目錄 摘要 2 第 1 章 分形 4 其的研究課題 4 形基礎 7 本概念 7 數(shù) 9 第 2 章 傳統(tǒng)分形 12 造分形專用函數(shù)包 12 13 的構造 13 的實現(xiàn) 14 線 17 線與隨機 線 17 歸分形中的生成元 20 27 27 29 第 3 章 分形模型和系統(tǒng) 31 系統(tǒng) 31 31 33 代函數(shù)系統(tǒng) 38 射變換與拼貼定理 ( 38 然景物模擬 43 型 44 形凝聚體與 型 44 然生長過程模擬及其維數(shù)的計算： 46 尺度下的 型改造 47 第 4 章 分形之應用 48 分子分形產(chǎn)生 49 有生命活力的高分子分形分析 49 香烴族生成元的分形模擬 52 統(tǒng)與 枝 54 宙中的分形綜述 56 結束語 58 參考文獻 59 附錄 59 2 摘要 自從 出分形之后 ，由于它極其接近于大自然，在很多領域了人們一直進行相關的研究。在本文中，通過計算機編程語言 模擬出傳統(tǒng)分形以及幾個具有代表性的模型或者系統(tǒng)產(chǎn)生的分形圖形。首先，我們介紹了被稱為分形之父的 究的課題，然后，稍微描述關于分形的定義以及維數(shù)方面的概念。其次，根據(jù)對分形的粗略理解，我們構建了 線和 繪制出它們的有限步圖形。在分析 線的過程中，分析構造出一種生成一類分形的方法：等長生成元和可變生成元。利用這個方法構造出各 種奇異的線條以及根據(jù)生成元線條幾何關系計算了部分圖形的維數(shù)。再次，基于不同的目的，這里更加注重于構造分形的三個模型或系統(tǒng)： L 系統(tǒng)，迭代函數(shù)系統(tǒng)（ 型。然后構造出這些模型和系統(tǒng)的算法，同時在生成傳統(tǒng)分形的基礎上，用這些算法及其相應的程序，對大量的自然事物進行模擬，例如：柳條，楓樹葉，樹枝和凝聚物的生長過程等等。其間，在 用基本幾何多邊形來細化自然樹枝在 利用 算壓縮變換的系數(shù)；在 型中用 出了它在大尺度下的模型改造。最后， 利用上面的分形模型算法和程序，我們分別在微觀分子尺度、常規(guī)尺度和宇宙宏觀大尺度上分別考慮并且探討了分形的應用。從這三個尺度上，先是利用生成元方法分析了像蛋白質這樣的高分子分形結構，并且模擬出一些苯的衍生物；隨后綜合運用 統(tǒng)模擬出帶分形葉子和花朵的枝條；最終從宇宙的觀點，探討了宇宙的分形特征并采用分形觀點解釋了一些現(xiàn)象例如木星的大紅、黑斑，月亮的環(huán)形山，并推測出一些內在的結果，如隕星的大小分布。 關鍵字：維數(shù)；生成元；傳統(tǒng)分形； 代函數(shù)系統(tǒng)； 型；高分子；宇宙 3 on it in to In by or by in a . as of is of to we of a is in we of by of on we to of or LA or At a of by to as of up of of by LA of we LA in of of of we of in of of we to of as of FS to in of we of to or on to on as of 4 第 1章 分形 多少世紀以來，歐式幾何奠定了整個科學的基礎，為人類進行科學研究、生產(chǎn)實踐以及探索自然提供了有力的工具，而歐式幾何更是描述的是整數(shù)維空間的幾何學。然而自從被稱為分形之父的 B M 于它的研究如雨后春筍般涌現(xiàn)出來。如今分形的應用涉及到幾乎所有的領域，可以說它無處不在。 