2016 年高考數學理試題分類匯編 圓錐曲線 一、選擇題 1、（ 2016 年四川高考） 設 O 為坐標原點， P 是以 F 為焦點的拋物線 2 2 ( p 0 )y 上任意一點， M 是線段的點，且 2 則直線 斜率的最大值為 （ A） 33（ B） 23（ C） 22（ D） 1 【答案】 C 2、（ 2016 年天津高考） 已知雙曲線 2224 =1x b0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于 A、 B、 C、 D 四點，四邊形的 面積為 2b，則雙曲線的方程為（ ） （ A） 2244 3 =1（ B） 2234 4 =1（ C） 2224 =1x D） 2224 =11x y 【答案】 D 3、（ 2016 年全國 I 高考） 已知方程 nn=1 表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為 4，則 n 的取值范圍是 （ A） (1,3) （ B） (1, 3) （ C） (0,3) （ D） (0, 3) 【答案】 A 4、（ 2016 年全國 I 高考） 以拋物線 于 A， ， 已知 | 42，|25，則 C 的焦點到準線的距離為 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 【答案】 B 5、（ 2016 年全國 考） 圓 22 2 8 1 3 0x y x y 的圓心到直線 10ax y 的距離為 1，則 a=（ ） （ A） 43（ B） 34（ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 6、（ 2016 年全國 考） 圓已知12,2:1的左，右焦點，點 M 在 E 上，1x 軸垂直，21 1s M F F,則 E 的離心率為（ ） （ A） 2 （ B） 32 （ C） 3 （ D） 2 【答案】 A 7、（ 2016 年全國 考） 已知 O 為坐標原點 ， F 是橢圓 C： 22 1 ( 0 )xy 的左焦點 ， A， B 分別為 右頂點 C 上一點，且 PF x 軸 的直線 l 與線段 于點 M，與 y 軸交于點 M 經過 中 點，則 C 的離心率為 （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34【答案】 A 8、（ 2016 年浙江高考） 已知橢圓 22(m1)與雙曲線 22(n0)的焦點重合， 別為離心率，則 A mn 且 B mn 且 D m(),22 m（ ， 由 =2 得 ，所以 E 在點 P 處的切線 l 的斜率為 m ， 因此切線 l 的方程為2=2y ， 設 ),(),( 2211 ),(00 將2=2y 代入 1=4+ 22 得 0=1+4)4+1 2322 于是2321 4+14=+ 23210 4+12=2+= 又)4+1(2=2= 22200 mmm 于是 直線 方程為 xmy 41= 聯(lián)立方程 xmy 41=與 ，得 M 的坐標為 )41M(m, 所以點 M 在定直線41=y 上 （ 切線 l 的方程為2=2y 中，令 0=x ，得2m=， 即點 G 的坐標為 )2, 2 ，又 )2mP(m,2 ， )21F(0,， 所以4 )1+(=21= 再由 )1)+2 (4 mm,1+4223 ，得 )1+4(8)1+2(=1+4+241+221=于是有 222221 )1+2( )1+)(1+4(2=SS m 令 1+2= 2得2221 11+2=)1+)(21(2=SS t 當21=1 2=t 時，21得最大值 49 此時21=2m，22=m，所以 P 點的坐標為 )41,22P( 所以21最大值為 49 ，取得最大值時點 P 的坐標為 )41,22P( 3、（ 2016 年上海高考） 有一塊正方形菜地 在直線是一條小河， 收貨的蔬菜可送到 F 點或河邊運走。于是，菜地分為兩個區(qū)域1中1 點較近，而菜地內1 上的點到河邊與到 F 點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點 O 為 中點，點 F 的坐標為（ 1,0），如圖 （ 1） 求菜地內的分界線 C 的方程 （ 2） 菜農從蔬菜運量估計出1此得到1驗值”為38。