開放性問題 一 題 1.（ 2016河北石家莊一模） 如圖，拋物線 y= x+1 與 y 軸交于 A 點，過點 A 的直線與拋物線交于另一點 B，過點 B 作 x 軸，垂足為點 C（ 3， 0） （ 1）求直線 函數(shù)關(guān)系式； （ 2）動點 P 在線段 從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向 C 移動，過點 P 作 直線 點 M，交拋物線于點 N設(shè)點 P 移動的時間為 t 秒， 長度為 s 個單位，求 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出 t 的取值范圍； （ 3）設(shè)在（ 2）的條件下（不考慮點 P 與點 O，點 C 重合的情況），連接 邊形 平行四邊形？問對于所求的 t 值，平行四邊形 否菱形？請說明理由 【考點】 二次函數(shù)綜合題 【專題】 壓軸題 【分析】 （ 1）由題意易求得 A 與 B 的坐標，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線 函數(shù)關(guān)系式； （ 2）由 s=P 可得 s= t+1（ t+1），化簡即可求得答案； （ 3）若四邊形 平行四邊形，則有 C，即可得方程： t= ，解方程即可求得 t 的值，再分別分析 t 取何值時四邊形 菱形即可 【解答】 解：（ 1） 當 x=0 時， y=1， A（ 0， 1）， 當 x=3 時， y= 32+ 3+1= B（ 3， 設(shè)直線 解析式為 y=kx+b， 則： ， 解得： ， 直線 解析式為 y= x+1； （ 2）根據(jù)題意得： s=P t+1（ t+1） = t（ 0t3）； （ 3）若四邊形 平行四邊形，則有 C，此時，有 t= ， 解得 ， ， 當 t=1 或 2 時，四邊形 平行四邊形 當 t=1 時， ， ，故 P ， 又在 ， ，故 C，此時四邊形 菱形， 當 t=2 時， ， ，故 P ， 又在 ， ，故 C，此時四邊形 是菱形 【點評】 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 2.（ 2016河北石家莊一模） 如圖 1，一副直角三角板滿足 C， E， 0 0， 【操作 1】將三 角板 直角頂點 E 放置于三角板 斜邊 ，再將三角板 旋轉(zhuǎn)，并使邊 邊 于點 P，邊 邊 點 Q 在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖 2，當 時 ， 足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明 【操作 2】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖 3，當 時 足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由 【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫出 當時， 足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中 m 的取值范圍是什么？（直接寫出結(jié)論，不必證明） m 第 2 題 【考點】 相似形綜合題 【分析】 （操作 1）連接 據(jù)已知條件得到 E 是 中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明 E， C根據(jù)等角的余角相等可以證明 可得到全等三角形，從而證明結(jié)論； （操作 2）作 M、 N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明 現(xiàn) M： 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得 到 E： （總結(jié)操作）根據(jù)（ 2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果 ；要求 m 的取值范圍，根據(jù)交點的位置的限制進行分析 【解答】 （操作 1） Q， 證明：連接 據(jù) E 是 中點 和等腰直角三角形的性質(zhì)，得： E， C=45， 0 在 ， Q； 如圖 2， M： E： ： 2， 理由是：作 M， N， 0， M： E： ： 2； 如圖 3，過 E 點作 點 M，作 點 N， 在四邊形 ， B= 0， 80， 又 80， = ， =m= ， =1： m= ， 足的數(shù)量關(guān)系式 1： m，即 EQ= 0 m2+ ，（因為當 m 2+ 時， 成不相交） 【點評】 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生運用定理進行推理的能力，證明過程類似 3.（ 2016河大附中一模） (本題滿分 9 分 ) 如圖 (1)，線段 ，以線段 直徑畫 O， C 為 O 上的動點，連接 點 C 的延長線交于點 D， E 為 中點，連接 (1 )求證： 第 2 題 (2) 當 時，四邊形 正方形？ 當 時， 等邊三角形時？ 答案： 4.（ 2016河大附中一模） （本題滿分 10 分）在 ， 銳角，點 D 為射線一動點，連接 線段 點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 接 問題發(fā)現(xiàn)： (1)如果 C， 0 ，當點 D 在線段 時（不與點 B 重合），如圖 1，請你判斷線段 間的 位置 關(guān)系和 數(shù)量 關(guān)系（直接寫出結(jié)論）； 拓展探究： (2)如果 C， 90 ，當點 D 在線段 延長線上時，如圖 2， 請判斷 中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你的結(jié)論。 