以 8 余 2； 后取者每次可以取 1， 3， 4， 7 枚，每次先取者取后 剩下的棋子數(shù)除以 8 的余數(shù)是 0 或 2，所以每次后取者取后剩下的棋子數(shù)除以 8 的余數(shù)是 7， 5， 4， 1 或 1， 7， 6， 3. 所以接下來先取者可以對應(yīng)地取 7， 3， 4， 1 或 1， 7， 4， 3 枚棋子，這樣剩下的剩下的棋子數(shù)除以 8 的余數(shù)為 0， 2， 0， 0 或 0， 0， 2， 0. 這樣就保證了第 點 每次先取者取后剩下的棋子數(shù)除以 8 的余數(shù)是 0 或 2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者獲勝 題庫 教師版 3 【鞏固】 桌子上放著 55 根火柴，甲、乙二人輪流每次取走 1 3 根，規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？ 【解析】 采用逆 推法分析獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時，必須留給對方 4 根，此時無論對方取 1、 2 或 3 根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對方 4 根，在倒數(shù)第三次取時，必須留給對方 8 根由此可知，獲勝方只要每次留給對方的都是 4 的倍數(shù)根，則必勝現(xiàn)在桌上有 55 根火柴， 55 4 13 3L ，所以只要甲第一次取走 3根，以后每一次，乙取幾根，甲就取 4 減幾根，使得每次甲取后剩下的火柴根數(shù)都是 4 的倍數(shù)，這樣甲必勝 為什么一定要留給對方 4 的倍 數(shù)根火柴，而不是 5 的倍數(shù)根或者其它數(shù)的倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取 1 3 根， 1 3 4 ，這樣乙每次取 a 根，而甲取 4 a 根，能保證 4 a 也在 1 3 的范圍內(nèi) 【鞏固】 有 3 堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆 開始時，第一堆有 1989 塊石子， 第二堆有 989塊石子，第三堆有 89 塊石子 問，能否做到：某 2 堆石子全部取光？ 3 堆中的所有石子都被取走？ 【解析】 要使得某兩堆石子全部取光，只需使得其中有兩堆的石子數(shù)目一樣多，那么如果我們把最少的一堆先取光，只要剩下的兩堆中有一堆數(shù)目是偶數(shù)，再平分一下就可以實現(xiàn)了 而題中數(shù)字正好能滿足要求 所以，全部取光兩堆是可以的 對于第二個問題，要取走全部 3 堆，則必須 3 堆石子的總數(shù)是 3 的倍數(shù)才有可能，但 1989、 989、89 之和并非 3 的倍數(shù)，所以是不可能的 可以取光其中的兩堆石子 如進行如下的操作： 第 1 堆 第二堆 第三堆 1989 989 89 1900 900 0 (第一步：三堆各取走 89 塊 ) 1900 450 450 (第二步：第二堆 900 是偶數(shù)，將其一半移入第三堆 ) 1450 0 0 (第三步：三堆各取走 450 塊 ) 不能將三堆全部取光 因為每一次取走石子是從三堆中同時取走相同數(shù)目的石子，那么每次取走的石子數(shù)都是 3 的倍數(shù)，則不論怎么取，取走的石子總數(shù)是 3 的倍數(shù)， 而 1 9 8 9 9 8 9 8 9 3 0 6 7 ， 3067 被 3 除余 1，不是 3 的整數(shù)倍 ，所以不能將三堆石子全部取光 【例 11】 在 1019 方格表的每個方格內(nèi)，寫上 0或 1，然后算出每行及每列的各 數(shù)之和問最多能得到多少個不同的和數(shù) ? 【解析】 首 先每列的和最少為 0，最多是 10，每行的和最少是 0，最多是 19，所以不同的和最多也就是 0，1， 2， 3， 4， 18， 19這 20個 下面我們說明如果 0出現(xiàn)，那么必然有另外一個數(shù)字不能出現(xiàn) 如果 0 出現(xiàn)在行的和中，說明有 1 行全是 0，意味著列的和中至多出現(xiàn) 0 到 9，加上行的和至多出現(xiàn) 10 個數(shù)字，所以少了一種可能 如果 0 出現(xiàn)在列的和中，說明在行的和中 19 不可能出現(xiàn)，所以 0 出現(xiàn)就意味著另一個數(shù)字不能出現(xiàn)，所以至多是 19，下面給出一種排出方法 . 