第 1 頁 共 21 頁 2016 年山西省中考數學試卷 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分 在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑） 1（ 2016山西）61的相反數是（ ） A61B C 6 D612（ 2016山西）不等式組 62 05解集是（ ） A x5 B x”或“ =”或“ M 是 中點，則從 M 向 作垂線的垂足 D 是折弦 中點，即 B+ 下面是運用“截長法”證明 B+部分證明過程 證明：如圖 2，在 截取 B，連接 M 是 中點， C 任務：（ 1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分； （ 2）填空：如圖（ 3），已知等邊 接于 O ， ， D 為 O 上 一點 , 45 點 E，則 長是 20（ 2016山西）（本題 7 分）我省某蘋果基地銷售優(yōu)質蘋果 ，該基地對需要送貨 且購買量在 2000000 2000 5000客戶有兩種 銷售方案（客戶只能選擇其中一種方案）： 方案 A：每千克 5 8 元，由基地免費送貨 方案 B：每千克 5 元，客戶需支付運費 2000 元 （ 1）請分別寫出按方案 A，方案 B 購買這種蘋果的應付款 y（元）與購買量 x（ 間的函數表達式； （ 2）求購買量 x 在什么范圍時，選用方案 A 比方案 B 付款少； （ 3）某水果批發(fā)商計劃用 20000 元，選用這兩種方案中的一種，購買盡可能多的這種蘋果，請直接寫出他應選擇哪種方案 第 5 頁 共 21 頁 21（ 2016山西）（本題 10 分）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產業(yè)，如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼 長度相同，均為 300傾斜角為30 ， A=50撐角鋼 底座地基臺面接觸點分別為 D， F， 直于地面， 于 點 E兩個底座地基高度相同（即點 D， F 到地面的垂直距離相同），均為 30 0支撐角鋼 長度各是多少 果保留根號） 22（ 2016山西）（本題 12 分）綜合與實踐 問題情境 在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數學活動，如圖 1，將一張菱形紙片 90沿對角線 開，得到 和 操作發(fā)現(xiàn) （ 1）將圖 1 中的 以 A 為旋轉中心， 逆時針方向旋轉角 ，使 ， 得到如圖 2 所示的 ，分別延長 和 交于點 E，則四邊形 的 狀是 ；（ 2 分） （ 2）創(chuàng)新小組將圖 1 中的 以 A 為 旋轉中心，按逆時針方向旋轉角 ，使 2 ，得到如圖 3 所 示的 ，連接 ，得到四邊形 ，發(fā)現(xiàn)它是矩形請你證明這個論； 實踐探究 （ 3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，量得圖 3 中 3C=10后提出一個問題：將 沿著射線 向平移 到 ，連接 ， ，使四邊形 恰好為正方形，求 你解答此問題； （ 4）請你參照以上操作，將圖 1 中的 在同一平面內進行一次平移，得到 ，在圖 4 中畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說第 6 頁 共 21 頁 明平移及構圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結論，不必證明 平面直角坐標系中，已知拋物線 8y 2 ， B 兩點，與 y 軸交于點 C，直線 l 經過坐標原點 O，與拋物線的一個交點為 D，與拋物線的對稱軸交于點 E，連接 知點 A， D 的坐標分別為（ 2， 0），（ 6， 8） （ 1） 求拋物線的函數表達式，并分別求出點 B 和點 E 的坐標； （ 2） 試探究拋物線上是否存在點 F，使 ，若存在，請直接寫出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3） 若點 P 是 y 軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（ 0， m），直線 直線 l 交于點 Q試探究：當 m 為何值時， 等腰三角形 2016 年山西省中考數學試卷 （解析版） 第 7 頁 共 21 頁 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分 在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑） 1（ 2016山西）61的相反數是（ A ） A61B C 6 D61考點 ：相反數 解析 ： 利用相反數和為 0 計算 