本章將 以 方面 介紹它的 人物信息來呈現(xiàn)出他所研究的方式 、課題 及獨特的幾何觀念，另一方面介紹分形的基礎知識，以便后面關于 分形模擬和維數(shù)計算以及應用方面提供良好的基礎。 其 的研究課題 他的分形理論出現(xiàn)之前，他一直不被各領域的科學家所認同。但是，自從他的分形研究在世人面前展現(xiàn)之后，他的地位扶搖直上，成為世界上最有名氣的科學家之一。之后，科學界曾兩次為他舉行國際范圍的助手活動，對于在不計其數(shù)的眾多科學家當中，得到這樣的享譽，實在是一件極為不容易的事情。他獨特的思維，以 及個人成長背景，我想，正好塑造了他這個科學界的偉人。 為什么我們這里要討論下 一方面是表明他在其所開創(chuàng)的分形領域所作的實際貢獻；另一方面，從他的研究課題中可以理會其研究方法和獨特的氣質；還有從其中引出本論文后面所涉及的相關的部分內容以深化理解相關知識。 個人本身就在多個學科領域“流浪”過。在早期，他進入 物理學、經(jīng)濟學、生理學、語言學和其他一些似乎毫不相關的學科 領域，是博學成就了他的事業(yè)，使他成為一代偉人?？v觀 以看出他最擅長用自己的幾何直覺來分析問題。他是一個當今為數(shù)不多通過幾何觀點顯現(xiàn)出如此成就的研究者。 海岸線 如果問你中國的海岸線有多長，我相信大部分人都會去找到資料，描述它具體有多少公里。其實，這只是我們作為人所能識別的尺度來測量海岸線所得的長度。以 何海岸線都是無限長的，在這種情況下長度測量已經(jīng)失去了實際意義，必須找到一個其他的量或者事物來表征不同的海岸線。 1967年芒氏在美國的科學雜志上 專門 發(fā)表 了 長度為兩頁多 的報告英國海岸線有多長 ?統(tǒng)計自相似與分數(shù) 維， 以及在 1975出版的分形對象：形、機遇和維數(shù)也有專門一章討論到“布列塔尼的海岸線有多長？”引出的一些概念和理論知識。其實，芒氏和很多科學偉人一樣都是站在“巨人”的肩膀上才獲得如此成就。在 英國海岸線有多長 ?統(tǒng)計自相似與分數(shù)維 文獻中，開篇就明確地指出：地理上的曲線都有精細結構，它們的長度是無窮的，確切地講是不確定的，而且大多數(shù)是統(tǒng)計自相似的，即每個部分認為是整體的縮小比例的近似。在這種情況下，這篇文章中引出了一個量 D，它用來表示自然分形的復雜程度，也就是通常說的分形維數(shù)。在研 究海岸線中，他提出了上面所說的“統(tǒng)計自相似”的概念，也發(fā)現(xiàn)出海岸線和它本身的精細結構幾乎沒有空缺或者交叉點。這與 將用 隨機 于這個曲線的具體性質和實現(xiàn)過程我們將在第二章介紹。 既然長度無法表征海岸線，那么應該有其他量來描述塔的復雜程度。 961 年 究的經(jīng)驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗表達式，比通常曲線維數(shù) 1要大，而且是一個分數(shù)。當時 是 通過經(jīng)驗觀察，得出海岸線的長度 G 成正比，其中 G 是他用來測量海岸線的比例尺的大小，而得出的結論是 是一個依賴于海岸線的選擇。但是由于對同一海岸線的不同區(qū)段也得到不同的 ，對此 無特殊意義。但是 對 G 作雙對數(shù)曲線圖，得到一個驚人的發(fā)現(xiàn)，結果整個曲線幾乎是一條直線，斜率大概是 1D ,D 就是后面他定義的分形維數(shù)， 并且其后提出的相似維數(shù)我們后面將會討論到。 前述海岸線在分形對象：形、機遇和維數(shù)用專門的一章來提及過。