畢 業(yè) 論 文 基于平面波展開法計算光子晶體 帶結(jié)構(gòu) 指導(dǎo)教師 劉景 鋒 講師 學(xué)院名稱 理學(xué)院 專業(yè)名稱 光信息科學(xué)與技術(shù) 論文提交日期 2011 年 4 月 論文答辯日期 年 月 答辯委員會主席 _ 評 閱 人 _ 摘 要 光子晶體可以有效的控制原子的自發(fā)輻射，從而為新型光量子器件的發(fā)展提供了先進的技術(shù)平臺。它也是量子光學(xué)研究光與物質(zhì)相互作用的研究熱點。我們利用 平面波展開 法 計算光子晶體 能 帶結(jié)構(gòu)。 文中我們計算了 二維方格子 圓柱子 、二維三 角格子圓柱 子、含空氣 空圓柱子的 三角 格 子、 三維 金剛石晶格和 木堆積晶格 等 結(jié)構(gòu) ，并探究 二維光子晶體具有比較大帶隙時的形狀特點。 光子晶體 就是 具有周期性分布的電介質(zhì) 結(jié)構(gòu) 。 本文 從電動力學(xué)中的麥克斯韋方程組 和電磁場的 波動方程 出發(fā)， 利用 固體物理 中的布洛 赫 定理，推導(dǎo)出關(guān)于 磁場強度 H 的本征方程 ，再 運用傅里葉變 換把 該本征中的物理 連續(xù)量進行離散化 ，把求解該本征方程 的特征解 轉(zhuǎn)化為求解 矩陣方程的特征矩陣。 本文對光子晶體 帶結(jié)構(gòu)計算使用美國麻省理工學(xué)院（ 發(fā)的 以及周邊的 計算程序包 ，并且對其 腳本化的使用方法進行深入學(xué)習(xí)探究 。 對 既定的光子晶體結(jié)構(gòu) 經(jīng) 算后，把數(shù)據(jù)綜合整理，繪制成帶結(jié)構(gòu)圖。 通過對平面波展開法進行詳細的推導(dǎo) 以及 算程序的使用， 除了計算本文提及的光子晶體結(jié)構(gòu)外，結(jié)合實驗實踐的可行性，可 從理論上尋找具有比較大范圍帶隙的光子晶體結(jié)構(gòu)。這將 對光子晶體制備上具有很強大的指導(dǎo)意義。 關(guān)鍵詞 光子晶體 能帶 平面展開法 金剛石晶格 木堆積結(jié)構(gòu) 目 錄 1 前言 . 1 光子晶體提出 . 1 光子晶體簡介 . 1 電子能帶 . 1 光子帶隙 . 2 第一塊光子晶體 . 3 2 光子晶體計算 . 4 計算方法和依據(jù) . 4 平面波展開法簡介 . 4 時域有限差分法簡介 . 5 平面波展開法推導(dǎo) . 5 本征方程推導(dǎo) . 5 厄密算符性質(zhì) . 8 布洛赫定理 . 9 矩陣表達形式 . 14 3 算程序包 . 14 4 結(jié)果及討論 . 16 簡單二維正方格子圓柱子 . 16 反二維正方格子圓柱子 . 17 簡單二維三角格子圓柱子 . 19 圓柱子含空氣孔的二維三角格子 . 20 二維脈絡(luò)方格子 . 22 二維正方格子中圓柱子和脈絡(luò)復(fù)合 . 23 金剛石球結(jié)構(gòu) . 25 木堆積結(jié)構(gòu) . 26 致謝 . 29 參考文獻 . 30 . 31 畢 業(yè)論文成績評定表 . 32 1 1 前言 光子晶體 提出 1987 年，美國物理評論快報 分別在三月和五月刊登了兩篇 對光學(xué)和材料科學(xué)的發(fā)展具有重大 意義的論文。兩位作者分別是普林斯頓大學(xué)（ 理系的 （目前在加拿大多倫多大學(xué)物理系）和美國貝爾通訊研究所的 （目前在加州大學(xué)洛杉磯分校電子電氣工程系）。 當(dāng)時， 授為了“減少激光器在原子自發(fā)輻射而浪費的能量”為研究出發(fā)點，重新研究新型激光器內(nèi)部結(jié)構(gòu)，意外地發(fā)現(xiàn)了某些晶體中在某特定頻率電磁波范圍內(nèi)不能被“傳輸”，從而可以使原子不能以自發(fā)輻射的方式對外釋放能量。