設 M 是 C 上縱坐標為 1 的點，請計算以 一邊、另一邊過點 M 的矩形的面積，及五邊形 面積，并判斷哪一個更接近于1【解析】 （ 1）因為 C 上的點到直線 與到點 F 的距離相等，所以 C 是以 F 為焦點、以 為準線的拋物線在正方形 內 的部分，其方程為 2 4（ 02y） （ 2）依題意，點 的坐標為 1,14 所求的矩形面積為 52，而所求的五邊形面積為 114 矩形面積與“經驗值”之差的絕對值為 5 8 12 3 6，而 五邊形面積與“經驗值”之差 的絕對值為 11 8 14 3 12，所以五邊形面積更接近于1驗值” 4、（ 2016 年上海高考） 本題共有 2 個小題，第 1 小題滿分 6 分，第 2 小題滿分 8 分 . 雙曲線 222 1 ( 0 ) 的左、右焦點分別為 12，直線 l 過 2F 且與雙曲線交于 兩點。 （ 1）若 l 的傾斜角為2，1等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （ 2）設 3b ，若 l 的斜率存在，且11( ) 0F A F B A B ，求 l 的斜率 . 【答案】（ 1） 2 （ 2） 155. 【解析】（ 1）設 , 由題意， 2F ,0c， 21， 2 2 2 41y b c b ， 因為1F 是等邊三角形，所以 23， 即 244 1 3，解得 2 2b 故雙曲線的漸近線方程為 2 （ 2）由已知， 1F 2,0， 2F 2,0 設 11, 22,直線 :l 2y k x顯然 0k 由 22 132k x ，得 2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k 因為 l 與雙曲線交于兩點，所以 2 30k ，且 23 6 1 0k 設 的中點為 , 由 11F F 0 即1 ，知1F ，故1F 1 而 2122223xx kx k ， 262 3ky k x k ，1F 2323kk k ， 所以23 123k ，得 2 35k ，故 l 的斜率為 155 5、（ 2016 年四川高考） 已知橢圓 E： 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3 個頂點，直線 l:y x+3 與橢圓 E 有且只有一個公共點 T. （ I）求橢圓 E 的方程及點 T 的坐標； （ O 是坐標原點，直線 l平行于 橢圓 E 交于不同的兩點 A、 B，且與直線 l 交于點 在常數，使得 2= 并求 的值 . 有方程組 22221,23, 得 223 1 2 (1 8 2 ) 0x x b . 方程 的判別式為 2= 24( 3)b ， 由 =0 ， 得 2=3b ， 此方程 的解為 =2x ， 所以橢圓 E 的方程為 22163. 點 T 坐標為（ 2,1） . 由 得 21 2 1 24 4 1 2=,33x x x . 所以 221 1 12 2 5 2( 2 ) ( 1 ) 23 3 2 3m m x y x ， 同理252223 x ， 所以125 2 2( 2 ) ( 2 )4 3 3 P B x x 2 1 2 1 25 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3mm x x x x 225 2 2 4 4 1 2( 2 ) ( 2 ) ( )4 3 3 3 3m m m m 2109 m 45，使得 2P T P A P B. 6、（ 2016 年天津高考） 設橢圓 13222 3a ）的右焦點為 F ，右頂點為 A ，已知| 3| 1| 1 ，其中 O 為原點， e 為橢圓的 離心率 . （ ）求橢圓的方程； （ ）設過點 A 的直線 l 與橢圓交于點 B （ B 不在 x 軸上），垂直于 l 的直線與 l 交于點 M ，與 y 軸交于點 H ，若 ，且 ，求直線的 l 斜率 的取值范圍 . 【解析】 （ 2） （ ）解：設直線 l 的斜率為 k （ 0k ），則直線 l 的方程為 )2( 設 ),( BB 由方程組)2(13422消去y ，整理得 0121616)34( 2222 解得 2x ，或34 68 22 題意得34 68 22 而34 122 k 由（ ）知， )0,1(F ，設 ),0( 有 ),1( ， )34 12,34 49( 222 k kk ，得 0 所以 0341234 49 222 k k H，解得2492 H 的方程為2 4912 . 設 ),( MM 由 方 程 組)2(12491 2去 y ， 解 得 )1(12 920 22 在 中，| A ，即 2222)2( ，化簡得 1即 1)1(12 92022 解得46k. 