操作探究 一 1. （ 2016泰安一模） 把一張矩形紙片（矩形 如圖方式折疊，使頂點(diǎn) 重合，折痕為 重疊部分 面積是（ ） A 考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題） 【專題】 計(jì)算題 【分析】 根據(jù)圖形折疊前后圖形不發(fā)生大小變化，得出 E ，再利用勾股定理得出AE 2+AD 2=而求出 x，進(jìn)而得出 再求出 面積 【解答】 解： 按如圖方式折疊，使頂點(diǎn) 痕為 AD=假設(shè) AE=x，則 AE= x（ AE 2+AD 2= x 2+9=（ 5 x） 2， 解得： x= 面積是： = 故選 B 二 1. （ 2016 天津市和平區(qū) 一模） 長為 1，寬為 （ a 1），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第 二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第 下的矩形為正方形，則操作終止 （ I）第二次操作時(shí)，剪下的正方形的邊長為 1 a ； （ ）當(dāng) n=3時(shí)， 或 （用含 示） 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題） 【分析】 根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長都等于原矩形的寬所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條 邊是矩形的寬當(dāng) a 1時(shí)，矩形的長為 1，寬為 a，所以第一次操作時(shí)所得正方形的邊長為 a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為 1 a， a由 1 a 二次操作時(shí)所得正方形的邊長為 1 a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為 1 a， a（ 1 a） =2a 1由 于（ 1 a）（ 2a 1） =2 3a，所以（ 1 a）與（ 2a 1）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況： 1 a 2a 1； 1 a 2a 1對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出 【解答】 解：由題意，可知當(dāng) a 1時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長為 a，寬為 1 a，所以第二次操作時(shí)正方形的邊長為 1 a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為 1 a，2a 1 故答案為： 1 a； 此時(shí)，分兩種情況： 如果 1 a 2a 1，即 a ，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為 2a 1 經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形， 矩形的寬等于 1 a， 即 2a 1=（ 1 a）（ 2a 1），解得 a= ； 如果 1 a 2a 1，即 a ，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為 1 a 則 1 a=（ 2a 1）（ 1 a），解得 a= 故答案為： 或 【點(diǎn)評】 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況： 1 a 2a 1； 1 a 2a 1分別求出操作后剩下的矩形的兩邊 2. (2016鄭州二模 )已知一個(gè)矩形紙片 6， 11，點(diǎn) 、 經(jīng)過點(diǎn) 折痕 ，經(jīng)過點(diǎn) 點(diǎn) C 落在直線 ，得折痕 點(diǎn) C，當(dāng)點(diǎn) C恰好落在邊 時(shí) 長為 答案： 11 133 或 11 13 . (2016上海浦東模擬 )定義運(yùn)算“ ”：規(guī)定 x （其中 a、 b 為常數(shù)），若 1 1 3， 1( ) 1， 則 1 2 4 4. （ 2016江蘇省南京市鐘愛中學(xué)九年級下學(xué)期期初考試） 如圖，已知正方形 、 O 上，頂點(diǎn) C、 O 內(nèi)，將正方形 點(diǎn) O 上若正方形 O 的半徑均為 6點(diǎn) 答案： 三 1.（ 2016河北石家莊一模） 如圖 1，一副直角三角板滿足 C， E，00 ， 【操作 1】將三角板 放置于三角板 C 上，再將三角板 旋轉(zhuǎn)，并使邊 邊 ，邊 邊 在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖 2，當(dāng) 時(shí)， 給出證明 【操作 2】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖 3，當(dāng) 時(shí) 并說明理由 【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫出 當(dāng)時(shí)， Q 滿足的數(shù)量關(guān)系是 什么？