而 子在含有缺陷的晶體中具有局限性”出發(fā)，類推出“光子在含有缺陷的晶體中受到局限”。 他借用了半導(dǎo)體晶體中 “ 電子帶隙 ” 的表述，設(shè)想一種新型的光子微結(jié)構(gòu)能與半導(dǎo)體晶體對電子 起的作用一樣，對光子產(chǎn)生類似的約束。 光子晶體的這兩點特性使得它可以有效地對光進行控制，因此光子晶體被認為是可以控制和操縱光的材料。 自然 寫道：“只要能制作出使特定頻率的電磁波不能通過的介電材料，各種各樣幾乎幻想的事都會稱為可能。” 光子晶體簡介 凡是具有周期性分布的電介質(zhì)的結(jié)構(gòu)都可以稱為光子晶體。 以周期性 的空間拓撲結(jié)構(gòu)方式 ，可以把光子晶體分為 三大類：一維光子晶體、二維光子晶體和三維光子晶體。一維光子晶體是介電常數(shù)不同的兩種介質(zhì)交互重疊而成，這種結(jié)構(gòu)實際上已經(jīng)被研究許多年 ，并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用在各種光學(xué)系統(tǒng)上，比如，布拉格 反 射鏡，就是一種四分之一波長的一維光子晶體。 二維光子晶體是由介質(zhì)柱周期排列而成，三維光子晶體由球形或其他晶胞按面心立方、體心立方，金剛石 結(jié)構(gòu) 或其他方式排列而成。 若果考慮周邊環(huán)境的影響或結(jié)構(gòu)自身關(guān)于時間維度的變化特性，可以認為存在四維光子晶體 ，例如受到環(huán)境溫度和聲光效應(yīng)影響的光子晶體 。 電子能帶 而 在固體物理研究中發(fā)現(xiàn)，晶體中的周期性排列的原子所產(chǎn)生的周期性電勢場對電子有一個特殊的約束作用。在這樣的空間周期性電勢場中的電子運動是由如下的薛定諤方程決定 的 ： 2 2 22 ( ( ) ) ( , ) 0m E V r r t ( ) ( )V r V r R (其中 () 它具有空間周期性 (求解方程 (以發(fā)現(xiàn) ，電子的能量 E 只能取某些特殊值 ， 在某些能量區(qū)間內(nèi)該方程無解 ， 也就是說電子的能量不可能落在 任意 的能量區(qū)間。 光子帶隙 與普通晶體一樣，光子晶體的周期排列具有能帶結(jié)構(gòu)，光子能帶之間可能存在光子帶隙（或光子禁帶）。在這個頻率范圍里的電磁波不能在這個光子晶體傳播。而頻率位于能帶里的電磁波則能在光子晶體里幾乎無損地傳播。帶隙的寬度和位置與光子晶體的介電常數(shù)比值，周期排列的尺寸及排列規(guī)律都由關(guān)系。 光子 頻率 帶隙 ， 就是光子晶體本身結(jié)構(gòu)具有阻擋某頻率范圍電磁波在內(nèi)部傳輸 的特性，而存在的這個頻率波段就稱為“帶隙” ，又稱為“禁帶” 。 光子晶體的帶隙上分為兩類，一類是完全帶隙，一類是非完全帶隙。完全帶隙是指 ，在光子晶體內(nèi)部各個方向都不能傳播此頻率范圍的電磁波，而非完全帶隙是指，在光子晶體內(nèi)部的某些方向上不能傳播此頻率范圍的電磁波而在某些方向上可以傳播。 光子晶體最主要特征是具有光子禁帶，落在光子禁帶的頻率的光在光子晶體中是禁止傳播的。光子禁帶的特征依賴于兩種介質(zhì)的介電常數(shù)之比，一般隨著比值得增大而增大；同時還依賴于晶體的幾何構(gòu)性，如三維的金剛石結(jié)構(gòu)的光子晶體中存在完全光子帶隙。利用光子帶隙這個特性可以實現(xiàn)對光子的極優(yōu)良的濾波性能。這是由于光子晶體的濾波帶寬可以做得比較大 ， 這種大范圍的濾波作用利用傳統(tǒng)的濾波器是 難以實現(xiàn)的。光子禁帶也使得光子晶體可以制造出高效率低損耗反射鏡等器件。 