圓圓 第一課時 教學內(nèi)容教學內(nèi)容 1 圓的有關概念 2 垂徑定理 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧及其它 們的應用 教學目標教學目標 了解圓的有關概念 理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程 講授圓的有關概念 利用操作幾何的 方法 理解圓是軸對稱圖形 過圓心的直線都是它的對稱軸 通過復合圖形的折疊方法得出猜 想垂徑定理 并輔以邏輯證明加予理解 重難點 關鍵重難點 關鍵 1 重點 垂徑定理及其運用 2 難點與關鍵 探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實際問題 教學過程教學過程 一 復習引入一 復習引入 學生活動 請同學口答下面兩個問題 提問一 兩個同學 1 舉出生活中的圓三 四個 2 你能講出形成圓的方法有多少種 老師點評 口答 1 如車輪 杯口 時針等 2 圓規(guī) 固定一個定點 固定一個 長度 繞定點拉緊運動就形成一個圓 二 探索新知二 探索新知 從以上圓的形成過程 我們可以得出 在一個平面內(nèi) 線段 OA 繞它固定的一個端點 O 旋轉(zhuǎn)一周 另一個端點所形成的圖形叫 做圓 固定的端點 O 叫做圓心 線段 OA 叫做半徑 以點 O 為圓心的圓 記作 O 讀作 圓 O 學生四人一組討論下面的兩個問題 問題 1 圖上各點到定點 圓心 O 的距離有什么規(guī)律 問題 2 到定點的距離等于定長的點又有什么特點 老師提問幾名學生并點評總結(jié) 1 圖上各點到定點 圓心 O 的距離都等于定長 半徑 r 2 到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上 因此 我們可以得到圓的新定義 圓心為 O 半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點 O 的距 離等于定長 r 的點組成的圖形 同時 我們又把 連接圓上任意兩點的線段叫做弦 如圖線段 AC AB 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 如圖 24 1 線段 AB 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧 簡稱弧 以 A C 為端點的弧記作 讀作 圓 A AC 弧 或 弧 AC 大于半圓的弧 如圖所示叫做優(yōu)弧 小于半圓的弧 如圖所示 A AC A ABC 或叫做劣弧 A AC A BC B AC O 圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧 每一條弧都叫做半圓 學生活動 請同學們回答下面兩個問題 1 圓是軸對稱圖形嗎 如果是 它的對稱軸是什么 你能找到多少條對稱軸 2 你是用什么方法解決上述問題的 與同伴進行交流 老師點評 1 圓是軸對稱圖形 它的對稱軸是直徑 我能找到無數(shù)多條直徑 3 我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對稱軸問題的 因此 我們可以得到 圓是軸對稱圖形 其對稱軸是任意一條過圓心的直線 學生活動 請同學按下面要求完成下題 如圖 AB 是 O 的一條弦 作直徑 CD 使 CD AB 垂足為 M BA C D O M 1 如圖是軸對稱圖形嗎 如果是 其對稱軸是什么 2 你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系 說一說你理由 老師點評 1 是軸對稱圖形 其對稱軸是 CD 2 AM BM 即直徑 CD 平分弦 AB 并且平分 AA ACBC AA ADBD 及 A AB A ADB 這樣 我們就得到下面的定理 垂直于弦的直徑平分弦 并且平分弦所對的兩條弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下 已知 直徑 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足為 M 求證 AM BM AA ACBC AA ADBD 分析 要證 AM BM 只要證 AM BM 構(gòu)成的兩個三角形全等 因此 只要連結(jié) OA OB 或 AC BC 即可 證明 如圖 連結(jié) OA OB 則 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 OAOB OMOM BA C O M C E D O F BA C E D O N M Rt OAM Rt OBM AM BM 點 A 和點 B 關于 CD 對稱 O 關于直徑 CD 對稱 當圓沿著直線 CD 對折時 點 A 與點 B 重合 與重合 與重合 A AC A BC A AD A BD AA ACBC AA ADBD 進一步 我們還可以得到結(jié)論 