第 1 頁（共 23 頁） 2016 年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：（本大題共 12 小題，每小題 5分，共 60 分在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知函數(shù) y=f（ 定義域?yàn)?1， 2，那么函數(shù) y=f（ x）的定義域?yàn)椋?） A 2， 4 B 1， 2 C 0， 1 D（ 0， 1 2在等差數(shù)列 ，已知 a4+6，則該數(shù)列前 11 項(xiàng)和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 3若 m 為實(shí)數(shù)且（ 2+ m 2i） = 4 3i，則 m=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 4在三角形 ，已知 ， ， 上的中線，點(diǎn) E 是 一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) A），則 =（ ） A 12 B 6 C 24 D 4 5給出下列 4 個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） 若 “命題 pq 為真 ”，則 “命題 p q 為真 ”； 命題 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”； “0”是 “0”的充要條件； 計(jì)算： 9192除以 100 的余數(shù)是 1 A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 6如圖，該程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的 a=3，則輸入的 a， b 分別可能為（ ） A 15、 18 B 14、 18 C 13、 18 D 12、 18 7一條光線從點(diǎn)（ 2， 3）射出，經(jīng) y 軸反射后與圓（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 8從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 9 個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè) 作為真數(shù)，則可以得到不同對數(shù)值的個(gè)數(shù)為（ ） A 64 B 56 C 53 D 51 9已知正三棱錐 S 六條棱長都為 ，則它的外接球的體積為（ ） 第 2 頁（共 23 頁） A B C D 10已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示， 邊長為 2 的等邊三角形，則 f（ 1）的值為（ ） A B C D 11設(shè) 任意等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和，前 2n 項(xiàng)和與前 3n 項(xiàng)和分別為 X， Y， Z， 則下列等式中恒成立的是（ ） A X+Z=2Y B Y（ Y X） =Z（ Z X） C Z D Y（ Y X） =X（ Z X） 12已知定義在 R 上的函數(shù)滿足條件 f（ x+ ） = f（ x），且函數(shù) y=f（ x ）為奇函數(shù)，則下面給出的命題，錯誤的是（ ） A函數(shù) y=f（ x）是周期函數(shù)，且周期 T=3 B函數(shù) y=f（ x）在 R 上有可能是單調(diào)函數(shù) C函數(shù) y=f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱 D函數(shù) y=f（ x）是 R 上的偶函數(shù) 二、填空題：（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 13若 x， y 滿足約束條件 ，則 的最小值為 14已知等比數(shù)列 滿足 ， ，函數(shù) y=f（ x）的導(dǎo)函數(shù)為 y=f（ x），且 f（ x）=x（ x x （ x 那么 f（ 0） = 15二項(xiàng)式（ 4x 2 x） 6（ xR）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 16已知函數(shù) f（ x） = 1 的定義域是 a， b（ a， b 為整數(shù)），值域是 0， 1，請?jiān)诤竺娴南聞澗€上寫出所有滿足條件的整數(shù)數(shù)對（ a， b） 三、解答題：（本大題 8個(gè)小題，共 70分，解答須寫出文字說明、證明過程、演算步驟） 17如圖，在四邊形 ， A= ， = 1， （ 1）求證： （ 2）求四邊形 面積； （ 3）求 值 第 3 頁（共 23 頁） 18如圖，已知直四棱柱 ， 0， 0 （ 1）求直線 平面 成的角正弦值； （ 2）若異面直線 C 所成的角的余弦值為 ，求二面角 B A 的正切值 19一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 5 件作檢驗(yàn)，這 5 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n如果 n=3，再從這批產(chǎn)品中任取 2 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果 n=4，再從這批產(chǎn)品中任取 1 件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果 n=5，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 ，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 （ 1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； （ 2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為 200 元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為 