光子晶體中的光子態(tài)密度具有反常的分布特征，從而使得光子晶體展現(xiàn)出奇特的量子光學(xué)性質(zhì)。如光子晶體可以抑制自發(fā)輻射。若光子晶體中的一個原子的自發(fā)輻射的光頻率正好落在光子禁帶中 , 由于自發(fā)輻射的幾率與光子所在頻率的態(tài)的密度成正比，而該頻率光子的態(tài)的數(shù)目為零 , 因此自發(fā)輻射幾率為零 , 自發(fā)輻射也就被抑制。 就像半導(dǎo)體中原子點陣可以控制電子傳播一樣，光子晶體中不同介電常數(shù)的排列可以控制一定頻率的光的傳播。如果介電常數(shù)的差異足夠大，在電介質(zhì)交界面 上發(fā)生布拉格散射，產(chǎn)生能量的禁帶。在三維嚴格的光子晶體中，禁帶內(nèi)的電磁波無法向任何一個 3 方向傳播。如果晶體中出現(xiàn)缺陷射出，在某個位置上電介質(zhì)排列的周期性被打破了， 那么光波就可以從這個缺陷射出。如果這種缺陷是 晶體中 的線缺陷，那么光就沿著缺陷構(gòu)成 的通道傳播，從而實現(xiàn)對光的傳輸方向的控制，甚至可以讓光轉(zhuǎn)過很銳的拐 彎。 禁帶 中心波長在微波波段或者在遠紅外波段的光子晶體相對而言 是比較容易實現(xiàn)，這就是為什么早期在實驗中制造出來的光子晶體禁帶波長多數(shù)落于這些波段。然而，要實現(xiàn)在可見光波段存在帶隙的光子晶體，尤其是 在 三維光子 晶體，是比較難實現(xiàn)。 主要原因是這么小的晶格常數(shù)在工藝上難于實現(xiàn) 。 不過隨著現(xiàn)代新的光刻工藝技術(shù)進步，越來越多高復(fù)雜度的光子晶體被制造出來。 第一塊光子晶體 在 出光子帶隙的不久之后，他就用一種十分巧妙的方法制作出了第一塊具有全帶隙 的光子晶體。該光子晶體是金剛石結(jié)構(gòu)。他采用的制備方法簡單描述如下：在一塊介質(zhì)上，放置一層具有三角形排列、帶圓形洞的模板。在每個圓形洞處打孔，其打孔方向與模板平面的法方向呈 角，而三個空之間彼此的夾角為 120。這樣就可以形成了三維金剛 石結(jié)構(gòu)，證實了光子晶體禁帶的存在。 這種光子晶體是在一塊介質(zhì)上打孔而得到，帶隙的中心頻率大約在 1大約是無線電通訊應(yīng)用的頻帶范圍 。而在此之前盡管 有不同方法的理論分析 預(yù)言，但是人們對光子晶體帶隙的 是否 存在抱有懷疑的態(tài)度。 圖 1 作光子晶體方法示意圖 4 在此之后，人們在工藝上的努力招呼要是為了將帶隙的中心頻率提高，那就是向紅外以及可見光范圍推進，然而這遇到了極大的困難?？梢赃@樣說，關(guān)于光子晶體近幾年來的理論研究以及實驗探索非?；钴S，可是研究員努力的結(jié)果或多或少有些不盡人意 。光子晶體的制作難易程度主要取決于光子晶體的維數(shù)和帶隙所在的波段。隨著光刻工藝技術(shù)的提高，對于 三維光子晶體 的實驗探究有了進一步的成果 。 2 光子晶體計算 計算 方法 和依據(jù) 在實驗上制備特定結(jié)構(gòu)的光子材料在目前仍有很大的困難，而通常在理論上設(shè)計各種結(jié)構(gòu)并對它進行分析研究則實際得多，并對實驗有良好的指導(dǎo)作用。由于 麥克斯韋 方程組能在線性介質(zhì)上得到精確求解，因此在理論上設(shè)計光子晶體結(jié)構(gòu)并研究其性質(zhì)，對光子晶體的實驗制備和應(yīng)用研究具有重要指導(dǎo)意義。在以往研究中，幾種從經(jīng)典電磁理論上發(fā)展起來的常用算法被運用于 各種不同的系統(tǒng)中。 理論研究主要是根據(jù)要計算的對象和目標來選擇不同的方法。平面波展開法 （ 以下簡稱 是計算頻帶結(jié)構(gòu)最常用的方法，應(yīng)用布洛赫（ 原理，求出特定波矢對應(yīng)的本征頻率。