解答 ：因為 a+（ =0 61的相反數是612（ 2016山西）不等式組 62 05解集是（ C ） A x5 B 得 x 2y （填“ ”或“ =”或“ 而比較 y 的大小 解答 ：在反比函數， 以 1y 2y 13（ 2016山西）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組 成，其中部分小正方形涂有陰影，依此規(guī)律，第 n 個圖案中有 （ 4n+1） 個涂有陰影的小正方形（用含有 n 的代數式表示） 考點 ：找規(guī)律 分析 ：由圖可知，涂有陰影的正方形有 5+4（ =4n+1 個 解答 ：（ 4n+1） 14（ 2016山西）如圖是一個能自由轉動的正六邊形轉盤，這個轉盤被三條分割線分成形狀相同，面積相等的三部分，且分別標有“ 1”“ 2”“ 3”三個數字，指針的位置固定不動讓轉盤自動轉動兩次，當指針指向的數都是奇數的概率為 94考點 ：樹狀圖或列表求概率 分析 ：列表如圖： 解答 ：由 表可知指針指向的數都是奇數的概率為 9415（ 2016山西）如圖，已知點 C 為線段 中點， B=4，連接 E 是 的平分線，與 交于點 F， 點 G，交 1 2 3 1 （ 1， 1） （ 1， 2） （ 1， 3） 2 （ 2， 1） （ 2， 2） （ 2， 3） 3 （ 3， 1） （ 3， 2） （ 3， 3） 第 12 頁 共 21 頁 點 H，則 長為 ）（或152525 考點 ：勾股定理，相似，平行線的性質，角平分線； 分析 ：由勾股定理求出 由平行得出 21 ，由角平分得出 32 從而得出 31 ，所以 A 再利用 可求出 從而求出 答 ：如圖（ 1）由勾股定理可得 5242 2222 由 的平分線可知 21 由 知四邊形 矩 形， 32 31 故 A 設 A=x 則 GH=x52 即2 252 x= 5故 52= 53 三、解答題（本大題共 8 個小題，共 75 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 16（ 2016山西）（本題共 2 個小題，每小題 5 分，共 10 分） （ 1）計算： 012 22851)3( 考點 ： 實數的運算 ，負指數冪，零次冪 分析 ： 根據實數的運算 ，負指數冪，零次冪三 個考點針對每個考點分別 進行計算，然后根 據實數的運算法則求得計算結果 解答 ：原 =9 （ 4 分） =1 （ 5 分） （ 2）先化簡，在求值：1122 22 x xx 中 x= 考點 ： 分式的化簡求值 分析 ：先把分子分母因式分解，化簡后進行減法運算 第 13 頁 共 21 頁 解答 ：原式 =1)1)(1( )1(2 x （ 2 分） =112 x xx x（ 3 分） =1（ 4 分） 當 x=，原式 = 212 21 x x（ 5 分） 17（ 2016山西）（本題 7 分）解方程： 932 22 （ 考點 ：解一元二次方程 分析 ：方法一：觀察方程，可先分解因式，然后提取 用公式法求解 方法二：將方程化為一般式，利用公式法求解 解答 ：解法一： 原方程可化為 )3)(3(32 2 （ （ 1 分） 0)3)(3()3(2 2 （ 2 分） 0)3()3(2)3( （ 3 分） 0)9-)(3( （ 4 分） 或 （ 5 分） 31x ， 92x （ 7 分） 解法二： 原方程可化為 027122 （ 3 分） 這里 a=1， b=c=27 0362714)12(4 22 2 61212 3612 x （ 5 分） 因此原方程的根為 31x ， 92x （ 7 分） 第 14 頁 共 21 頁 18（ 2016山西）（本題 8 分）每年 5 月的第二周為：“職業(yè)教育活動 周”，今年我省展開了以“弘揚工匠精神，打造技能強國”為主題的系列活動， 活動期間某職業(yè)中學組織全校師生并邀請學生家長和社區(qū)居民參加“職教體驗觀 摩”活動，相關職業(yè)技術人員進行了現(xiàn)場演示，活動后該校隨機抽取了部分學生 進行調查：“你最感興趣的一 種職業(yè)技 能是什么？”并對此進行了統(tǒng)計，繪制了統(tǒng)計圖（均不完整） （ 1）補全條形統(tǒng)計圖和 扇形統(tǒng)計圖； （ 2）若該校共有 1800名學生，請估計該校對“工業(yè)設計”最感興趣的學生有多少人 ? （ 3）要從這些被調查的 學生中隨機抽取一人 進 行訪談，那么正好抽到對“機電維修”最感興趣的學生的概率是 考點 ：條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，簡單概率 分析 ：（ 1）利用條形和扇形統(tǒng)計圖相互對應求出總體，再分別計算即可 （ 2）由扇形統(tǒng)計圖可知對“工業(yè)設計”最感興趣的學生有 30%，再用整體 1800 乘以 30% （ 3）由扇形統(tǒng)計圖可知 解答 ：（ 