其中，他進一步對分形維數(shù)方面的概念及一些問題進行了介紹和分析。譬如維數(shù)方面， 它重新列舉了容量維數(shù)、 相似維數(shù)和廣義維數(shù)，提出了內位似和級聯(lián)的概念。重新對海岸線的粗略模型 些內容我將在第二章進行詳細介紹和分析?？傊?，分形概念的提出相當部分應該歸功于 且他的對前人的總結和堅決反對世人對他的藐視看法進行駁斥，都為他后來的成就產(chǎn)生深遠影響。 隨機論 人們在談到概率分布的時候，立馬就會談到高斯正態(tài)分布。因為正態(tài)分布實在太普遍了，以致于將它視為標準，不滿足正態(tài)分布的被認為是“變態(tài)”分布。特別是維納在研 究布朗運動中完成了一套漂亮的數(shù)學理論之后，是人們對正態(tài)分布更是向往，因為維納對布朗隨機過程的研究用的正是正態(tài)分布。正因為正態(tài)分布在處理某些問題上取得了空前的成功，所以“非高斯穩(wěn)定隨即過程”受重視的程度遠遠不及正態(tài)分布。 于隨機 論方面的研究，最早是關于詞頻分布和收入分布方面。后來他又對河水的漲落以及經(jīng)濟學中的收入分布規(guī)律進行過專門探討。另外，在 萊維穩(wěn)定分布 是最為重要的。這個分布幾乎使 他的研究完全統(tǒng)一起來，并且也溝通了自然科學中確定論體系和隨機 論體系。 期 ，經(jīng)濟學方面是他的重要研究課題。在所有的這類研究中，他似乎只關心涉及收入分布及其相關的價格問題。然而在他研究的經(jīng)濟學領域，也涉及了多個非高斯的穩(wěn)定概率分布。 所謂穩(wěn)定分布指的是多個獨立同分布的隨機 變量序列經(jīng)過適當?shù)木€性 總和后，其分布仍然保持不變。 其中， 柯西分布和以及 其中指數(shù)介于 0和 2之間 )都屬于穩(wěn)定分布。其實， 現(xiàn)出來的就是尺度不變下的不變性，并且期間他提出了標度理論。 同樣在隨機 處理方面，當 曾考慮過用 后，他應用隨機性來改善 為只有運用隨機性，才能尋求掌握未知和不能控制對象的唯一數(shù)學模型，他發(fā)現(xiàn)這樣做效果極高。對海岸線的隨機 6 形成分屬于迭代函數(shù)進行多次迭代產(chǎn)生的無限自相似精細結構。自從迭代分形提出后，復式迭代過程又成為研究的熱點。因為文章研究的限度，本文后邊關于它們的分析幾乎沒有涉及到，所以這里只是稍作介紹以加深對分形對象的理解。 一個簡單明了的數(shù)學表達式能隱藏驚人的復雜性 ，一個簡單的二次多項式究竟有什么奧秘值得如此眾多的學者和研究人員來關注。最先，作為動力系統(tǒng)的模型，我們大多數(shù)考慮的是它作為決定性系統(tǒng)來研究其隨時間的演化。但是最近的研究就是對這個二次多項式進行復式迭代，它是屬于一 種特殊的復動力系統(tǒng)，而這些至今已經(jīng)有了非常豐富的成果。 那么復式迭代是什么呢？從數(shù)學上的語言來講，這樣的復動力系統(tǒng)是一個集合到其自身的映射。也就是說，從某一初始點 1z f z ,然后作 21z f z ,等等。這樣的迭代序列就是動力系統(tǒng)后續(xù)的離散狀態(tài)，從而數(shù)學家們通過它來探索系統(tǒng)長時間的演化?，F(xiàn)在我們將要提到的是 在所有的非線性映射中，多項式映射可以說是最為簡單的映射， 而 2f z z c著手研究的。對于它所定義的動力系統(tǒng)，我們已經(jīng)得到了很多的定義和性質。當對這個二次多項式進行迭代時，我們得到一個復數(shù)序列 z ,1z , 2z ,。這樣的一個序列可能一直延伸到無窮，也可能保持有界，也就是說保持在初始點的一個有界范圍內。