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 本題的證明作為課后練習 例例 1 如圖 一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦 即圖中 點 O 是的圓心 其中 A CD A CD CD 600m E 為上一點 且 OE CD 垂足為 F EF 90m 求這段彎路的半徑 A CD 分析 例 1 是垂徑定理的應用 解題過程中使用了列方程的方法 這種用代數(shù)方法解決 幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌握 解 如圖 連接 OC 設彎路的半徑為 R 則 OF R 90 m OE CD CF CD 600 300 m 1 2 1 2 根據(jù)勾股定理 得 OC2 CF2 OF2 即 R2 3002 R 90 2 解得 R 545 這段彎路的半徑為 545m 三 鞏固練習三 鞏固練習 教材 P86 練習 P88 練習 四 應用拓展四 應用拓展 例例 2 有一石拱橋的橋拱是圓弧形 如圖 24 5 所示 正常水位下水面寬 AB 60m 水面 到拱頂距離 CD 18m 當洪水泛濫時 水面寬 MN 32m 時是否需要采取緊急措施 請說明理 由 分析 要求當洪水到來時 水面寬 MN 32m 是否需要采取緊急措施 只要求出 DE 的 長 因此只要求半徑 R 然后運用幾何代數(shù)解求 R 解 不需要采取緊急措施 設 OA R 在 Rt AOC 中 AC 30 CD 18 R2 302 R 18 2 R2 900 R2 36R 324 解得 R 34 m 連接 OM 設 DE x 在 Rt MOE 中 ME 16 342 162 34 x 2 162 342 68x x2 342 x2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 不合設 DE 4 不需采取緊急措施 五 歸納小結(jié) 學生歸納 老師點評 五 歸納小結(jié) 學生歸納 老師點評 本節(jié)課應掌握 1 圓的有關概念 2 圓是軸對稱圖形 任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸 3 垂徑定理及其推論以及它們的應用 六 布置作業(yè)六 布置作業(yè) 1 教材 P94 復習鞏固 1 2 3 2 車輪為什么是圓的呢 3 垂徑定理推論的證明 4 選用課時作業(yè)設計 第一課時作業(yè)設計第一課時作業(yè)設計 一 選擇題 一 選擇題 1 如圖 1 如果 AB 為 O 的直徑 弦 CD AB 垂足為 E 那么下列結(jié)論中 錯誤的是 A CE DE B C BAC BAD D AC AD AA BCBD B A C E D O BA O M BA C D P O 1 2 3 2 如圖 2 O 的直徑為 10 圓心 O 到弦 AB 的距離 OM 的長為 3 則弦 AB 的長是 A 4 B 6 C 7 D 8 3 如圖 3 在 O 中 P 是弦 AB 的中點 CD 是過點 P 的直徑 則下列結(jié)論中不正確的是 A AB CD B AOB 4 ACD C D PO PD AA ADBD 二 填空題二 填空題 1 如圖 4 AB 為 O 直徑 E 是中點 OE 交 BC 于點 D BD 3 AB 10 則 A BC AC B A C E D O B A C E D O F 4 5 2 P 為 O 內(nèi)一點 OP 3cm O 半徑為 5cm 則經(jīng)過 P 點的最短弦長為 最長 弦長為 B A C E D O F 3 如圖 5 OE OF 分別為 O 的弦 AB CD 的弦心距 如果 OE OF 那么 只需 寫一個正確的結(jié)論 三 綜合提高題三 綜合提高題 1 如圖 24 11 AB 為 O 的直徑 CD 為弦 過 C D 分別作 CN CD DM CD 分別 交 AB 于 N M 請問圖中的 AN 與 BM 是否相等 說明理由 B A C D O N M 2 如圖 O 直徑 AB 和弦 CD 相交于點 E AE 2 EB 6 DEB 30 求弦 CD 長 B A C E D O 3 開放題 AB 是 O 的直徑 AC AD 是 O 的兩弦 已知 AB 16 AC 8 AD 8 求 DAC 的度數(shù) 答案答案 一 1 D 2 D 3 D 二 1 8 2 8 10 3 AB CD 三 1 AN BM 理由 過點 O 作 OE CD 于點 E 則 CE DE 且 CN OE DM ON OM OA ON OB OM AN BM 2 過 O 作 OF CD 于 F 如右圖所示 AE 2 EB 6 OE 2 EF OF 1 連結(jié) OD 3 在 Rt ODF 中 42 12 DF2 DF CD 2 1515 3 1 AC AD 在 AB 的同旁 如右圖所示 AB 16 AC 8 AD 8 3 AC AB CAB 60 1 2 