1）補全的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖如圖所示 （ 2） 1800 30%=540（人） 估計該校對“工業(yè)設計”最感興趣的學生是 540 人 （ 3）要從這些被調查的學生中隨機抽取一人進行訪談，那么正好抽到對“機電維修” 最感興趣的學生的概率是 13%或10013） 第 15 頁 共 21 頁 19（ 2016山西）（本題 7 分）請閱讀下列材料，并完成相應的任務： 阿基米德折弦定理 阿基米德（ 元前 287公元 212 年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一他與牛頓、高斯并稱為三大數學王子 阿拉伯 973 年 1050 年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯(lián)在 1964 年根據 本出版了俄文版阿基米德全集，第一題就是阿基米德的折弦定理 阿基米德折弦定 理 ：如圖 1， O 的兩條弦（即折線 圓的一條折弦）， B， M 是 中點，則從 M 向 作垂線的垂足 D 是折弦 中點，即 B+ 下面是運用“截長法”證明 B+部分證明過程 證明：如圖 2，在 截取 B，連接 M 是 中點， C 任務：（ 1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分； （ 2）填空：如圖（ 3），已知等邊 接于 O ， ， D 為 O 上一點， 45 點 E，則 長是 222 考點 ：圓的證明 分析 ：（ 1）已截取 B 只需證明 G 且 以需證明 G 故證明 可 （ 2） ，利用三角函數可得 2 由阿基米德折弦定理可得 E+ 長 =D+C+E+ E） +E+后代入計算可得答 案 解答 ：（ 1）證明：又 ， （ 1 分） （ 2 分） G （ 3 分） 又 D （ 4 分） G+B+ （ 5 分） （ 2）填空：如圖（ 3），已知等邊 接于 O ， ， D 為 O 上 一點， 45 點 E，則 16 頁 共 21 頁 的長是 222 20（ 2016山西）（本題 7 分）我省某蘋果基地銷售優(yōu)質蘋果，該基地對需要送貨 且購買量在 2000000 2000 5000客戶有兩種 銷售方案（客戶只能選擇其中一種方案）： 方案 A：每千克 5 8 元，由基地免費送貨 方案 B：每千克 5 元，客戶需支付運費 2000 元 （ 1）請分別寫出按方案 A，方案 B 購買這種蘋果的應付款 y（元）與購買量 x（ 間的函數表達式； （ 2）求購買量 x 在什么范圍時，選用方案 A 比方案 B 付款少； （ 3）某水果批發(fā)商計劃用 20000 元，選用這兩種方案中的一種，購買盡可能多的這種蘋果，請直接寫出他應選擇哪種方案 考點 ： 一次函數的應用 分析 ：（ 1）根據數量關系列出函數表達式即可 （ 2）先求出方案 A 應付款 y 與購買量 x 的函數關系為 方案 B 應付款 y 與購買量 x 的函數關系為 20005 然后分段求出哪種方案付款少即可 （ 3）令 y=20000，分別代入 A 方案和 B 方案的函數關系式中，求出 x，比大小 解答 ：（ 1）方案 A：函數表達式為 （ 1 分） 方案 B：函數表達式為 20005 （ 2 分） （ 2）由題意，得 （ 3 分） 解不等式，得 x2500 （ 4 分） 當購買量 x 的取值范圍為 25002000 x 時，選用方案 A 比方案 B 付款少 （ 5 分） （ 3）他應選擇方案 B （ 7 分） 21（ 2016山西）（本題 10 分）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產業(yè)，如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼 長度相同，均為 300傾斜角為 30 ， A=50撐角鋼 ， F， 直于地面， 于 點 E兩個底座地基高度 相同（即點 D， F 到地面的垂直距離相同），均為 30 A 到地面的垂直距離為 50支撐角鋼 長度各是多少 果保留根號） 考點 ：三角函數的應用 分析 ：過點 A 作 ，垂足為 G，利用三角函數求出 第 17 頁 共 21 頁 而求出 而求出 連接 延長與 延長線交于點 H，利用三角函數求出 圖得出 利用三角函數值求出 答 ：過點 A 作 ，垂足為 G （ 1 分） 則 30在 中， 25215030s （ 2 分） 由題意，得 203050 （ 3 分） 452025 （ 4 分） 連接 延長與 延長線交于點 H（ 5 分） 由題意，得 30H 在 中， 90230s （ 6 分） 2 9 09050503 0 0 （ 7 分） 在 中，3 32 903 32 9030t a n （ 9 分） 答：支撐角鋼 長為 45長為3 3290（ 10 分） 22（ 2016山西）（本題 12 分）綜合與實踐 問題情境 