x（單位：元），求 x 的分布列 20如圖，曲線 由曲線 和曲線 成，其中點(diǎn) 曲線 曲線 在圓錐曲線的焦點(diǎn)， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲線 的方程； （ 2）如圖，作直線 l 平行于曲線 曲線 、 B，求證：弦 中點(diǎn)M 必在曲線 第 4 頁（共 23 頁） （ 3）對于（ 1）中的曲線 ，若直線 4 交曲線 點(diǎn) C、 D，求 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， （ ）討論函數(shù) f（ x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （ ）若 x 0， f（ x） 0 成立，求 a 的取值范圍 四 2、 23、 24題中 任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，答題時(shí)請寫清題號 選修 4何證明選講 22選修 4 1：幾何證明選講 如圖， O 和 O相交于 A， B 兩點(diǎn)，過 A 作兩圓的切線分別交兩圓于 C， D 兩點(diǎn)，連接延長交 O 于點(diǎn) E證明： （ ） D=B； （ ） E 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 ，已知圓 x2+，圓 x 2） 2+ （ ）在以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為 極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓 圓 極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)； （ ）求圓 2 的公共弦的參數(shù)方程 選修 4等式選講 24已知 a 0， b 0， c 0，函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x b|+c 的最小值為 4 （ 1）求 a+b+c 的值； （ 2）求 b2+最小值 第 5 頁（共 23 頁） 2016 年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：（本大題 共 12 小題，每小題 5分，共 60 分在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1已知函數(shù) y=f（ 定義域?yàn)?1， 2，那么函數(shù) y=f（ x）的定義域?yàn)椋?） A 2， 4 B 1， 2 C 0， 1 D（ 0， 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 函數(shù) y=f（ 定義域?yàn)?1， 2，即 x1， 2，求得 范圍即可得到函數(shù) y=f（ x）的定義域 【解答】 解： 函數(shù) y=f（ 定義域?yàn)?1， 2，即 1x2，可得 0， 即 函數(shù) y=f（ x）的定義域?yàn)?0， 1 故選： C 2在等差數(shù)列 ，已知 a4+6，則該數(shù)列前 11 項(xiàng)和 ） A 58 B 88 C 143 D 176 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)得 a1+a4+6，再由 運(yùn)算求得結(jié)果 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ，已知 a4+6， a1+a4+6， =88， 故選 B 3若 m 為實(shí)數(shù)且（ 2+ m 2i） = 4 3i，則 m=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出 【解答】 解： （ 2+ m 2i） = 4 3i， 4m+（ 4） i= 4 3i， ，解得 m= 1 故選： A 4在三角形 ，已知 ， ， 上的中線，點(diǎn) E 是 一個(gè) 三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) A），則 =（ ） A 12 B 6 C 24 D 4 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 用 表示出 ，再利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算 第 6 頁（共 23 頁） 【解答】 解： 上的中線，點(diǎn) E 是 一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn) A）， = ， = ， ， = = （ ） = =4 故選： D 5給出下列 4 個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） 若 “命題 pq 為真 ”，則 “命題 p q 為真 ”； 命題 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”； “0”是 “0”的充要條件； 計(jì)算： 9192除以 100 的余數(shù)是 1 A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè) 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 利用復(fù)合命題的真假判斷 的正誤；命題的否定判斷 的正誤；充要條件判斷 的正誤二項(xiàng)式定理判斷 的正誤 【解答】 解： 若 “命題 pq 為真 ”，則 p， q 都為真命題，所以 “命題 p q 為真 ”，故正確； 命題 “x 0， x 0”的否定是 “x 0， x ”，滿足命題的否定形式，正確； “0”可得 x（ ）， kZ； “0“可得 2x（ 22），即 x（ k，）， kZ；所以 “0”是 “0“的充要條件正確； 由于 9192=92=0092（ 9） 0+001（ 9） 91+000（ 9） 92， 在此展開式中，除了最后一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)都能被 100 整除，故 9192除以 100 的余數(shù)等價(jià)于 000（ 9） 92=992 除以 100 的余數(shù)，而 