1 初一數(shù)學(xué) 寒假專題 列方程 （教師版） 【 本講教育信息 】 一 . 教學(xué)內(nèi)容： 寒假專題 列方程 二、教學(xué)要求 （一）復(fù)習(xí)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)、一元一次方程、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值、代數(shù)式的值、方程的解等相關(guān)概念性質(zhì)，能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系及相等關(guān)系，列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型； （二）能夠把文字語(yǔ)言敘 述的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的式子，能夠找出并抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)列出方程； （三）掌握和使用代數(shù)式中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中的相等關(guān)系，并逐步體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題 的能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。 三、重點(diǎn)及難點(diǎn) （一）重 點(diǎn) 1、根據(jù)基本概念及性質(zhì)，分析相等關(guān)系 2、文字語(yǔ)言敘述問題中關(guān)鍵詞語(yǔ)的把握 （二）難點(diǎn)知識(shí)的綜合運(yùn)用 四、課堂教學(xué) （一）知識(shí)要點(diǎn) 我們知道方程是一個(gè)等式而等式表示了一個(gè)相等關(guān)系，因此列方程解決問題的關(guān)鍵在于找出相等關(guān)系。 1、利用基本概念及性質(zhì)列方程 （ 1）單項(xiàng)式的相關(guān)概念 由數(shù)字與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式（特別是單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式），單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有的字母的指數(shù)之和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，可以利用單項(xiàng)式系 數(shù)及次數(shù)的規(guī)定列出方程解題。 例如：已知 2123 是關(guān)于 x 、 y 的系數(shù)為31的 6 次單項(xiàng)式，則其中 a 、b 的值可以由單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)的定義列出方程求解。 列出方程313 a，且 6212 b，解得91a， 6b （ 2）同類項(xiàng)的相關(guān)概念 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)（特別，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)），其相等關(guān)系往往在于相同字母的指數(shù)也分別相同。 如：已知 2 與 123 同類項(xiàng)，則可知 21m ， 11n ，解得 3m ， 2n （ 3）多項(xiàng)式的次數(shù)與項(xiàng) 由幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。其中不含有字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng) 式含有幾項(xiàng)就叫做幾項(xiàng)式。多項(xiàng)式中次數(shù)最 高項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。 根據(jù)多項(xiàng)式次數(shù)規(guī)定找出相等關(guān)系列出方程求出字母的值，如已知多項(xiàng)式a 32332 5214 是六次三項(xiàng)式，可知 6231 a ，解得 4a 已知關(guān)于 x 多項(xiàng)式 12)1( 24 二次三項(xiàng)式，可知01k ，得 1k （ 4）一元一次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)的次數(shù)是 1 的方程叫做一元一次方程。 注意：列方程的關(guān)鍵往往在于未知數(shù)的次數(shù)是 1。 