1 2 1 2 同理可得 DAB 30 DAC 30 2 AC AD 在 AB 的異旁 同理可得 DAC 60 30 90 圓圓 第第 2 2 課時課時 教學內(nèi)容教學內(nèi)容 1 圓心角的概念 2 有關弧 弦 圓心角關系的定理 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦也相等 3 定理的推論 在同圓或等圓中 如果兩條弧相等 那么它們所對的圓心角相等 所 對的弦相等 在同圓或等圓中 如果兩條弦相等 那么它們所對的圓心角相等 所對的弧也相等 教學目標教學目標 了解圓心角的概念 掌握在同圓或等圓中 圓心角 弦 弧中有一個量的兩個相等就可以 推出其它兩個量的相對應的兩個值就相等 及其它們在解題中的應用 通過復習旋轉(zhuǎn)的知識 產(chǎn)生圓心角的概念 然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識探索在同圓或等圓 中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦中有一組量相等 那么它們所對應的其余各組量都分別 相等 最后應用它解決一些具體問題 重難點 關鍵重難點 關鍵 1 重點 定理 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對弦也相等及其兩 個推論和它們的應用 2 難點與關鍵 探索定理和推導及其應用 教學過程教學過程 一 復習引入一 復習引入 學生活動 請同學們完成下題 已知 OAB 如圖所示 作出繞 O 點旋轉(zhuǎn) 30 45 60 的圖形 B A O 老師點評 繞 O 點旋轉(zhuǎn) O 點就是固定點 旋轉(zhuǎn) 30 就是旋轉(zhuǎn)角 BOB 30 二 探索新知二 探索新知 如圖所示 AOB 的頂點在圓心 像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角 D O B A C B A O 學生活動 請同學們按下列要求作圖并回答問題 如圖所示的 O 中 分別作相等的圓心角 AOB 和 A OB 將圓心角 AOB 繞圓 心 O 旋轉(zhuǎn)到 A OB 的位置 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系 為什么 B B A A O AB A B A AB A A B 理由 半徑 OA 與 O A 重合 且 AOB A OB 半徑 OB 與 OB 重合 點 A 與點 A 重合 點 B 與點 B 重合 與重合 弦 AB 與弦 A B 重合 A AB A A B AB A B A AB A A B 因此 在同一個圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦相等 在等圓中 相等的圓心角是否也有所對的弧相等 所對的弦相等呢 請同學們現(xiàn)在動手 作一作 學生活動 老師點評 如圖 1 在 O 和 O 中 分別作相等的圓心角 AOB 和 A O B 得到如圖 2 滾動一個圓 使 O 與 O 重合 固定圓心 將其中的一個圓旋轉(zhuǎn) 一個角度 使得 OA 與 O A 重合 O O O O B A BB O O O O B A A A 1 2 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系 說一說你的理由 我能發(fā)現(xiàn) AB A B A AB A A B 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了 這就是又回到了我們的數(shù)學思想上去呢 化歸思想 化未知為已知 因此 我們可以得到下面的定理 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦也相等 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦也相等 同樣 還可以得到 在同圓或等圓中 如果兩條弧相等 那么它們所對的圓心角相等 所對的弦也相等 在同圓或等圓中 如果兩條弦相等 那么它們所對的圓心角相等 所對的弧也相等 學生活動 請同學們現(xiàn)在給予說明一下 請三位同學到黑板板書 老師點評 例例 1 如圖 在 O 中 AB CD 是兩條弦 OE AB OF CD 垂足分別為 EF 1 如果 AOB COD 那么 OE 與 OF 的大小有什么關系 為什么 2 如果 OE OF 那么與的大小有什么關系 AB 與 CD 的大小有什么關系 A AB A CD 為什么 AOB 與 COD 呢 O B A C E D F 分析 1 要說明 OE OF 只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中說明 AE CF 即說明 AB CD 因此 只要運用前面所講的定理即可 2 OE OF 在 Rt AOE 和 Rt