所謂 在我們知道這樣的一個多項式的 充集的邊界則叫做 稱 研究的成果，得知：對于多項式中不同 的形狀有很大的變化（當然對其填充集也是如此），它的外形如此多樣，此時 可能是非連通的（ 此時 就是一個 后面將涉及到） 。 的面積為 0。因此， 于我們研究的分形聯(lián)系也非常緊密。在 稱 指的是所有使 合。研究指出， 且是連通的。同時， 于 集 極為相似；當 集中的一點時，它也是 繞 集觀察一個區(qū)域，然后再 湍流 流體的運動情況本身是十分復雜的，流體力學就是研究流體流動的科學，其在生產(chǎn)生活、科學技術中的應用十分廣泛。而湍流現(xiàn)象 是流體中的一種更加常見的流動方式，流體在流動過程中就伴隨著大量的渦旋運動，例如：快速行駛的船在船尾形成的渦旋；點燃的香煙，其煙氣出現(xiàn)的一團團的渦旋；江水在水流急速的情況出現(xiàn)的漩渦等等。湍流是近百年來的一個經(jīng)典的難于解決的問題，而湍流理論的中心問題是求納維 而這個方程無法得到解析解。 從它的提出到現(xiàn)在，人們一直在摸索如何求解這個方面，并獲得它的部分性質。 為什么湍流受到如此眾多的人關注呢？因為湍流是自然界和工程中普遍地流動現(xiàn)象，對于湍流問題的正確認識和?；苯佑绊憣ψ匀画h(huán)節(jié)的預測和工程的質 量。雖然我們還有很多 7 的問題懸而未決，但是因為它太接近自然和太符合實際，所以現(xiàn)在一直成為人們關注的焦點。其中，最直接的表現(xiàn)就是納維 見其重要性。因為這個方程如此重要，很多年來人們從解析的角度做了很多的努力，但是方程就是無法求解。這時 ,幾何形狀這樣一個全新方式入手，觀察湍流的繪畫，速度紀錄等等，以方便獲得基本的幾何直覺。利用自己的研究經(jīng)驗，他也獲得了一些猜想，他認為這些猜想將來一定能夠被證明。 先研究利用的他分形中 最為重要的概念 根據(jù)里查遜在氣象研究中與級聯(lián)有關的旋渦等級層次的概念，著手于湍流級聯(lián)的自相似。然后， 認為：如果維納 是事實上的極限分形，他進而猜想歐拉方程的解奇異性也是分形。 在分形的應用關于宇宙方面的討論中，涉及到一點點渦漩的分析。 形基礎 本概念 自相似性、標度不變性和特征長度 我們說一個系統(tǒng)具有自相似性指的是它的某種結構或者過程上的特征從不同的空間或時間來看是使相似的，或者 也可以說這個系統(tǒng)或者結構的局部性質或局域結構與整體類似。一般情況下我們說的自相似性不是簡單的比例放大和整 體完全重合，其實符合這種性質的分形自然界是不存在的，只有我們人為 構造的自相似結構才存在有這樣的性質。但是自然界中表征自相似系統(tǒng)或者 結構 的定量屬性分形維數(shù)，并不會因放大或縮小而變化，我們稱這種性質為伸縮不變性。這也是自相似結構的內在屬性。 現(xiàn)在人們觀察到，這種自相似性存在各個領域，如地理、物理、化學、天文學、生物學、經(jīng)濟學以及社會科學，它其實是自然界的普遍規(guī)律之一。前面我們介紹了 分形主題 海岸線。如果我們是在高空的飛機上觀察海岸線，可以看到它是極不規(guī)則和不光滑的曲線構成，由許許多多的半島和港灣組成。隨著我們觀察高度的降低，也就是把我們的海岸線發(fā)達，可發(fā)現(xiàn)原來的海灣或半島由更小的海灣和半島組成。更進一步，如果我們徒步在海岸線上行走時，會發(fā)現(xiàn)它具有更精細的結構，這就說明海岸線具有自相似結構。而這樣的自相似結構在我們改變測量尺度下，無法確定其真正的長度，也就是前述長度是無窮大。