992=（ 10 1） 92=092（ 1）0+01（ 1） 91+00（ 9） 92，故 992 除以 100 的余數(shù)等價(jià)于 01（ 1） 91+00（ 9） 92 除以 100 的余數(shù)，而 01（ 1） 91+00（ 9）92= 919= 10100+81，故 9192 除以 100 的余數(shù)是 81不正確 故選： C 6如圖，該程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的 a=3，則輸入的 a， b 分別可能為（ ） 第 7 頁（共 23 頁） A 15、 18 B 14、 18 C 13、 18 D 12、 18 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由程序框圖的輸出功能，結(jié)合選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)，即可得出輸入前 a， b 的值 【解 答】 解：根據(jù)題意，執(zhí)行程序后輸出的 a=3， 則執(zhí)行該程序框圖前，輸人 a、 b 的最大公約數(shù)是 3， 分析選項(xiàng)中的四組數(shù)，滿足條件的是選項(xiàng) A 故選： A 7一條光線從點(diǎn)（ 2， 3）射出，經(jīng) y 軸反射后與圓（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） A 或 B 或 C 或 D 或 【考點(diǎn)】 圓的切線方程；直線的斜率 【分析】 點(diǎn) A（ 2， 3）關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為 A（ 2， 3），可設(shè)反射光線所在直線的方程為： y+3=k（ x 2），利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出 【解答】 解：點(diǎn) A（ 2， 3）關(guān)于 y 軸的對稱點(diǎn)為 A（ 2， 3）， 故可設(shè)反射光線所在直線的方程為： y+3=k（ x 2），化為 y 2k 3=0 反射光線與圓（ x+3） 2+（ y 2） 2=1 相切， 圓心（ 3， 2）到直線的距離 d= =1， 化為 240k+24=0， k= 或 故選： D 8從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 9 個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，其中一個(gè)作為底數(shù)，另一個(gè)作為真數(shù)，則可以 得到不同對數(shù)值的個(gè)數(shù)為（ ） A 64 B 56 C 53 D 51 【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 對數(shù)真數(shù)為 1 和不為 1，對數(shù)底數(shù)不為 1，分別求出對數(shù)值的個(gè)數(shù) 【解答】 解：由于 1 只能作為真數(shù)，從其余各數(shù)中任取一數(shù)為底數(shù)，對數(shù)值均為 0 從 1 除外的其余各數(shù)中任取兩數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共能組成 87=56 個(gè)對數(shù)式， 復(fù)了 4 次，要減去 4 共有 1+56 4=53 個(gè) 故選： C 9已知正三棱錐 S 六條棱長都為 ，則它的外接球的體積為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體 第 8 頁（共 23 頁） 【分析】 由正三棱錐 S 所有棱長均為 ，所以此三棱錐一定 可以放在棱長為的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入球的體積公式計(jì)算即可 【解答】 解： 正三棱錐 S 所有棱長都為 ， 此三棱錐一定可以放在正方體中， 我們可以在正方體中尋找此三棱錐 正方體的棱長為 = ， 此四面體的外 接球即為此正方體的外接球， 外接球的直徑為正方體的對角線長， 外接球的半徑為 R= =2， 球的體積為 V= ， 故選： A 10已知函數(shù) f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）為奇函數(shù)，該函數(shù) 的部分圖象如圖所示， 邊長為 2 的等邊三角形，則 f（ 1）的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 余弦函數(shù)的奇偶性；余弦函數(shù)的圖象 【分析】 由 f（ x） =x+）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得 f（ 0） = 結(jié)合已知 0 ，可求 = ，再由 邊長為 2 的等邊三角形，可得 =A，結(jié)合圖象可得，函數(shù)的周期 T=4，根據(jù)周期公式可得 ，從而可得 f（ x），代入可求 f（ 1） 【解答】 解： f（ x） =x+）為奇函數(shù) f（ 0） = 0 = f（ x） =x ） = 邊長為 2 的等邊三角形，則 =A 第 9 頁（共 23 頁） 又 函數(shù)的周期 T=2，根據(jù)周期公式可得， = f（ x） = x= 則 f（ 1） = 故選 D 11設(shè) 任意 等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和，前 2n 項(xiàng)和與前 3n 項(xiàng)和分別為 X， Y， Z，則下列等式中恒成立的是（ ） A X+Z=2Y B Y（ Y X） =Z（ Z X） C Z D Y（ Y X） =X（ Z X） 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列 【分析】 取一個(gè)具體的等比數(shù)列驗(yàn)證即可 【解答】 解：取等比數(shù)列 1， 2， 4，令 n=1 得 X=1， Y=3， Z=7 代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng) D 滿足 故選 D 12已知定義在 R 上的函數(shù)滿足條件 f（ x+ ） = f（ x），且函數(shù) y=f（ x ）為奇函數(shù)，則下面給出的命題，錯誤的是（ ） A函數(shù) y=f（ x）是周期函數(shù)，且周期 T=3 B函數(shù) y=f（ x）在 R 上有可能是單調(diào)函數(shù) C函數(shù) y=f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱 D函數(shù) y=f（ x）是 R 上的偶函數(shù) 【考點(diǎn)】 函數(shù)的周期性 【分析】 題目中條件： f（ x+ ） = f（ x）可得 f（ x+3） =f（ x）知其周期，利用奇函數(shù)圖象的對稱性，及函數(shù)圖象的平移變換，可得 函數(shù)的對稱中心，結(jié)合這些條件可探討函數(shù)的奇偶性，及單調(diào)性 【解答】 解：對于 A： f（ x+3） = f（ x+ ） =f（ x） 函數(shù) f（ x）是周期函數(shù)且其周期為3， A 對； 對于 B：由 D 得： 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱， f（ x）在 R 上不是單調(diào)函數(shù)， B 不對 對于 C： y=f（ x ）是奇函數(shù) 其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 又 函數(shù) f（ x）的圖象是由 y=f（ x ） 向左平移 個(gè)單位長度得到， 函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱，故 C 對； 對于 D：由 C 知，對于任意的 xR，都有 f（ x） = f（ +x），用 +x 換 x，可得：f（ x） +f（ x） =0， f（ x） = f（ x） =f（ x+ ）對于任意的 xR 都成立， 第 10 頁（共 23 頁） 令 t= +x，則 f（ t） =f（ t）， 函數(shù) f（ x）是偶函數(shù)， D 對 故選： B 二、填空題：（本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分） 13若 x， y 滿足約束條件 ，則 的最小值為 2 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域， 的幾何意義是（ x， y）與（ 3， 0）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合得到 的最小值 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 的幾何意義是（ x， y）與（ 3， 0）連線的斜率 聯(lián)立 ，解得 B（ 1， 1）， 聯(lián)立 ，解得 C（ 2， 2） 的最小值為 = 2 故答案為： 2 第 11 頁（共 23 頁） 14已知等比數(shù)列 滿足 ， ，函數(shù) y=f（ x）的導(dǎo)函數(shù)為 y=f（ x），且 f（ x）=x（ x x （ x 那么 f（ 0） = 21008 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【分析】 由題意，設(shè) g（ x） =（ x x （ x 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到 f（ x），得到所求為 g（ 0） 【解答】 解：由已知，設(shè) g（ x） =（ x x （ x 則 f（ x） =x）， f（ x） =g（ x） + x）， 所以 f（ 0） =g（ 0） =（ （ = 等比數(shù)列 滿足 ， ，得到 1008=21008； 故答案為： 21008 15二項(xiàng)式（ 4x 2 x） 6（ xR）展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 15 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式 = （ 4x） 6 r（ 1） r（ 2 x） r，令 2 的指數(shù)次冪為 0 即可求得答案 【解答】 解：設(shè)二項(xiàng)式（ 4x 2 x） 6（ xR）展開式的通項(xiàng)公式為 ， 則 = （ 4x） 6 r（ 1） r（ 2 x） r =（ 1） r 212x 3 x 不恒為 0，令 12x 3， 則 r=4 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（ 1） 4 = =15 故答案為： 15 16已知函數(shù) f（ x） = 1 的定義域是 a， b（ a， b 為整數(shù)），值域是 0， 1，請?jiān)诤竺娴南聞澗€上寫出所有滿足條件的整數(shù)數(shù)對（ a， b） （ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 根據(jù)函數(shù)的值域先求出滿足條件的條件 x，結(jié)合函數(shù)的定義域進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由 f（ x） = 1=0 得 =1，得 |x|+2=4，即 |x|=2，得 x=2 或 2， 由 f（ x） = 1=1 得 =2，得 |x|+2=2，即 |x|=0，得 x=0， 則定義域?yàn)榭赡転?2， 0， 2， 1， 2， 2， 1， 2， 0， 2， 則滿足條件的整數(shù)數(shù)對（ a， b）為（ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2）， 故答案為：（ 2， 0），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 1， 2），（ 0， 2）， 第 12 頁（共 23 頁） 三、解答題：（本大題 8個(gè)小題，共 70分，解答須寫出文字說明、證明過程、演算步驟） 17如圖，在四邊形 ， A= ， = 1， （ 1）求證： （ 2）求四邊形 面積； （ 3）求 值 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；正弦定理；解三角形 【分析】 （ 1）根據(jù)題意可分別求得 用 = 1，利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)求得 