COF 中 又有 AO CO 是半徑 Rt AOE Rt COF AE CF AB CD 又可運用上面的定理得到 A AB A CD 解 1 如果 AOB COD 那么 OE OF 理由是 AOB COD AB CD OE AB OF CD AE AB CF CD 1 2 1 2 AE CF 又 OA OC Rt OAE Rt OCF OE OF 2 如果 OE OF 那么 AB CD AOB COD A AB A CD 理由是 OA OC OE OF Rt OAE Rt OCF AE CF 又 OE AB OF CD AE AB CF CD 1 2 1 2 AB 2AE CD 2CF AB CD AOB COD A AB A CD 三 鞏固練習三 鞏固練習 教材 P89 練習 1 教材 P90 練習 2 四 應用拓展四 應用拓展 例例 2 如圖 3 和圖 4 MN 是 O 的直徑 弦 AB CD 相交于 MN 上的一點 P APM CPM 1 由以上條件 你認為 AB 和 CD 大小關系是什么 請說明理由 2 若交點 P 在 O 的外部 上述結(jié)論是否成立 若成立 加以證明 若不成立 請說 明理由 B A C E D P O N M F B A C E D P N M F 3 4 分析 1 要說明 AB CD 只要證明 AB CD 所對的圓心角相等 只要說明它們的 一半相等 上述結(jié)論仍然成立 它的證明思路與上面的題目是一模一樣的 解 1 AB CD 理由 過 O 作 OE OF 分別垂直于 AB CD 垂足分別為 E F APM CPM 1 2 OE OF 連結(jié) OD OB 且 OB OD Rt OFD Rt OEB DF BE 根據(jù)垂徑定理可得 AB CD 2 作 OE AB OF CD 垂足為 E F APM CPN 且 OP OP PEO PFO 90 Rt OPE Rt OPF OE OF 連接 OA OB OC OD 易證 Rt OBE Rt ODF Rt OAE Rt OCF 1 2 3 4 AB CD 五 歸納總結(jié) 學生歸納 老師點評 五 歸納總結(jié) 學生歸納 老師點評 本節(jié)課應掌握 1 圓心角概念 2 在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦中有一組量相等 那么它們所 對應的其余各組量都部分相等 及其它們的應用 六 布置作業(yè)六 布置作業(yè) 1 教材 P94 95 復習鞏固 4 5 6 7 8 2 選用課時作業(yè)設計 第二課時作業(yè)設計第二課時作業(yè)設計 一 選擇題 一 選擇題 1 如果兩個圓心角相等 那么 A 這兩個圓心角所對的弦相等 B 這兩個圓心角所對的弧相等 C 這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等 D 以上說法都不對 2 在同圓中 圓心角 AOB 2 COD 則兩條弧 AB 與 CD 關系是 A 2 B C 2 D 不能確定 A AB A CD A AB A CD A AB A CD 3 如圖 5 O 中 如果 2 那么 A AB A AC A AB AC B AB AC C AB2AC O B A C O BA C E D 5 6 二 填空題二 填空題 1 交通工具上的輪子都是做圓的 這是運用了圓的性質(zhì)中的 2 一條弦長恰好為半徑長 則此弦所對的弧是半圓的 3 如圖 6 AB 和 DE 是 O 的直徑 弦 AC DE 若弦 BE 3 則弦 CE 三 解答題三 解答題 1 如圖 在 O 中 C D 是直徑 AB 上兩點 且 AC BD MC AB ND AB M N 在 O 上 1 求證 A AM A BN 2 若 C D 分別為 OA OB 中點 則成立 AAA AMMNNB 嗎 2 如圖 以ABCD 的頂點 A 為圓心 AB 為半徑作圓 分別A O BA C D NM 交 BC AD 于 E F 若 D 50 求的度數(shù)和的度數(shù) A BE A EF B A C E D F 3 如圖 AOB 90 C D 是 AB 三等分點 AB 分別交 OC OD 于點 E F 求證 AE BF CD O B A C E D F 答案答案 一 1 D 2 A 3 C 二 1 圓的旋轉(zhuǎn)不變形 2 或 3 3 1 3 5 3 三 1 1 連結(jié) OM ON 在 Rt OCM 和 Rt ODN 中 OM ON OA OB AC DB OC OD Rt OCM Rt ODN AOM BON A A AMNB 2 A AA AMMNNB 2 BE 的度數(shù)為 80 EF 的度數(shù)為 50 3 連結(jié) AC BD C D 是三等分點 A AB AC CD DB 且 AOC 90 30 1 3 OA OC OAC OCA 75 又 AEC OAE AOE 45 30 75 AE AC 同理可證 BF BD AE BF CD 圓圓 第第 3 3 課時課時 O B A C