題庫 教師版 3 【例 12】 在 8 8的國際象棋盤上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋 盤上每行、每列及每條斜線上都有偶數(shù)枚棋子 ? 【解析】 因為 8 8的國際象棋盤上的每行、每列都正好有偶數(shù)格，若某行 (某列 )有空格，必空偶數(shù)格而斜線上的格子數(shù)有奇也有偶，不妨從左上角的斜線看起：第一條斜線只有 1格，必空；第三條有3 格，必至少空 1 格；第五、七條分別有 5、 7 格，每條線上至少空 1 格由對稱性易知共有 16條斜線上有奇數(shù)格，且這 16 條斜線沒有共用的格子，故至少必空出 16 格其實，空出兩條主對角線上的 16 個格子就合題意此時，最多可放置 48枚棋子，放在除這兩條主對角線外的其余格子中，如下圖所示 【例 13】 在 下 圖中有 16 個黑點，它們排成了一個 44 的方陣用線段連接 其中 4 點，就可以畫出各種不同的正方形現(xiàn)在要去掉某些點，使得其中任意 4 點都不能連成正方形，那么最少要去掉多少個點 ? 【解析】 至 少要除去 6個點，如下所示為幾種方法： 【例 14】 三個邊長為 1的正方形并排放在一起，成為 13 的長方形 1 2 3 9 0 o. 【解析】 仔細分析，要證 1 2 3 9 0 o， 由于 3 45o ，所以，只需證 明 1 2 45 o 就可以了！于是想到能否把 2 （ 1 ）移動位 置，與 1 （ 2 ）拼合在一起，恰成一個 45o 的角呢？于是想到：如圖 1所示，再拼上一個單位正方形 三角形 45o ，又直角三角形 題庫 教師版 3 以 2 . 因此， 1 2 1 4 5K C F K C A o. 有了拼合 2 與 1 的思想，學(xué)生往往產(chǎn)生不同的拼合方式，沿著拼合全等的思路發(fā)散開來，又可以找到許多拼法 . 如圖 2三角形 45o ， 2 , 1 G B A P 所以 1 2 4 5B A P H A G H A P o. 如圖 3三角形 45o ， 2, 12 1 4 5Q C P o. 如圖 4三角形 等腰直角三角形 , 4 5 , 1 ,W D B C D B o ， 2 . 所以1 2 4 5C D B W D H W D B o. 如圖 5三角形 4 5 , 1 ,Z H A Z H Y o 因此12 2 4 5Z H Y Z H A o. 其他的沿著“拼合全等”的思路的證法就不例舉了 . 如果利用相似三角形的知識，如圖 5所示，又 1 , 2 , 2 ,F H F A F C 所以， 12 ,22F H F F C ，因此 ， 2,F H A F A C 但1 ， 1 2 4 5C A B F A C E A B o. 用相似三角形法不用添設(shè)輔助線，簡潔明了 用三角法證明如下： 2 與 1 都是小于 45o 的銳角，可知 1 + 2 是銳角 . 又1 3 ， 1ta n 2 2 . 1 1 5t a n 1 t a n 2 3 2 6t a n 1 2 11 1 11 t a n 1 t a n 2 113 2 6 ，所以 1 2 45 o . 題庫 教師版 3 板塊二、染色 與 賦值 問題 【例 15】 某學(xué)校的學(xué)生中，沒有一個學(xué)生讀過學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書都至少被一個同學(xué)都讀過問：能否找到兩個學(xué)生甲、乙和三本書 4、 B、 C，使得甲讀過 A、 B，沒讀過 C，乙讀過 B、 C，沒讀過 A?說明判斷過程 【解析】 首先從讀書數(shù)最多的學(xué)生中找一人甲由題設(shè)，甲至少有一本書未讀過，記為 C設(shè) B 是甲讀過的書中一本，由題意知，可找到學(xué)生乙，乙讀過 B、 C由于甲是讀書數(shù)最多的學(xué)生之一，乙讀書數(shù)不能超過甲的讀書數(shù)，而乙讀過 C 書，甲未讀過 C 書，所以一定可以找出一本書 A，使得甲讀過而乙未讀過，否則乙就比甲至少多 讀過一本書這樣一來，甲讀過 A、 B，未讀過 C；乙讀過 B、 【例 16】 4 個人聚會，每人各帶 2 件禮品，分贈給其余 3 個人中的 2 人試證明： 至少有 2 對人，每對人是互贈過禮品的 【解析】 將 這四個人用 4個點表示，如果兩個人之間送過禮，就在兩點之間連一條線 由于每人送出 2件禮物，圖中共有 4 2=8條線，由于每人禮品都分贈給 2個人，所以每兩點之間至多有 1+1=2條線。