如：已知 03 53 一元一次方程，則可得 153 m ，解得 2m （ 5）相反數(shù)的性質(zhì) 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為 0 是應(yīng)用很廣泛的性質(zhì)，也提示出了列方程所必需的相等關(guān)系。 如：代數(shù)式 32 a 與 互為相反數(shù)，則可 知 05432 解得31a 2 （ 6）倒數(shù)的性質(zhì) 互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為 1，因此一個(gè)數(shù) a 的倒數(shù)可以表示為解倒數(shù)為本身的數(shù)時(shí)，可以利用倒數(shù)性質(zhì)，改此數(shù)為 x ，則 1即 12x ，1x 。 再如 42 x 與 為倒數(shù)，則可知 1)42(x ，解得 3x （ 7）絕對(duì)值的意義 絕對(duì)值的符號(hào)內(nèi)容有未知數(shù)的方程叫做含有絕對(duì)值的方程。 根據(jù) 絕對(duì)值的意義，從正負(fù)兩個(gè)方向考慮絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的值，則可以轉(zhuǎn)化此種方程為一元一次方程，從而解決問題。 如： 112 x ，可以轉(zhuǎn)化為 112 x 或 112 x ，分別解得 1x 或0x （ 8）代數(shù)式的值 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式原有的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫 做代數(shù)式的值。 已知 82 x 的值為 4，可知 482 x ，解得 6x （ 9）方程的解 能夠使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。 題目問法雖然不同，但有一點(diǎn)不變的是方程的解就是方程中未知數(shù)的值這也是解題的關(guān)鍵。 如：已知 0x 是方程 532 根，可知方程 532 x 的值為 0，可得 50302 a ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a 的方程，解得 5a 。 還可以說已知關(guān)于 x 的方程 532 方程 0x 是同解方程，則后面方程中的 x 的值即為前面方程中 x 的值，則 x 為 0，其解法與前面相同。 2、由文字?jǐn)⑹隽蟹匠?這實(shí)際上就是把文字語(yǔ)言敘述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ) 言表達(dá)的式子，列方程的關(guān)鍵在于找等量關(guān)系。在實(shí)際問題中，等量關(guān)系通常隱含在一些關(guān)鍵詞語(yǔ)中，如和、差、積、商、大、小、多、少、幾倍、幾分之幾，比、是、等于、相等、為、得等，列方程時(shí)審題要抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，并從中靈活地悟出等量關(guān)系，其中列代數(shù)式的能力是十分必要的，特別注意運(yùn)算順序，一般先讀的先寫，運(yùn)算級(jí)別是先低后高的要加括號(hào)，而先高后低的就不必加括號(hào)了。如某數(shù)的 2 倍少 5和某數(shù)的 3 倍多 7 相等；某數(shù)與 7 的差的31等于 1；某數(shù)與它的52倍的和再減去 2；某數(shù)的平方與 10 的積是該數(shù) 2 倍的相反數(shù)。 設(shè)某數(shù)為 x ， 則 可 分 別 列 得 7352 1)7(31 x； 10 2 。 3、由公式列出方程 利用常見的面積、周長(zhǎng)等公式列方程求其中一個(gè)變量的值也是一種常見的問題。如長(zhǎng)方形面積為 24 2，長(zhǎng)為 8 ，則設(shè)寬為 x ，由長(zhǎng)方形面積公式長(zhǎng)寬面積，可知 248 x ，解得 3x ，則寬為 3 。 4、利用規(guī)律列方程 如：在 一條直線上取 n 個(gè)點(diǎn)，出現(xiàn)了 30 條射線，則求 n 的值。由相關(guān)的規(guī)律可知取 n 個(gè)點(diǎn)出現(xiàn) 2 n 條射線，得 302 n ，解得 n 15。 【 典型例題 】 例 1：若 2 與 833 ba n 的和仍然是一個(gè)單項(xiàng)式，求 m 、 n 的值。 分析： 2 833 ba n 是單項(xiàng)式，則 2 與 833 ba n 必為同類項(xiàng)，可以合并；由同類項(xiàng)定義可知 33 82 m ，可求出 m 、 n 的值。 