再看看我們身邊的大自然世界，自相似結構無處不在。一棵大樹是由一個主干和主干上的分叉長出的樹枝組成。你會發(fā)現(xiàn)每 截樹枝它的生長形態(tài)又和一棵整體的樹一樣，它又有很多分支。你會看到用石灰粉刷的墻壁有象植物根系一樣的裂痕，生出魔掌似的的閃電，植物葉脈的分叉形狀，一些蕨類植物的枝葉，這所有所有的都具有自相似結構。在看看我們人類自己，我們的血液循環(huán)系統(tǒng)，它的有動脈、靜脈和毛細血管，它們是如此的錯落有致，幾乎走遍了我們全部的身體。 在這里我想著重講述下由中國人創(chuàng)建的新科學 全息生物學。生活在農村小孩子就應該都很了解：只要將帶有枝節(jié)的葡萄枝插在有營養(yǎng)的土地里就會長出葡萄藤來；我們現(xiàn)在 的 8 吃的薯片以及番薯等等在大面積種植的時候，它并 不是由番薯一個個種 下去的，而是把種薯長出來的藤條剪成許多帶葉子的小段，每段插在地里，就可以長出番薯來，不過種植的時候一般在下雨天；種馬鈴薯的時候，把馬鈴薯塊莖用刀削開幾個口子，就可以生長；以前見過月季、菊花、仙人掌類、蘋果 和 梨 等通過嫁接生長。這樣的植物的根莖、枝條、葉子都包含了植物生長的全部信息，也就是說它存有一整套的基因，它們都能培育成一個完整的植物個體，也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我們所說的全息生物學研究的就是生物體部分和整體或者部分和部分在生物學特性上全息相關的規(guī)律以及其應用。其中提出的相 似度的概念就是表示對應部分之間生物學特性相似程度的大小 ，全息胚的相似度越大，則 全息胚之間在形態(tài)和結構上越相似，如一株 植物的葉子之間 ，從而在后邊引出了生成元生成分形的算法。 我們在這里指出一個具有自相似特性的系統(tǒng)必定滿足標度不變性。那么什么是標度不變性呢？我們這里還是用拿一個島嶼作為例子：如果你從高空中觀察，你會看到這個島嶼的邊界是如此的比規(guī)則，它由很多凹凸部分，以及一些零碎的小島嶼組成。在近看，你會看到島嶼的一個區(qū)段的邊界，你發(fā)現(xiàn)在這些凹凸部分之上又不斷地“冒出”很多小的凹凸部分。接下來你來到這個島嶼的一個 海灘，你發(fā)現(xiàn)這個海灘，也不是一條直線，它可能會有很多零碎地時候，彎曲的沙灘向兩邊延伸。最后你對具體一個石頭，你也會發(fā)現(xiàn)其實石頭也是如此的凹凸不平，。從中你可以看出每次的這種類似放大的過程， 每次看到的圖像是如此的相似。因此，所謂標度不變性是指在分形上的任選一局部區(qū)域，對它進行放大 后，得到的放大圖又會顯示出原圖的形態(tài)特征，它的形態(tài)、復雜程度、不規(guī)則形等方面都不發(fā)生變化。 我們指出自相似體沒有特征長度，一般認為能代表物體的幾何特征的長度就可以說是該物體的特征長度。如一個球的半徑，桌子的邊邊長，人的身高，江河的 官邸等。如果我們對物體稍加簡化，而物體的特征長度不變，那么它的幾何性質就不會有太多的變化。我們把一個原木和在遠處的電線桿一起樹立，它們之 間沒有太大的差別。這些具有特征長度的最基本形狀都有一個共同的性質 ，它們都是平滑幾乎處處可微的。其實我們描述的這類物體是一種對現(xiàn)實事物理想化和簡單化的產(chǎn)物，可以說自然界不存在有這種有特征長度的物體，相當一部分我們見到的就是沒有特征長度的分形。例如云就是具有自相似性的物體，我們對云的邊界描述，它不是球的一部分表面。如果要細致的描述，可以由一部分小的球表面的結合，然而要完全描述云 的話，那么必須有無窮個這樣的球表面進行結合才能表現(xiàn)出云的如此復雜的自相似表面。