由于它利用了晶體的周期性，從而適用于頻帶結(jié)構(gòu)的計算。轉(zhuǎn)移矩陣法通常用于計算有限大小光子晶體的透射系數(shù)和反射系數(shù)以及那些介電函數(shù)與頻率相關(guān)或含虛部（有吸收）的結(jié)構(gòu)?；谏⑸淅碚摰囊恍┓椒▌t將光子晶體材料看成一組散射元，光子禁帶被視為所有散射波干涉的結(jié)果。此外，時域有限 差分法 （ 能求出波動方程時域上的解，常用于腔品質(zhì)因子的計算。 平面波展開法 簡介 平面波展開法 是對于某一入射方向 k，以平面波的形式展開電磁場，將麥克斯韋方程組化成一個本征方程，求出 k 對應(yīng)的一組頻率本征值。 這種方法計算了第一個光子帶隙結(jié)構(gòu)，共用了幾千個平面波，在理論上首次證實了完全帶隙的存在。盡管實驗中這個結(jié)構(gòu)未能在光波段上建立，但仍在微波波段得到實現(xiàn)和測量。由于 麥克斯韋 方程組遵循 標度不變性，所以，若實驗上能在 級上得到帶隙，則隨著結(jié)構(gòu)周期常數(shù)的減小，必能在相應(yīng)的波段得到更高中心頻率的帶隙。 這種方法的優(yōu)點是 ， 沒有引入假設(shè)條件，為頻帶結(jié)構(gòu)的計算提供了一個穩(wěn)定可靠的算法；編程簡單，可以借助現(xiàn)有算法庫中的傅立葉變換（ 矩陣對角 5 化等標準程序。缺點是 ， 當(dāng)介電函數(shù)是頻率的函數(shù)時，沒有確定本征值方程，計算會復(fù)雜和困難得多；在實驗上通常的測量量如折射率、透射率等，是與特定的頻率相聯(lián)系的，需要求出所有在該頻率下的布洛赫波，于是，在計算中必須重新就某一頻 率計算 k。 時域有限差分法 簡介 而 時域有限差分法 是 將一個單位原胞劃分成許多網(wǎng)格單元，直接用有限差分式代替麥克斯韋時域場旋度方程中的微分式，選取合適的邊界條件，將麥克斯韋方程組化成矩陣形式的特征方程。這個矩陣是準對角化的，其中只有為數(shù)不多的非零矩陣元，明顯地減少了計算量，節(jié)省了計算機內(nèi)存。但是，有限差分法沒有考慮晶格格點的形狀，遇到具有特殊形狀格點的光子晶體時，要求得精確解就比較困難。這種方法的計算精度較高，能得到時域解，通過傅立葉變換可以得到頻域解，因此， 有一次時域計算代替 頻域上逐點計算的潛力。但是 的計算需要大量的存儲空間，計算時間長；同時，晶體含有金屬時，收斂緩慢。 在電子能帶結(jié)構(gòu)的計算上，有兩種經(jīng)典的模型： “近自由電子模型 ”和 “緊束縛模型 ”。前者假設(shè)電子波函數(shù)近似于平面波，而后者則認為電子與原子核之間有強大的相互作用，以至于電子只能偶爾從一個原子附近跳到另一個原子附近。平面波展開法就類似于光子的近自由模型 ，而時域有限差分法是 類似緊束縛模型的計算方法 。 平面波展開法推導(dǎo) 本征方程推導(dǎo) 從 麥克斯韋 方程組出發(fā)，以平面波展開法推導(dǎo)出電磁波在光子晶 體中的本征方程 。在此方程的推到 中，我們假設(shè)介質(zhì)是無源的、非磁性、 介觀尺度的 和各向同性 ；研究對象是頻率分布很小范圍的電磁波，故可以忽略相對介電常數(shù) 的色散效應(yīng)；介質(zhì)是無吸收的，故是 ()r 是空間位移的實函數(shù)。則 程組可表示 微分形式 為： ( , ) = 0( , ) = 0( , ) = ( , )( , ) = ( , ) r B rH r D r(其中， D 為 電位移矢量， E 為電場強度， H 為磁場強度， B 為磁感應(yīng)強度，上述各量均為時間 t 和空間位移 r 的函數(shù)。在上述假設(shè)情況下 ： 6 00( , ) = ( , ) , ( , ) = ( ) ( , )t t t t B r H r D r r E r(把 (式子分別代入 (第三 個 和第四個方 程 。