四點間，每兩點連一條線，一共 6條線，現(xiàn)在有 8條線，說明必有兩點之間連了 2條線，還有另外兩點 (有一點可以與前面的點相同 )之間也連了 2條線 即為所證結(jié)論。 【例 17】 有 9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講 3種語言，每 3 個人中至少有 2個人有共通的語言 這些數(shù)學(xué)家中至少有 3 人能用同一種語言交談。 【解析】 假設(shè)任意三位數(shù)學(xué)家都沒有共同會的語言，這表明每種語言至多有兩人會說 B、 C、 D、 E、 F、 G、 I由于一位數(shù)學(xué)家最多會三種語言，而每種語言至多有兩人會說，所以一位數(shù)學(xué)家至多能和另外三人通話，即至少與五人語言不通不妨設(shè) 、 C、 D、 E、 同理， 此在 C、 D、 E、 語言不通，設(shè)為 、 B、題意矛盾這表明假設(shè)不成立，結(jié)論得證 【例 18】 在 10001000 的方格表中任意選取 存在 3個紅色 方格，它們的中心構(gòu)成一個直角三角形的頂點求 【解析】 首 先確定 1998不行反例如下： 其次 1999可能是可以的，因為首先從行看， 1999個紅點分布在 1000行中， 肯定有一些行含有 2個或者以上的紅點，因為含有 0或 1個紅點的行最多 999個，所以其他行含有紅點肯定大于等于 1999000，如果是大于 1000，那 么根據(jù)抽屜原理，肯定有兩個這樣紅點在一列，那么就會出現(xiàn)紅 色三角形； 如果是等于 1000而沒有這樣的 2個紅點在一列，說明有 999行只含有 1個 紅點，而剩下的一行全是紅點，那也肯定已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形了，所以 999 【例 19】 甲 、乙、丙三個班人數(shù)相同，在班級之間舉行象棋比賽各班同學(xué)都按 l， 2， 3， 4， 依次編號當(dāng)兩個班比賽時，具有相同編號的同學(xué)在同一臺對壘在 甲、乙兩班比賽時，有 15臺是男、女生對壘；在乙、丙班比賽時，有 9 臺是男、 女生對壘試說明在甲、丙班比賽時，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過 24并 指出在什 么情況下，正好是 24 ？ 題庫 教師版 0 3 【解析】 不妨設(shè)甲、乙比賽時， 1 15 號是男女對壘，乙、丙比賽時在 1 15 號中有 a 臺男女對壘， 15號之后有 90 a 9) 甲、丙比賽時，前 15號，男女對壘的臺數(shù)是 15果 1號乙與 1號丙是男女對壘，那么 1號甲與 1號丙就不是男女對壘 )， 15 號之后，有 9男女對壘 比賽時，男女對壘的臺數(shù)為 15424 僅在 a=0，即必須乙、丙比賽時男、女對壘的號碼，與甲、乙比賽時男、女對壘的號碼 完全不同，甲、丙比賽時，男、女對壘的臺數(shù)才等于 24 【例 20】 將 5 9 的長方形分成 10 個邊長為整數(shù)的長方形證明：無論怎樣分法分得的長方形中必有兩個是完全相同的 【解析】 10個邊長為整數(shù)的長方形，其面積顯然也均是正整數(shù)劃分出的長方形按面積從小到大為： 1 1，1 2， l 3， 1 4， 2 2， 1 5， 1 6， 2 3， 1 7， 1 8， 2 4， 1 9， 3 3 2 5， 2 6，3 4， 2 7， 3 5， 2 8， 4 4， 2 9， 3 6，從這些長方形中選出 不同的長方形，其面積和最小為： 1 1+1 2+1 3+1 4+2 2+1 5+1 6+2 3+1 7+1 8=46而原長方形的面積為 5 9=4546所以分出的長方形必定有某兩個是完全一樣的 【例 21】 將 15 15的正方形方格表的每個格涂上紅色、藍色或綠色證明：至少可 以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同 【解析】 如 果找不到兩行的某種顏色數(shù)一樣，那么就是說所有顏色的列與列之問的數(shù)目不同那么紅色最少也會占 0+1+2+ +14=105個格子 同樣藍色和綠色也是，這樣就必須有至少： 3 (0+l+2+ +14)=315個格子 但 是，現(xiàn)在只有 15 15=225個格子，所以和條件違背，假設(shè)不成立，結(jié)論得證 【例 22】 在 平面上有 7 個點，其中任意 3 個點都不在同一條直線上如果在這 7 個點之字連結(jié) 18 條線段，那么這些線段最多能構(gòu)成多少個三角形 ？ 