其實我們這里提出的自相似和標度不變性還有特征長度都有非常密切的聯(lián)系，自相似的物體必然滿足標度不變性，而且它沒有特征長度。 分形的概念 現(xiàn)在我們知道分形理論中很多概念早在 久之前就已經(jīng)出現(xiàn)了，例如多這樣的處處不可微的圖形，被稱為反常的現(xiàn)象，但是 今世界舉目的分形，并創(chuàng)立了分形幾何學，如今分形在各個領域的應用在短短的二 、三十年中就迅猛發(fā)展。 于是， 試給分形下一個明確的定義：分形是滿足數(shù)嚴格大于其拓撲維數(shù)的集合。這里邊引入了 數(shù)的概念，它將在接下來的維數(shù)一節(jié)中介紹。我們說的集合的拓撲維數(shù)都是早就為人接受的非負整數(shù)維。即一個點是零維，直線線是 1維的，平面是 2維的，空間是 3維的，。但這也 9 有一些分形如 維的。因此，后來 分與整體以某種方式相似的圖形 稱為分形。這個定義重點體現(xiàn)的是 分形具有自相似結構，著重提顯出分形的局部與局部、局部與整體在形態(tài) 、功能和性質等方面的相似性，但是這樣不能解釋像直 線、圓等不是分形。這樣，從嚴格意義上對分形進行嚴格定義比較困難。 這樣我們總結自然界的分形，它應該具有的性質和特征，歸納這樣一個集合 合 果它滿足如下幾個典型性質： 在任意小的尺度下，它一直存在有與整體相似的細節(jié)； 的整體和局部都 不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述； 種自相似可以是完全自相似的，也可以是統(tǒng)計意義下的； 一般情況下， 一般 能由迭代過程產(chǎn)生。 上面所說的分形具有的這些性質用來完全確定分形也仍然不很明確，里邊的這些性質的說法也是模棱兩可的。但是從這個定義形式下，我們大致了解到分形大概的特征，甚至可以想象到分形具有的簡單美和復雜美。 數(shù) 分形提出不到半個世紀，它的應用可算是空前絕后，但如今沒有一個有關于分形的確切定義。同樣關于分形圖形維數(shù)的計算方法也是多種多樣，對不同的問題采用不同定義計算維數(shù)。本節(jié)主要介紹分形維數(shù)最初的理論基礎定義 在所有我們分析的分形維數(shù)中， 數(shù)可以說是最古老最重要的一種。它的優(yōu)點在于它適用于任何點集 ，同時它也是建立在測度的基礎上，數(shù)學上的研究要很方便。正是由于至一點，很多情況下，用來實際 計算或估計集合的維數(shù)時，卻比較難。但它作為數(shù)學理論上的應用是有特別重要的地位。在我們介紹 數(shù)之前，我們必須先說明下純屬數(shù)學上的定義。 假設 U 為歐式空間 任 意 非 空 子 集 ， 且 U 的 直 徑 的 定 義 為 s u p : ,U x y x y U ，即 U 內任意兩點距離的最大值。如果 有限或者可數(shù)個點集構成的點集序列，則我們說 成點集 F 的一個 覆 蓋 ，也就是說： 對 i 且有 0 ，滿足 1 (此時，如果有 F 為 的任意子集， s 是一個非負數(shù)，我們考察對任意直徑不超過 的 10 F 的覆蓋，使得這些直徑冪的和最小，即定義： s 1i n f : U F 為 的 任 意 覆 蓋H (已經(jīng)知道 減少時， s FH 隨之增加，所以當 0 時，我們記極限值為 i (其中對于任意的子集 F 這樣的極限值都存在，且極限值一般為 0或者 。此時我們稱 (中的 s F 的 定義可以看出，空集的 ，且若 ，則 H。 度是對長度，面積和 體積的推廣。