其中，t是對時間變量 t 求偏導(dǎo)數(shù)，對常量和不含 t 變量的函數(shù)不其作用： 00( , ) = ( , )1 ( , ) = ( , )() E r H rH r E 對 (2方程分別兩邊求旋度，得到， 00( , ) = ( , )1 ( , ) = ( , )() E r H rH r E 旋度操作符 是對矢量作用，對時間 t 標量不作用， 00( , ) = ( , )1 ( , ) = ( , )() E r H rH r E 對 方程組 (方程等號右邊的 ( , )t ( , )t (三第四式代換 ： 00( , ) = ( , )1 ( , ) = ( , )() E r D rH r B (用 (換 (的 B 和 D ， 整理得： 200 2200 21 ( , ) = ( , )()1 ( , ) = ( , )() E r E r H (其中，0是真空中的介電常數(shù) ，0為真空中的磁導(dǎo)率 。由001c，即00 21c，代入 (2 7 22222211( , ) ( , )()11( , ) ( , )() E r E r H (假設(shè)方程組 (解 （ 即波動方程的本征解 ） 具有以下形式： ( , ) = ( , ) = (E r E r )H r H r )(將 (入 ( 22222211()11()i t i ti t i E r ) E r )rH r ) H r )r(根據(jù) 算符運算公式， F F F (有 以下化簡 ， ( ( ( ( ( ( (i t i t i t i ti t i t i t i te e e ee e e e E r ) E r ) E r ) = E r )H r ) H r ) H r ) = H r )(把 (入 ( ， 22222211 ()11()i t i ti t i E r ) E r )rH r ) H r )r(進一步用 (簡方程組 ( 得： 22221 ()1 () E r ) E r )rH r ) H r )r(磁場分量 H 滿足： 21 ( ) ) ( )()( ) = 0c H r H (根據(jù) ( 以求解 H ，進而通過 ( (得 E ： 8 0() ()i E r H ( r )r (這里 定義 21 ( ) ( ) ) ( )() c H r H r H ， 容易證明 為 線性算符 。 厄密 算符性質(zhì) 關(guān) 于 厄密（ 符 。先 引入一個運算規(guī)則 ， 由兩向量 () *3, dF G F r G r r (“ * ”是求共軛運算。定義 *,F G = G F ， 且 ,(是實數(shù) 、 非負，即使 F 是復(fù)數(shù)。如果 滿足 ,( F G ) = ( F G )的算符 ，就稱為 厄密算符 。 注意不是所有算符都是厄密算符，只有滿足上述關(guān)系才是厄密算符。 對 進行 檢驗， *3* 3*31,()1()1() F G = F G F G F G r = F , 其中應(yīng)用 F G F G F 可以知道， 是厄密算符 ， 其本征矢量正交完備。 另一方面， 電場分量 E 滿足： 2201 ()( ) ( , ) = 0 E r ) E r ) r(根據(jù) ( 以求解 E ，進而通過 ( (得 H ， 0() i H r E ( r ) (定義算符 21 ( ) ( ) ) ( )() c E r E r E ， 檢測是否為 厄密算符 ， 9 *3*3*31,()1()1 () F G = F G F G F G r F , 算符 并不是厄密算符，求解 E 的問題并不能簡單的歸類為求解本征值問題，要復(fù)雜的多。