【解析】 平 面上這 7 個點，任意 3 點都不在同一條直線上，若任意 2 點連接，共可連接出 27C 27C=7 62=21條線段現(xiàn)在只連接 18條線段，有 3條沒有連出，要使得這 18條線段所構(gòu)成的三角形最多，需使得沒連出的這 3 條線段 共同參與的三角形總數(shù)最多，故這 3 條線斷共點 條線段中的任何一條，還與其他 5個點本應(yīng)構(gòu)成 5個三角形，故這 3條線段沒連出，至少少構(gòu)成 5 32個三角形 . 如上圖所示，在圖中 為其中 以減去 3而平面內(nèi)任何三點不共線的 7個點，若任何 2點連線，最多可構(gòu)成 37C =35個三角形故現(xiàn)在最多可構(gòu)成三角形 353個 【例 23】 在 9 9棋盤的每格中都有一只甲蟲，根據(jù)信號它們同時 沿著對角線各自爬到與原來所在格恰有一個公共頂點的鄰格中，這樣某些格中有若干只甲蟲，而另一些格則空著問空格數(shù)最少是多少 ? 【解析】 方法一：考慮到甲蟲總是斜著爬，我們把棋盤黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)原來黑色格子里的甲蟲都會爬 題庫 教師版 1 3 到黑色的格子里面，而白色格子里面的甲蟲都會爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個黑格子，多少個白格子 因為甲蟲每次都從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，而由奇數(shù)行有 25 個黑格子，偶數(shù)行有 16 個黑格子知，偶數(shù)行的 16 只甲蟲爬到奇數(shù)行會空出 9 個黑格子，而奇數(shù)行的 25 只蟲子爬到偶數(shù)行就可以沒有空 格白格子蟲子也會從奇數(shù)行爬到偶數(shù)行，偶數(shù)行爬到奇數(shù)行，但是奇數(shù)行和偶數(shù)行都是 20個格子，最少的情況下不會出現(xiàn)空格子，所以最少出現(xiàn) 9個空格 方法二： 對 2 2棋盤如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對換甲蟲即可使棋盤格不空；從而得到 2n 2 2棋盤，棋盤格均不空 對 3 3棋盤如下黑白染色，注意到圖中有 5個黑格，黑格中的甲蟲爬行后必進入黑格，且四個角上的黑格內(nèi)的甲蟲必爬人中心黑格，而中心黑格內(nèi)的甲蟲只能爬人某一格，必至少空 3個黑格 對 5 5棋盤黑白染色后，利用、的結(jié)論 易知至少空 5個黑格 依次類推，可知對 9 9棋盤黑白染色后，至少空 9個空格下圖是甲蟲爬行的一種方法 【例 24】 若 干臺計算機聯(lián)網(wǎng)，要求： 任意兩臺之間最多用一條電纜連接； 任意三臺之間最多用兩條電纜連接； 兩臺計算機之間如果沒有電纜連接，則必須有另一臺計算機和它們都連 接有電纜若按此要求最少要用 79條電纜 問： (1)這些計算機的數(shù)量是多少臺 ? (2)這些計算機按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜 ? 【解析】 將機器當(dāng)成點，連接電纜當(dāng)成線 ，我們就得到一個圖，如果從圖上一個點出發(fā)，可以沿著線跑到圖上任一個其它的點，這樣的圖就稱為連通的圖，條件表明圖是連通圖 我們看一看幾個點的連通圖至少有多少條線可以假定圖沒有圈 (如果有圈，就在圈上去掉一條線 )，從一點出發(fā)，不能再繼續(xù)前進，將這一點與連結(jié)這點的線去掉考慮剩下的 仍然是連通的用同樣的辦法又可去掉一點及一條線這樣繼續(xù)下去，最后只剩下一個點因此 n 個點的連通圖至少有 如果有圈，線的條數(shù)就會增加 )，并且從一點 樣的圖恰好 有 因此， (1)的答案是 n=79+1=80，并且將一臺計算機與其他 79 臺各用一條線相連，就得到符合要求的聯(lián)網(wǎng) 下面看看最多連多少條線 在這 80 個點 (80臺計算機 )中，設(shè)從1 1B，題庫 教師版 2 3 由于條件，1B,2B， 設(shè)與1A， m+k=80，而2A，3A , 中至多有 線，因為40B 24 ( )m k m k 2( ) 6 4 0 0 所以 m k 1600，即