問題解決： (3)如圖 3， C， 0。，若點 D 在線段 運動，試探 究：當銳角 段 間的位置關(guān)系仍然成立（點 C、 E 重合除外）。此時作 E 于點 F， 2 ，線段 的最大值是 答案： 第 4 題 答案： 5. （ 2016黑龍江大慶一模） （本題 9 分） 在平面直角坐標系中，有三點 A（ 0）， B（ 0，3錯誤 !未找到引用源。 ）， C（ 3， 0） （ 1）求過點 A、 B、 C 的拋物線的解析式； （ 2）如圖 1，在線段 有一動點 P，過 P 點作直線 點 D，求出 （ 3）如圖 2，在（ 2）的情況下 ， 在拋物線上是否存在一點 Q，使 面積與 存在 ， 直接寫出 Q 點坐標，如不存在 ，請 說明理由 題 圖 1 圖 2 答案： 解 :（ 1） 所求 的函數(shù)解析式過 A（ 0）， B（ 0，3）， C（ 3， 0）， 設(shè)所求的函數(shù)解析式為： 13y a x x ，當x，3 0 1 0 3 3a ，解得：33a， 所求的函數(shù)解析式為 : 3 133y x x 或23 2 3 333y x x 2 分 （ 2） A（ 0）， B（ 0， ）， C（ 3， 0）， ， ， ， 在 ， 3 3 0， 0則 0， 2； 又 P 在線段 ，設(shè) P（ m， 0）， m=3 0， 2 1 32 m； DC=C= 0 3 m = 3 32 m， 32 3 32 m =3322m， 1 1 3 3 1 32 2 2 2 2D PD m m =23 5 3188m ， 積的最大值是538； （ 3）1Q（3 172，3 516），2Q（3 172，51 36），3Q（ 1，433），4Q（ 2，3） 圖 2 6. （ 2016黑龍江 齊齊哈爾一模） （本題 8 分） 如圖，過點 A（ 0）、 B（ 3， 0） 的 拋物線 y=bx+c 與 y 軸交于點 C，它的對稱軸與 x 軸交于點 E. （ 1） 求拋物線解析式 ； （ 2） 求拋物線 頂點 D 的坐標 ； （ 3） 若 拋物線 的 對稱軸上 存在 點 P 使S ，求 此時 長 . - 1 3A 答案 ： 解： （ 1） y=x+3； （ 2） D（ 1， 4） ； （ 3） 1 或 7. 7.（ 2016黑龍江齊齊哈爾一模） （本題 12 分） 如圖， 矩形 頂點 A 在頂點 D 在 B、點 C 在第一象限， 2， 線段 長 分別 是方程2 11 24 0 的兩根（ （ 1） 求 點 B 的坐標； （ 2） 求直線 解析式 ； （ 3） 在直線 是否存在點 M，使以點 C、 點 B、 點 M 為頂點的 三角 形 與 似 ？若存在，請直接寫出點 M 的坐標；若不存在，請 說明理由 答案： （ 1）過點 B 作 x 軸于點 E. 解方程2 11 24 0 得3, 8. B ， . 2, 0. 0 D4 B332=332， B32 B 點的坐標為 （3 3 34,22） （ 2） 設(shè)直線 解析式為 y=kx+b(k0). 則043 3 3(4 )22 ，解得33433 直線 解析式為 y=33 錯誤 !未找到引用源。 （ 3）存在，13 3 3M ( 8 4 3 )22 ，、23 3 3M (16 4 3 )，、 33 3 3 4 3M (8 )2 2 3，、43 3 4 3( 3 )2 3，8. （ 2016湖北襄陽一模） (本題 11 分）如 圖，在正方形 ， ， P 是 上任意一點， E 是 長 線上一點，連接 接 F， 于點 G，連接 （ 1）求證： （ 2）判斷線段 間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）若 2，在直線 是否存在一點 M，使四 邊形 平行四邊形，若存在，求出 長度，若不存在，說明理由 第 8 題 答案： （ 1）證明：過點 F 作 點 H， 四邊形 正方形， 90, 90 90 又 而 90. 45 90 45 45 （ 2） 證明：延長 K，使 G, K M 四邊形 正方形 D, 0 G, 而 0 ,F 45 45 G, G ， （ 3）存在 . 如圖，在直線 取一 點 M，使四邊形 平行四邊形， 則 又 P， P 四邊形 正方形， D， ， 2=3. 當 ， M=，四邊形 平行四邊形 9.（ 2016湖北襄陽一模） （本小題滿分 13 分） 在平面直角坐標系中，二次函數(shù)22 （ 3， 0）， B（ 1， 0）兩點，與 y 軸交于點 C （ 1）求這個二次函數(shù)的 解析式； （ 2）點 P 是直線 方的拋物線上一動點，是否存在點 P，使 面積最大？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由； （ 3）點 Q 是直線 方的拋物線上一動點，過點 Q 作 直于足為 E是否存在點 Q，使以點 B、 Q、 E 為頂點的三角形與 似？若存在，直接寫出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由； 第 9 題 答案： 解 ： （ 1）由拋物線22 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， 則223903432二次函數(shù)的關(guān)系解析式23432 （ 2）連接 x 軸于 M， y 軸于 N 4 分 設(shè)點 P 坐標為（ m， n），則23432 2 23432 2 mm，m， （ 5 分） 當0034032 y 2121212321)(221)23432(321 2 2 8 分 a 0， 當23時，函數(shù)2 有最大值 此時 23432 2 )23(34)23(32 2 25 存在點)25,23(P，使 面積最大 （ 3）存在 點 Q，坐標為：),(1 Q，)821,43(2 Q 分 種情況討論