解： 由題意得 33 82 m ，解得 4m ，代入 33 得334 n ，37m ，37：已知關(guān)于 x 的方程213 3 a 的值。 分析： 關(guān)于 x 的方程是指未知數(shù)為 x ，若此方程為一元一次方程，則未知數(shù) x 的指數(shù)為 1，得到 13 a ，解此絕對(duì)值方程即可。 3 解： 由題意得 13 a ，則 13 a 或 13 a ，解得31：如果 的相反數(shù)，求 x 的值。 分析： 可有兩種思路：（ 1）利用互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為 0， 互 為相反數(shù)，則 5 0；（ 2） 5 的相反數(shù)為 5，原題理解為 5，即 5，這兩個(gè)方程的解相同，我們以思路（ 2）為例說明。 解 ： 由題意得 5，解得 10x 例 4：已知 21x 的值與 3y 的值互為相反數(shù)（問法 2 已知 031 2 ，求 x 、 y 的值。 分析： 問法 1，利用相反數(shù)的性質(zhì)可知 031 2 由于 01 2 x ， 03 y ，可知只可能 21x 0，且 3y 0，則 01 x ，03y ，可解出 x 、 y 的值。問法 2，利用代數(shù)式的值的定義可知 031 2 其解法同前一問相同。 解： 由題意得 031 2 解得 01x ， 03y 得 1x ， 3y 例 5：已知代數(shù)式 32 x 的值比 x3 的值小 1，則求 x 的值。 分析： 找出關(guān)鍵詞語(yǔ)“比”、“小”，分析數(shù)量關(guān)系，列出方程1332 解： 由題意得 1332 解得35：已知三個(gè)連續(xù)偶數(shù)之和為 30，求這三個(gè)數(shù)。 分析： 此題中關(guān)鍵在于設(shè)，兩個(gè)連續(xù) 偶數(shù)之間差為 2，則可設(shè)這三個(gè)偶數(shù)為 x ， 2x ， 4x ，再列方程。 解： 設(shè)這三個(gè)偶數(shù)分別為 x ， 2x ， 4x 由題意得 3042 解 得 8x 則124 102 、 10、 12。 小結(jié)： 1、復(fù)習(xí)單項(xiàng)式、 多項(xiàng)式、同類項(xiàng)、一元一次方程、代數(shù)式的值、方程的解等相關(guān)概念，及相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的性質(zhì)； 2、明確列方程的關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系，能夠由語(yǔ)言文字?jǐn)⑹隽蟹匠蹋?3、能夠綜合運(yùn)用知識(shí)分析相等關(guān)系列方程。 【 模擬試題 】（答題時(shí)間： 40 分鐘） （一）填空 1、方程 013 52 一元一次方程，則 n ，方程的解為 。 2、 x 時(shí)，代數(shù)式 523 x 的值等于 18 的相反數(shù)。 3、關(guān)于 y 的方程 243 的根為 3，則 a 的值是 。 4、 32 x ，則 x 。 5、已知21x與 差為 2，則 x 。 6、代數(shù)式 2x 11 的值與 9x 的值相等，則 x 。 7、已知 24 與 是同類項(xiàng)，則 m ,n . 8、 x 時(shí)，代數(shù)式 2x 8 的值等于 4 9、代數(shù)式 2x 1 的值與 1 互為倒數(shù)，則 x _. 4 10、代數(shù)式 2a 3 與 3 a 的值互為相反數(shù)，則 a _. 11、已知：關(guān)于 x 的多項(xiàng)式 12)2( 23 二次三項(xiàng)式則 k_. （二）根據(jù)下列條件列出方程 1、 5 減去某數(shù) 3 倍的差等于某數(shù)與 4 的和。 2、某數(shù)的 5 倍加上 7 等于 22. 3、某數(shù)的 4 倍與 2 的和等于 3. 4、某數(shù)與 5 的差的一半等于 1. （三）解答題 1、觀察下面的一列數(shù) 1， 6， 11， 16， 21， 則它的第多少項(xiàng)等于 2006？ 2、在多項(xiàng)式 9822 222 a 的值 。 3、已知， x 1 m 與 2x 5 m 的解相同 ,求 m 的值。 4、已知，關(guān)于 x 的方程 2x 3 0 的解使 0)1( 2 x ，求 a 的值。 初一數(shù)學(xué) 寒假專題 列方程 試題答案 （一） 1、 3 ， 312、 1 3、 1 4、 5 或 1 5、 1 6、 1 7、 3，218、 6 9、 1 10、 0 11、 2 （二） 1、 解： 設(shè)某數(shù)為 x，由題意得 5 3x x 4 2、 解： 設(shè)某數(shù)為 x，由題意得 5x 7 22 3、 解： 設(shè)某數(shù)為 x，由題意得 4x 2 3 4、 解： 設(shè)某數(shù)為 x，由題意得 12 5 x（三） 1、 解： 觀察