所以，處理此問題我們采取的思路是： (1)找到 () (2)通過求解 程組來尋找 () 21 ( ) ) ( )()( ) = 0c H r H (0() ()i E r H ( r )r (布洛 赫 定理 (程組 的 第一個方程 為本征方程 ，若 ()r 具有周期性，即厄密算符 具有周期性，則根據(jù) 固體物理中 布洛赫 理論，本征矢量可以表示為： ( r ) = u r , u r + R u rk k k k (其 中 k 為波的傳播方向。 將 (入方 程 (，得： 21 )()=0 k r k r u 利用 ( 性質(zhì)，化簡 ( 21()=0i i e e e e k r k r k rk r k u r u r u u r u rk k 進一步化簡 ： 10 2()=0 u r u u 利用 (性質(zhì)，化簡 ( 21()=0ii kk k u r u u 其中波矢 k 是守恒的， 有限體積的原胞確定，故 是離散值(n k) ，本征方程為： 2()1( ) ( ) ( ) ( )() c kk k u r u rr k n k n(我們要得到頻帶關(guān)系也就是要知道 (n k)依賴于所有“ n ”和所有“ k ”的取值。要解決這個問題，我們需要考慮以下三部分： （ 1） k 的有限取值 ： 根據(jù) 布洛 赫 理論，本征方程的解是以 k 為周期的，這樣就將整個 k 空間的問題 轉(zhuǎn)化到第一布里淵區(qū)內(nèi)，根據(jù)本征矢量的在 k 空間的對稱性可將求解范圍再簡化到不可約布里淵區(qū)內(nèi) ，如圖 2。 圖 2 二維方格子第一布里淵區(qū) （ 2） 有限自由度的限定 ： 在滿足 ( ) ( ) = 0i k u ()元展開為1(Nk n m u r ) = b r )的形式，求解本征值問題 2 (k n k n u r ) = u r )轉(zhuǎn)化有限 11 矩陣問 題： 2A h B h (其中 m l m bb，ml m 有限元法。其中平面波法即將 ()e r ) = h，并滿足約束條件 ( ) 0 + k。這是依照均勻的“格子”來劃分 ，滿足是周期性的邊條件。平面波法展開實際上是對周期場的傅立葉展開。 （ 3） 、本征值解法的效率 ： 在解決本征方程中，即計算矩陣 (，可以通過計算 A 和 B 來求得本征值，但是這需要大的內(nèi)存和計算時間。另外一種方法是從某一個初始假設(shè)的本征矢量0迭代過程中進行優(yōu)化。這種方法需要的內(nèi)存小，時間快。迭代的方法有 許多方法，其中包括小 化方法。根據(jù)微擾理論，厄密矩陣的最小本征值0滿足： 20 m h A h (可以通過計算最小值來求得本征值0，在計算最小值時，可以采用最速下降、共軛梯度、前承條件最速下降、前承條件共軛梯度算法，不同算法將直接影響計算精度。 二維周期性介質(zhì)中平面波法求解光場本征方程 。 在周期性介質(zhì)中，定義介質(zhì)周期結(jié)構(gòu)的原胞基矢 ()12a ,a，任意矢量都可以表示成： 1 1 2 2+ = r + R = r +(其中 R 是平移矢量，12,是整數(shù)。引入倒空間原胞基矢 ()12b ,b，滿足 ， 2112123122 2a a kk a a， (類 似有平移倒格矢量： 12其中12,是整數(shù)。 12 H 分量的處理 。 