E F 教學內(nèi)容教學內(nèi)容 1 圓周角的概念 2 圓周角定理 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對的圓周角相等 都等于這條弦所對的 圓心角的一半 推論 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應 用 教學目標教學目標 1 了解圓周角的概念 2 理解圓周角的定理 在同圓或等圓中 同弧或等弧所對的圓周角相等 都等于這條弧 所對的圓心角的一半 3 理解圓周角定理的推論 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的 弦是直徑 4 熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用 設置情景 給出圓周角概念 探究這些圓周角與圓心角的關系 運用數(shù)學分類思想給予邏 輯證明定理 得出推導 讓學生活動證明定理推論的正確性 最后運用定理及其推導解決一些 實際問題 重難點 關鍵重難點 關鍵 1 重點 圓周角的定理 圓周角的定理的推導及運用它們解題 2 難點 運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理 3 關鍵 探究圓周角的定理的存在 教學過程教學過程 一 復習引入一 復習引入 學生活動 請同學們口答下面兩個問題 1 什么叫圓心角 2 圓心角 弦 弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢 老師點評 1 我們把頂點在圓心的角叫圓心角 2 在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦中有一組量相等 那么它們所 對的其余各組量都分別相等 剛才講的 頂點在圓心上的角 有一組等量的關系 如果頂點不在圓心上 它在其它的位 置上 如在圓周上 是否還存在一些等量關系呢 這就是我們今天要探討 要研究 要解決的 問題 二 探索新知二 探索新知 問題 如圖所示的 O 我們在射門游戲中 設 E F 是球門 設球 員們只能在所在的 O 其它位置射門 如圖所示的 A B C 點 通 A EF 過觀察 我們可以發(fā)現(xiàn)像 EAF EBF ECF 這樣的角 它們的頂點 在圓上 并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角 現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題 1 一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有多少個 2 同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化 3 同弧上的圓周角與圓心角有什么關系 學生分組討論 提問二 三位同學代表發(fā)言 老師點評 1 一個弧上所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個 O B A C O B A C D 2 通過度量 我們可以發(fā)現(xiàn) 同弧所對的圓周角是沒有變化的 3 通過度量 我們可以得出 同弧上的圓周角是圓心角的一半 下面 我們通過邏輯證明來說明 同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化 并且它的度數(shù)恰 好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半 1 設圓周角 ABC 的一邊 BC 是 O 的直徑 如圖所示 AOC 是 ABO 的外角 AOC ABO BAO OA OB ABO BAO AOC ABO ABC AOC 1 2 2 如圖 圓周角 ABC 的兩邊 AB AC 在一條直徑 OD 的兩側(cè) 那么 ABC AOC 嗎 請同學們獨立完成這道題的說明過程 1 2 老師點評 連結(jié) BO 交 O 于 D 同理 AOD 是 ABO 的外角 COD 是 BOC 的外角 那么就有 AOD 2 ABO DOC 2 CBO 因此 AOC 2 ABC 3 如圖 圓周角 ABC 的兩邊 AB AC 在一條直徑 OD 的同側(cè) 那么 ABC AOC 嗎 請同學們獨立完成證明 1 2 老師點評 連結(jié) OA OC 連結(jié) BO 并延長交 O 于 D 那么 AOD 2 ABD COD 2 CBO 而 ABC ABD CBO AOD 1 2 COD AOC 1 2 1 2 現(xiàn)在 我如果在畫一個任意的圓周角 AB C 同樣可證得它等于同弧上圓心角一半 因 此 同弧上的圓周角是相等的 從 1 2 3 我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理 在同圓或等圓中 同弧等弧所對的圓周角相等 都等于這條弧所對