例談探索開放性問題的解題策略例談探索開放性問題的解題策略 王玉香 蘭州三十二中 郵編 730000 內(nèi)容摘要內(nèi)容摘要 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 明確指出 自主探索 動手實(shí)踐 合作交流等是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式 使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在 教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造 因此 在數(shù)學(xué)教學(xué)中 以數(shù)學(xué)開放題為載 體 通過為學(xué)生營造開放性 發(fā)展性 層次性等特點(diǎn)的問題情境 鼓勵(lì)學(xué)生嘗試探索 多角度激活他們的創(chuàng)造性思維 產(chǎn)生盡可能多 盡可能新 盡可能獨(dú)特的解題方法 以利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識 創(chuàng)新能力和創(chuàng)新精神 關(guān)健詞關(guān)健詞 開放性問題 解題策略 開放性問題是近年來數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新方向 是一種具有開放性 和發(fā)散性的問題 由于它具有與傳統(tǒng)封閉型題不同的特點(diǎn) 因此在 數(shù)學(xué)教學(xué)中有其特定功能 數(shù)學(xué)開放題教學(xué)通過營造開放性 發(fā)展 性 層次性等特點(diǎn)的問題情境 為學(xué)生提供了更多的交流與合作的 機(jī)會 為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件 數(shù)學(xué)開放題的教學(xué) 過程是學(xué)生主動構(gòu)建 積極參與的過程 有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識 讓學(xué)生真正學(xué)會 數(shù)學(xué)地思維 數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程也是學(xué)生探 索和創(chuàng)造的過程 有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索開拓精神和創(chuàng)造能力 本 文就數(shù)學(xué)開放題的幾種常見類型 例說探索開放性問題的解題策略 1 條件追溯型 這類問題的基本特征是 針對一個(gè)結(jié)論 條件 未知需探索 或條件增刪需確定 或條件正誤需判斷 解決這類問 題的基本策略是 執(zhí)果索因 先尋找結(jié)論成立的必要條件 再通過 檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件 在 執(zhí)果索因 的過程中 常常會犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否 誤將必要條件 當(dāng)作充分條件 應(yīng)引起注意 例1 2006湖南高考 若函數(shù)f x asin x b sin x 4 4 ab 0 是偶函數(shù) 則有序數(shù)對 a b 可以是 注 只 要填滿足a b 0的一組數(shù)字即可 寫出你認(rèn)為正確的一組數(shù)字即可 解析 函數(shù)f x asin x b sin x 是偶函數(shù) 觀察易得 4 4 x 與 x 是兩個(gè)互余的角 當(dāng) a b b 時(shí)易變形為一個(gè)角的一個(gè) 4 4 三角函數(shù)的形式 不妨令a 1 b 1 故f x sin x sin x 4 4 cosx 2 4 sin 2 2 4 cos 2 2 xx2 故取a 1 b 1 點(diǎn)評 本題為條件探索型題目 其結(jié)論明確 需要完備使得結(jié)論 成立的充分條件 可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件 進(jìn)行演繹推理 推導(dǎo)出所需尋求的條件 這類題要求學(xué)生變換思維方向 有利于培 養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力 2 結(jié)論探索型 這類問題的基本特征是 有條件而無結(jié)論或 結(jié)論的正確與否需要確定 解決這類問題的策略是 先探索結(jié)論而 后去論證結(jié)論 在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧?通過觀察 分析 歸納 判斷來作一番猜測 得出結(jié)論 再就一般情形去認(rèn)證 結(jié)論 例2 2007福建高考 中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系 比如 相等關(guān)系 平行關(guān)系 等等 如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系 滿足 以下三個(gè)條件 1 自反性 對于任意a A 都有a a 2 對稱性 對于a b A 若a b 則有b a 3 傳遞性 對于a b c A 若a b b c 則有a c 則稱 是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 例如 數(shù)的相等 是等價(jià) 關(guān)系 而 直線的平行 不是等價(jià)關(guān)系 自反性不成立 請你再列 出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系 解析 令A(yù)為所有三角形構(gòu)成的集合 定義 兩個(gè)三角形全等為關(guān)系 則其為等價(jià)關(guān)系 令B為所有正方形構(gòu)成的集合 定義 B中兩個(gè)元素相似為關(guān)系 則其為等價(jià)關(guān)系 點(diǎn)評 本題要求正確理解新概念 的意義 如何能夠跳出 題海 全面考察問題的各個(gè)方面 不僅可以訓(xùn)練自己的思維 而且 可以縱觀全局 從整體上對知識的全貌有一個(gè)較好的理解 3 條件重組型 這類問題的基本特征是 改變已知問題的條件 探討結(jié)論相應(yīng)地會發(fā)生什么變化 或者改變已知問題的結(jié)論 探討 條件相應(yīng)地會發(fā)生什么變化 例3 99 年全國高考 是兩個(gè)不同的平面 m n 是 平面 及 之外的兩條不同的直線 給出四個(gè)論斷 m n n m 以其中的三個(gè)論斷作為條 件 余下一個(gè)論斷作為結(jié)論 寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題 解析 本題給出了四個(gè)論斷 要求其中三個(gè)為條件 余下一個(gè)為結(jié) 論 分四種情況逐一驗(yàn)證 依題意可得以下四個(gè)命題 1 m n n m 2 m n m n 3 m n n m 4 n m m n 不難發(fā)現(xiàn) 命題 3 4 為真命題 而命題 1 2 為假命題 故填上 命題 3 或 4 點(diǎn)評 本題的條件和結(jié)論都不是固定的 是可變的 所以這是一 道條件開放結(jié)論也開放的全開放性試題 本題可組成四個(gè)命題 且 正確的命題不止一個(gè) 解題時(shí)不必把所有正確的命題都找出 因此 本題的結(jié)論也是開放的 4 存在判斷型 這類問題的基本特征是 要判斷在某些確定 條件下的某一數(shù)學(xué)對象 數(shù)值 圖形 函數(shù)等 是否存在或某一結(jié)論 是否成立 解決這類問題的基本策略是 通常假定題中的數(shù)學(xué)對象 存在 或結(jié)論成立 或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論 然后在這個(gè)前 提下進(jìn)行邏輯推理 若由此導(dǎo)出矛盾 則否定假設(shè) 否則 給出肯 定結(jié)論 例4 已知f x log a 3 ax 1 當(dāng)x 0 2 時(shí) 函數(shù)f x 恒有意義 求a的取值范圍 2 是否存在這樣的實(shí)數(shù)a 使得函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 為減函數(shù) 并 且最大值為1 如果存在 求出實(shí)數(shù)a 的值 如果不存在 說明理 由 解析 1 由題意3 ax 0在x 0 2 上恒成立 則有3 2a 0 所以a的取值范圍為0 a 1或1 a 0 為減函數(shù) 由題設(shè)條件知f 1 1 則loga 3 a 1 解得a 又函數(shù)f x 在區(qū)間 1 2 有意義 2 3 2 3 a 所以這樣的實(shí)數(shù)a不存在 點(diǎn)評 多個(gè)限制條件的存在型問題一種方法是在各個(gè)獨(dú)立條件限 制下 分別求相應(yīng)的結(jié)果 再看這些條件共同限制的情況 從而得 出結(jié)論 一種方法是在一個(gè)限制條件下分析 然后逐步加入其它限 制條件 實(shí)際解題時(shí) 據(jù)具體題目特點(diǎn)確定解法 總之 對數(shù)學(xué)探索開放性問題的學(xué)習(xí) 有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新 意識 擴(kuò)大創(chuàng)新視野 使學(xué)生積極主動參與創(chuàng)造活動 有利于學(xué)生 綜合與靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法 進(jìn)行獨(dú)立的思考探索 和研究 提出解決問題的思路 創(chuàng)造性的解決問題 有利于培養(yǎng)學(xué) 生探索 分析 歸納 判斷 討論與證明等方面的能力 使學(xué)生經(jīng) 歷一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題 研究問題 解決問題的全過程 使學(xué)生的創(chuàng)新精神 和創(chuàng)新