值，進(jìn)而求得 而利用余弦定理求得 長 求得 斷 （ 2）在直角三角形中求得 值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系氣的 后利用三角形面積公式求得三角形 面積，二者相加即可求得答案 （ 3）在 利用余弦定理求得 長，最后利用正弦定理求得 值 【解答】 解：（ 1） A= ， = 1， =| | |2， ， 由余弦定理 2+4 22 =3 ， 第 13 頁（共 23 頁） （ 2）由（ 1） ， + = 0， ）， S 11 = S 四邊形 + （ 3） 在 ， 2+1 211 = ， = ， = 18如圖，已知直四棱柱 ， 0， 0 （ 1）求直線 平面 成的角正弦值； （ 2）若異面直線 C 所成的角的余弦值為 ，求二面角 B A 的正切值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面所成的角 【分析】 （ 1）根據(jù)直線和平面所成角的定義先作出線面角，根據(jù)三角形的邊 角關(guān)系即可求直線 平面 成的角正弦值； 第 14 頁（共 23 頁） （ 2）根據(jù)異面直線 C 所成的角的余弦值為 ，先求出直四棱柱高的值，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角 B 【解答】 解：（ 1） ， 0， 0 D=2， B=2 ， ， 即三角形 正三角形， 則 取 中點(diǎn) P，則 平面 則 直線 平面 成的角， 則 0， 則 ， 即直線 平面 成的角正弦值是 ； （ 2） 直線 1成的角即是直線 成的角， 連接 設(shè) m， 則 = ， = ， C=2 ， 則 = = ， 異面直線 C 所成的角的余弦值為 ， = ， 即 =4，則 12+6， 則 ， m=2， 取 中點(diǎn) F，連接 ， 即 二面角 B A 的平面角， 則 = 第 15 頁（共 23 頁） 19一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取 5 件作檢驗(yàn)，這 5 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為 n如果 n=3，再從這批產(chǎn)品中任取 2 件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果 n=4，再從這批產(chǎn)品中任取 1 件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果 n=5，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況 下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 ，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 （ 1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； （ 2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為 200 元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為 x（單位：元），求 x 的分布列 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量及其分布列；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）由題意知：第一次取 5 件產(chǎn)品中，恰好有 k 件優(yōu)質(zhì)品的概率為 P（ k） = ，由此能求出這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率 （ 2）由題意得 X 的可能取值為 1000， 1200， 1400，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出 【解答】 解：（ 1）由題意知：第一次取 5 件產(chǎn)品中，恰好有 k 件優(yōu)質(zhì)品的概率為： P（ k） = ， k=0， 1， 2， 3， 4， 5， 這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率： p= = +5 +（ ） 5= （ 2）由題意得 X 的可能取值為 1000， 1200， 1400， P（ X=1000） =（ ） 5= ， P（ X=1200） = = ， P（ X=1400） = + + = ， 第 16 頁（共 23 頁） X 的分布列為： X 1000 1200 1400 P 20如圖，曲線 由曲線 和曲線 成，其中點(diǎn) 曲線 曲線 在圓錐曲線的焦點(diǎn)， （ 1）若 2， 0）， 6， 0），求曲線 的方程； （ 2）如圖，作直線 l 平行于曲線 曲線 、 B，求證：弦 中點(diǎn)M 必在曲線 （ 3）對于（ 1）中的曲線 ，若直線 4 交曲線 點(diǎn) C、 D，求 大值 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題 【分析】 （ 1）由 2， 0）， 6， 0），可得 ，解出即可； （ 2）曲線 漸近線為 ，如圖，設(shè)點(diǎn) A（ B（ M（ 設(shè)直線 l： y= ，與橢圓方程聯(lián)立化為 22 =0， 利用 0，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明 ，即可 （ 3）由（ 1）知，曲線 ，點(diǎn) 6， 0）設(shè)直線 x=（ n 0）與橢圓方程聯(lián)立可得（ 5+484=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 （ 1）解： 2， 0）， 6， 0）， ， 第 17 頁（共 23 頁） 解得 ， 則曲線 的方程為 和 （ 2）證明：曲線 如圖，設(shè)直線 l： y= ， 則 ，化為 22 =0， =48（ 0， 解得 又由數(shù)形結(jié)合知 設(shè)點(diǎn) A（ B（ M（ 則 x1+x2=m， ， = ， ，即點(diǎn) M 在直線 y= 上 （ 3）由（ 1）知，曲線 ，點(diǎn) 6， 0） 設(shè)直線 