在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數學活動，如圖 1， 將一張菱形紙片 90沿對角線 開，得到 和 操作發(fā)現(xiàn) （ 1）將圖 1 中的 以 A 為旋轉中心， 逆時針方向旋轉角 ，使 ， 得到如圖 2 所示的 ，分別延長 和 交于點 E，則四邊形 的 狀是 菱形 ；（ 2 分） （ 2）創(chuàng)新小組將圖 1 中的 以 A 為 旋轉中心，按逆時針方向旋轉角 ，使 2 ，得到如圖 3 所 示的 ，連接 ，得到四邊形 ，發(fā)現(xiàn)它是矩形請你證明這個論； （ 3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，量得圖 3 中 30后提出一個問題：將 沿著射線 向平移 到 ，連接 ， ，使四邊形 恰好為正方形，求 a 的值請你解答此問題； （ 4）請你參照以上操作，將圖 1 中的 在同一平面內進行一次平移，得到 ，在圖 4 中畫出平移后構造出的新圖形，標明字母，說明平移及構圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結論，不必證明 考點 ：幾何綜合，旋轉實際應用，平移的實際應用，旋轉的性質，平移的性質，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定 分析 ：（ 1）利用旋轉的性質和菱形的判定證明 （ 2）利用旋轉的性質以及矩形的判定證明 （ 3）利用平移行性質和正方形的判定證明，需注意射線這個條件，所以 需要分兩種情 況當點 C 在邊 上和點 C 在邊 的延長線上時 （ 4）開放型題目，答對即可 第 18 頁 共 21 頁 解答 ：（ 1）菱形 （ 2）證明：作 于點 E（ 3 分） 由旋轉得 ， E 21 四邊形 菱形， ， ， ， ，同理 ， / ，又 ， 四邊形 是平行四邊形，（ 4 分） 又 ， 90 90180 C E 四邊形 是矩形（ 5 分） （ 3）過點 B 作 ，垂足為 F， ， 5102121 在 中， 12513 2222 在 和 中， ， 90 ，即131012 得13120 ， ，132401312022 （ 7 分） 當四邊形 恰好為正方形時，分兩種情況： 點 C 在邊 上1371131324013a （ 8 分） 點 C 在邊 的延長線上，13409131324013a （ 9 分） 綜上所述， a 的值為1371或13409 （ 4）：答案不唯一 例：畫出正確圖形 （ 10 分） 平移及構圖方法：將 沿著射線 向平移，平移距離為長度，得到 ， 連接 （ 11 分） 結論：四邊形是平行四邊形（ 12 分） 23（ 2016山西）（本題 14 分）綜合與探究 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線 8y 2 x 軸交于 A， B 兩點，與 y 軸交于點 C，直線 l 經過坐標原點 O，與拋物線的一個交點為 D，與拋物線的對稱軸交于點 E，連接 知點A， D 的坐標分別為（ 2， 0），（ 6， 8） （ 1）求拋物線的函數表達式，并分別求出點 B 和點 E 的坐標； （ 2）試探究拋物線上是否存在點 F，使 ，若存在，請直接寫出點 F 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）若點 P 是 y 軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（ 0， m），直線 直線 l 交于點 Q試探究：當 m 為何值時， 是等第 19 頁 共 21 頁 腰三角形 考點 ：求拋物線的解析式，求點坐標，全等構成，等腰三角形的構 成 分析 ：（ 1）將 A， D 的坐標代入函數解析式，解二元一次方程即可求出函數表達式 點 B 坐標：利用拋物線對稱性，求出對稱軸結合 A 點坐標即可求出 B 點坐標 點 E 坐標： E 為直線 l 和拋物線對稱軸的交點，利用 D 點坐標求出 l 表達式，令 其橫坐標為 3x ，即可求出點 E 的坐標 （ 2）利用全等對應 邊相等，可知 C，所以點 F 肯定在 垂直平分線上，所 以點 F 的縱坐標為 入拋物線表達式，即可求出橫坐標 （ 3）根據點 P 在 y 軸負半軸上運動，分兩種情況討論，再結合相似求解 解答 ：（ 1） 拋物線 8y 2 過點 A（ 2， 0）， D（ 6， 8）， 88636 082a4 ba b 解得321（ 1 分） 拋物線的函數表達式為 8321 2 （ 2 分） 2253218321 22 拋物線的對稱軸為直線 3x 又 拋物線與 x 軸交于 A， A 的坐標為（ 2， 0） 點 B 的坐標為（ 8， 0）（ 4 分） 設直線 l 的函數表達式為 點 D（ 6， 8）在直線 l 上， 6k= 8，解得34k 直線 l 的函數表達式為 （ 5 分） 點 E 為直線 l 和拋物線 對稱軸的交點 點 E 的橫坐標為 3，縱坐標為 43