其中 直接寫出結(jié)論，不必證明） m 第 1題 【考點(diǎn)】 相似形綜合題 【 分析】 （操作 1）連接 據(jù)已知條件得到 據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明 E， C 根據(jù)等角的余角相等可以證明 即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論； （操作 2）作 B ， C 于 M、 N，根據(jù)兩個(gè)角對應(yīng)相等證明 發(fā)現(xiàn) Q=根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到 E： （總結(jié)操作）根據(jù)（ 2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求 據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析 【解答】 （操作 1） Q， 證明： 連接 據(jù) C 的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得： E， C=45 ， 0 在 ， Q ； 如圖 2， M： E： ： 2， 理由是：作 B ， C 于 M， N， 0 ， M： E： ： 2； 如圖 3，過 M點(diǎn) M，作 C 于點(diǎn) N， 在四邊形 B=0 ， 80 ， 又 80 ， t = ， t =m= ， =1： m= ， Q 滿足的數(shù)量關(guān)系式 1： m，即 EQ= 0 m2+ ，（因?yàn)楫?dāng) m 2+ 時(shí)， 成不相交） 【點(diǎn)評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，證明過程類似 2. (2016鄭州二模 )（ 10 分）如圖 1，在 ， 90， B 60， D 為 90， C 于點(diǎn) G， （ 1）求 / （ 2）如圖 2，將圖 1中的 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角（ 0 60），旋轉(zhuǎn)過程中的任意兩個(gè)位置分別記為 C 于點(diǎn) P， C 于點(diǎn) Q， ，求 （ 3）若圖 1中 B（ 60 90），（ 2）中的其余條件不變，請直接寫出含的式子表示） 【解答】 解：（ 1） 0 ， B， B. B=60 ， B= 0 20 . 0 ， 0 ； #z&（ 2） C=90 ， 0 ， 80 . 80 ， 同理 過點(diǎn) G G， . 可知 別為 ， ， 又 C=90 ， 四邊形 矩形，有 H= . 即 . （ 3） =90 ）（ = . 3. （ 2016廣東東莞聯(lián)考） 如圖，在 ， C， 角 （ 1）用尺規(guī)作圖方法，作 平分線 保留作圖痕跡，不寫作法 和證明） （ 2）設(shè) M 交于點(diǎn) F，判斷 形狀（只寫結(jié)果） 【考點(diǎn)】 等腰三角形的判定與性質(zhì)；作圖 基本作圖 【專題】 作圖題 【分析】 （ 1）以 任 意長為半徑畫弧，交 ，交 ，分別以 G、 大于 半徑畫弧，兩弧交于 N，作射線 （ 2）求出 求出 180=90 ，求出 推出 F，即可得出答案 【解答】 解：（ 1）如圖所示： （ 2） 形狀是等腰直角三角形， 理由是： C ， C ， 分 180=90 ， 即 直角三角形， C ， B= B+ B ， C ， 分 F ， 即直角三角形 【點(diǎn)評】 本題考查了作圖基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和推理能力，題目比較典型，難度也適中 4. （ 2016廣東東莞聯(lián)考） 在由 mn （ mn 1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù) f， （ 1）當(dāng) m、 m、 外無其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表： m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：當(dāng) m、 mn 的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、f=m+n 1 （不需要證明）； （ 2）當(dāng) m、 畫圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立 【考點(diǎn)】 作圖 應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；規(guī)律型：圖形的變化類 【分析】 （ 1）通過觀察即可得出 當(dāng) m、 mn 的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 （ 2）當(dāng) m、 出圖即可驗(yàn)證猜想的關(guān)系式不成立 【解答】 解：（ 1）表格中分別填 6， 6 m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 6 3 4 7 6 f與 m、 f=m+n 1 故答案為： f=m+n 1 （ 2） m、 想的關(guān)系式不一定成立，如下圖： 【點(diǎn)評】 此題考查了作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 注意 m、 5. （ 2016廣東東莞聯(lián)考） 如圖 1，將菱形紙片 E） F）沿 對角線 開，得到 固定 并把 放在一起（ 1）操作：如圖 2，將 頂點(diǎn) 點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)時(shí) （ 點(diǎn)重合）， 點(diǎn) G（ 點(diǎn)重合） 求證： D= 2）操作：如圖 3， 頂點(diǎn) 、 且，過點(diǎn) G交 點(diǎn) G，連接 探究： G= 請予證明 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì) ；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) 【專題】 壓軸題 【分析】 （ 1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出 即可得