我們知道當尺度比例放大 k 倍時，相應的長度、面積和體積將分別放大 k 、 2k 和 3k 倍，其中的指數(shù) 1， 2和 3就是通常所說的拓撲維數(shù)。對于 放大 。 此時，我們從式 (式 (過來看 s。容易看出對任意的點集 F 以及 1 ， s FH 對 如果 ，則有 ， F 的 覆 蓋 兩邊同時取下確界就得到 0 ,可知若 s F H ，則 t 0F H ，當 ，則 t F H 。此時，也就是說，存在 s 跳躍到 0，我們稱這個 臨界值為 F 的 為 F 。精確地表示為 i m i n f : 0 s u p :H F s F s F 此時可知到 可取 0或無窮或者兩者之間。 盒維數(shù) 盒維數(shù) (稱為計盒維數(shù)或容量維數(shù)。由于盒維數(shù)的計算相對于其他維數(shù) 11 而言要方便，所以它可以說是應用最為廣泛的維數(shù)之一。下面引出盒維數(shù)的數(shù)學定義。 假設 是一個非空有界子集， 是直徑最大為 可以覆蓋 F 的最少集合數(shù)，定義 F 的上、下盒維數(shù)為 0l o gd i m l i ml o 0l o gd i m l i ml o 如果這兩個極限相等，則稱極限為集合 F 的盒維數(shù)，記為 0l o gd i m l i ml o 。 經(jīng)過適當?shù)淖兓陀懻摚覀円陨厦娴亩x來確定盒維數(shù)，對于 的確定可以由下面的方式等價計算： 覆蓋 F 的半徑為 的最小閉球數(shù)，對于二維而言就是圓； 覆蓋 F 的邊長為 的最小立方體數(shù)，對于二維而言就是正方形； 與 F 相交 的 于二維而言就是矩形網(wǎng)格； 覆蓋 F 的直徑最大為 的最少集合數(shù)，就是上面定義中的情況； 球心在 F 上，半徑為 的相互不交的球的最多個數(shù)。 其實這樣的等價計算方法還有很多，根據(jù)你所考慮的圖形的具體情況來選擇實現(xiàn)計算的方法，這里我們對 的二維分形圖形的維數(shù)計算提出一個可行的 方法 盒維數(shù)計算方法 ：選取一個合適的正方形，它完全覆蓋點集 F ，并取任意比較小的正數(shù) ，任意給定一個較小的正數(shù) (這個數(shù)據(jù)討論的圖形而具體確定 )，以 為邊長對上面的這個正方形進行網(wǎng)格分割成若干小方格。對這個正方形內的所有像素進行掃描，記錄包含 F 中的點的小方格數(shù)，記為 ,并計算比值 = ?？s小比例 (如取 /2 )，如果前后兩個比值的差大于 ，則重復 上面操作， 否則 此時的比值就是為集合 。 其實，最后計算盒維數(shù)還有方法，就是每次記錄算法 和 ，多次運行算法后，作這兩個 量的對數(shù)圖，則圖形幾乎是位于一條直線的旁邊，它的斜率的相反數(shù)就是盒維數(shù)。 相似維數(shù) 自相似性是 分形研究中經(jīng)常提到的一個概念，它曾用自相似性來定義分形。我們后面將要討論的 于自相似集合，我們定義相似維數(shù)為 /s k 其中 k 是相似比例因子， n 是按 比例因子組成 F 的相似子集的個數(shù)。舉個例子來說：平 12 面上的一個正方形，那么這樣一個正方形，可以看作由比例系數(shù) 1/k 的 2k 個小正方形構成的，這時由上面相似維數(shù)得 ；同樣，如果對于立方體，可以看作由比例系數(shù) 1/k 的 3k 個小正方體，從而相似維數(shù)為 3 。這些正同我們在普通意義的維數(shù)一樣。 相似維數(shù)最適合有自相似結構的規(guī)則分形的維數(shù)計算，特別適合于后面我們提到的分形元生成分形的情況。如果在生成分