x=（ n 0） ，化為（ 5+484=0， =（ 48n） 2 464（ 5+4 0，化為 1 設(shè) C（ D（ ， | = ， = = = ， 第 18 頁（共 23 頁） 令 t= 0， n2=， = = = ，當(dāng)且僅當(dāng) t= ，即 n= 時(shí)等號成立 n= 時(shí)， = 21設(shè)函數(shù) f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， （ ）討論函數(shù) f（ x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （ ）若 x 0， f（ x） 0 成立，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題 【分析】 （ I）函數(shù) f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， x（ 1， +）= 令 g（ x） =2a+1對 a 與 分類討論可得：（ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，此時(shí) f（ x） 0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況 （ 2）當(dāng) a 0 時(shí)， =a（ 9a 8） 當(dāng) 時(shí)， 0， 當(dāng) a 時(shí)， 0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況 （ 3）當(dāng) a 0 時(shí)， 0即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況 （ （ I）可知：（ 1）當(dāng) 0a 時(shí)，可得函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)性，即可判斷出 （ 2）當(dāng) a1 時(shí)，由 g（ 0） 0，可得 ，函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)性，即可判斷出 （ 3）當(dāng) 1 a 時(shí)，由 g（ 0） 0，可得 0，利用 x（ 0， 函數(shù) f（ x）單調(diào)性，即可判斷出； （ 4）當(dāng) a 0 時(shí)，設(shè) h（ x） =x x+1）， x（ 0， +），研究其單調(diào)性，即可判斷出 【解答】 解：（ I）函數(shù) f（ x） =x+1） +a（ x），其中 aR， x（ 1， +） = 令 g（ x） =2a+1 （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)， g（ x） =1，此時(shí) f（ x） 0，函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn) （ 2）當(dāng) a 0 時(shí)， =8a（ 1 a） =a（ 9a 8） 當(dāng) 時(shí)， 0， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）在（ 1， +）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn) 當(dāng) a 時(shí)， 0，設(shè)方程 2a+1=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 第 19 頁（共 23 頁） x1+， ， 由 g（ 1） 0，可得 1 當(dāng) x（ 1， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增； 當(dāng) x（ ， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減； 當(dāng) x（ +）時(shí)， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增 因此函數(shù) f（ x）有兩個(gè)極值點(diǎn) （ 3）當(dāng) a 0 時(shí)， 0由 g（ 1） =1 0，可得 1 當(dāng) x（ 1， ， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞增； 當(dāng) x（ +）時(shí)， g（ x） 0， f（ x） 0，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減 因此函數(shù) f（ x）有一個(gè)極值點(diǎn) 綜上所述：當(dāng) a 0 時(shí)，函數(shù) f（ x）有一個(gè)極值點(diǎn)； 當(dāng) 0a 時(shí)，函數(shù) f（ x）無極值點(diǎn)； 當(dāng) a 時(shí)，函數(shù) f（ x）有兩個(gè)極值點(diǎn) （ （ I）可知： （ 1）當(dāng) 0a 時(shí)，函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增 f（ 0） =0， x（ 0， +）時(shí)， f（ x） 0，符合題意 （ 2）當(dāng) a1 時(shí)，由 g（ 0） 0，可得 ，函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增 又 f（ 0） =0， x（ 0， +）時(shí)， f（ x） 0，符合題意 （ 3）當(dāng) 1 a 時(shí)，由 g（ 0） 0，可得 0， x（ 0， ，函數(shù) f（ x）單調(diào)遞減 又 f（ 0） =0， x（ 0， ， f（ x） 0，不符合題意，舍去； （ 4）當(dāng) a 0 時(shí)，設(shè) h（ x） =x x+1）， x（ 0， +）， h（ x） = 0 h（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增 因此 x（ 0， +）時(shí)， h（ x） h（ 0） =0，即 x+1） x， 可得： f（ x） x+a（ x） = 1 a） x， 當(dāng) x 時(shí)， 1 a） x 0