所以，直線 l 的斜率的取值范圍為 ),4646,( . 7、（ 2016 年全國 I 高考） 設圓 22 2 1 5 0x y x 的圓心為 A，直線 l 過點 B（ 1,0）且與 x 軸不重合， l 交圓A 于 C， D 兩點，過 B 作 平行線交 點 E. （ I）證明 B 為定值，并寫出點 E 的軌跡方程； （ 點 E 的軌跡為曲線 線 l 交 M,N 兩點，過 B 且與 l 垂直的直線與圓 A 交于 P,Q 兩點，求四 邊形 積的取值范圍 . 【解析】 （ ）因為 | ， ，故 ， 所以 | ，故 | . 又圓 A 的標準方程為 16)1( 22 從而 4| 所以 4| 由題設得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2| 由橢圓定義可得點 E 的軌跡方程為： 13422 0y ） . 8、（ 2016 年全國 考） 已知橢圓 :E 2213的焦點在 x 軸上， A 是 E 的左頂點，斜率為 ( 0)的直線交 E 于 , N 在 E 上， A （ ） 當 4 , | | | |t A M A N時，求 的面積； （ ） 當 2 N 時，求 k 的取值范圍 【解析】 當4圓 E 的方程為143， A 點坐標為 20， 則直線 方程為 2y k x 聯(lián)立 221432x 并整理得， 2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k 解得2x或228634kx k，則222228 6 121 2 13 4 3 4 k 因為N，所以2221 12 121141 33 4 1A N kk 因為0k， 所以22212 1211434 3 ，整理得 21 4 4 0k k k ， 24 4 0 無實根，所以1k 所以面積為221 1 12 144112 3 4 49 直線 方程為 y k x t， 聯(lián)立 2213k x t 并整理得， 2 2 2 2 23 2 3 0tk x t t k x t k t 解得或2233t tk tx ， 所以222223633t t k t k t 所以2 613 因為2 N所以222662 1 13 3 ，整理得，23632k 因為橢圓 E 的焦點在 x 軸，所以3t，即236332 ，整理得 231202k解得3 22k 9、（ 2016 年全國 考） 已知拋物線 C ： 2 2的焦點為 F ，平行于 x 軸的兩條直線12, 于 點，交 C 的準線于 兩點 （ I）若 F 在線段 ， R 是 中點，證明 Q ； （ 的面積是 的面積的兩倍，求 點的軌跡方程 . 10、（ 2016 年浙江高考） 如圖，設橢圓 2 22 1x （ a 1） . （ I）求直線 y= 被橢圓截得的線段長（用 a、 k 表示）； （ 任意以點 A（ 0,1）為圓心的圓與橢圓至多有 3 個公共點，求橢圓離心率的取值范圍 . 【試題解析】（ I）設直線 1y 被橢圓截得的線段為 ，由 22211y 得 2 2 2 21 2 0a k x a k x ，故 1 0x ， 22 2221 因此 22212 222111x x （ 設圓與橢圓的公共點有 4 個，由對稱性可設 y 軸左側的橢圓上有兩個不同的點 ， Q ，滿足 Q 記直線 ， Q 的斜率分別為1k，2k，且1k，2 0k ，12 11、 (2016 江蘇省高考 ) 如圖，在平面直角坐標系 ，已知以 M 為圓心的圓 M:22 12 14 60 0x y x y 及其上一點 A(2， 4) (1) 設圓 N 與 x 軸相切，與圓 M 外切，且圓心 N 在直線 x=6 上，求圓 N 的標準方程； (2) 設平行于 直線 l 與圓 M 相交于 B、 C 兩點，且 A,求直線 l 的方程； (3) 設點 T（ t,0）滿足：存在圓 M 上的兩點 P 和 Q,使得,T Q,求實數 t 的取值范圍。 解：圓 M 的標準方程為 226 7 25 ，所以圓心 M(6， 7)，半徑為 5,. （ 1）由圓心 N 在直線 x=6 上，可設 06, 與 x 軸相切，與圓 M 外切， 所以007y，于是圓 N 的半徑為0y，從而0075 ，解得1. 因此，圓 N 的標準方程為 6 1 1 . (2)因為直線l以直線 l 的斜率為40220 . 設直線 l 的方程為 y=2x+m，即 2m=0， 則圓心 M 到直線 l 的距離 2 6 7 5 因為222 4 2 5 , A 而222 ,2 d 所以 2525 55m ，解得