根據(jù) 布洛赫 理論，光場的磁場分量具有式 (形式，由于 以傅立葉展開為： 1 , 2 e e (則磁場分量可以表示為： ()1 , 2 ( e e G + k H r )k(其中， 1,2)是波矢為（ G k）的平面波磁場分量的兩個偏振方向的單位矢量，且12k + ,k + 構(gòu)成右手坐標系；對應(yīng)平面波磁場分量在 對本征方程 (2 行求解，根據(jù) ( ) ( ) ( )f f f A A A， 有： ()1 , 2( ) ( )1 , 2()1 , 2()1 , 2( = = ( )j e eH e e e eH e e e G + k G + k r G + k G + k G + k H r )k + 周期性介質(zhì)中， (r) 可以傅立葉展開為： ( G rGr ) G )(或者將 1() 1 () G )r (則有： 1 ( )1 , 21 ( ( ) ( )() e e G k G G H r ) G k + Gr k( 13 1 ( )1 , 21 ( )1 , 21 ( ) ( )1()( ) ( )= ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )j e e i e e e e G k G G G k G G G k G r G k G r ) k + k + G k G k + G k + 1 , 2j G G (根據(jù) F G G F G F F G F () k + G， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0j j j j je e e e e k + G k + G k + G k + G k + G (故： 1 ( )1 , 21 ( ( ) ( ) ( )() e e k + G + G G H r ) G k + G + G k + Gr k (用 ()G替式 (的 G ,上式等價于： 1 ( )1 , 21 ( ( ) ( ) ( )() e e k + G G H r ) G - G k + G k + Gr k (將 (、 (代入 (中，得到： 21 ( ) ( ) 21 , 2 1 , 2 ( ) ( ) ( ) j j e e H e k + G r G + k G ,G G G G - G k + G k + G (在 (兩邊分別乘以因子 ()G k 并在整個空間積分，可以得到 21 21 , 2 1 , 2 ( ) ( ) ( )j j j e H G , G , - G k + G k + G (在 (兩邊點乘據(jù) ( ) ( )C A B B C A ，有 ， ( ) ( ) ( ) ( ) j j j je e e e k + G k + G k + G k + G (其中有差乘的性質(zhì) A B B A 。 14 則 (可以表示為： 2121 , 2 ( ) ( ) ( ) j j j e e G , G , - G k + G k + G (將 (寫成算符表達式為： 2) ) ) ) 2j j j k( G , ( G ( G ( 其中 ： 1) ) ( ) ( ) ( ) j j j k( G , ( G G - G k + G k + G(矩陣表達形式 將 (轉(zhuǎn)化為矩陣形式，首先，將 (中的算符中的部分表達式改寫成： 3 3 ( ) ( ) j j j je e e e e e k + G k + G k + G k + G (由3 1 2 3 2 1 ,e e e e e e ，可得： 2 2 2 13 3 1 2 1 1 e e ee e e ee e e e (則 (中的算符可以表示為： 1) ) 2 2 2 111 2 1 1 ( ) ( ) ( ) () j j j e e ee e e e k( G , ( G G - G k + G k + - G k + G k + G (本征方程轉(zhuǎn)化為： 2 2 2 2 1 1 112 1 2 1 1 2 () G G G G Ge e e e H He e e e H G G G G G 2G - G k + G k + G (當(dāng) G取1 2 3, , ,. . . . . . G G，算符展開為 2n 階 復(fù)數(shù)厄密矩陣，其本征根為 2