第 1 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 2016 年遼寧省鞍山市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1設(shè) U=R，集合 M= 1， 1， 2， N=x| 1 x 2，則 NM=（ ） A 1， 2 B 1 C 2 D 1， 1， 2 2復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的虛部為（ ） A i B i C 1 D 1 3拋物線 y=2焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C（ 0， ） D（ ， 0） 4給出下列四個(gè)命題： 若命題 “若 p 則 q”為真命題，則命題 “若 q 則 p”也是真命題 直線 a 平面 的充要條件是：直線 a平面 “a=1”是 “直線 x 與直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件； 若命題 p： “ x R， x 1 0“，則命題 p 的否定為： “ x R， x 1 0” 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 5已知 數(shù)是一個(gè)求余數(shù)的函數(shù)，其格式為 n， m），其結(jié)果為 n 除以 m 的余數(shù)，例如 8， 3） =2如圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入 n=25 時(shí)，則輸出的結(jié)果為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 6設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 ，公差 d=2， 6，則 n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 7某餐廳的原料費(fèi)支出 x 與銷售額 y（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出 y 與 x 的線性回歸方程為 =表中的 m 的值為（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 第 2 頁(yè)（共 20 頁(yè)） A 50 B 55 C 60 D 65 8已知某錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖，其體積為 ，則該錐體的俯視圖可以是（ ） A B C D 9在三棱錐 S ，側(cè)棱 平面 ， ， ，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ） A 14 B 12 C 10 D 8 10雙曲線 =1（ a 0， b 0）與拋物線 p 0）相交于 A， B 兩點(diǎn)，公共弦 過(guò)它們公共焦點(diǎn) F，則雙曲線的一條漸近線的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， ） 11已知點(diǎn) G 是 外心， 是三個(gè)單位向量，且 2 + + = ，如圖所示， 頂 點(diǎn) B， C 分別在 x 軸的非負(fù)半軸和 y 軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 | |的最大值為（ ） A B C 2 D 3 12已知函數(shù) y=f（ x）在 R 上的導(dǎo)函數(shù) f（ x）， x R 都有 f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13在區(qū)間 5， 5內(nèi)隨機(jī)四取出一個(gè)實(shí)數(shù) a，則 a （ 0， 1）的概率為 14已知 x， y 滿足 ，則 z=2x+y 的最大值為 15數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an=對(duì)一切的 n N*不等式 實(shí)數(shù) k 的取值范圍 第 3 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 16已知函數(shù) y=f（ x）的定義域?yàn)?R，當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 1，且對(duì)任意的 x， y R 都有 f（ x+y） =f（ x） f（ y），則不等式 f（ x） 的解集為 三、解答題：本大題共 5 小題，共 60 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 對(duì)邊分別為 a， b， c，若 2 （ ）求角 C 的大?。?（ ）若 a+b=6，且 面積為 2 ，求邊 c 的長(zhǎng) 18某中學(xué)共有 1000 名學(xué)生參加考試，成績(jī)?nèi)绫恚?成績(jī)分組 0， 30） 30， 60） 60， 90） 90， 120） 120， 150） 人 數(shù) 60 90 300 x 160 （ 1）為了了解同學(xué)們的具體情況，學(xué)校將采取分層抽樣的方法，抽取 100 名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，甲同學(xué)在本次測(cè)試中成績(jī)?yōu)?95 分，求他被抽中的概率 （ 2）本次數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀成績(jī)?yōu)?110 分，試估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù) （ 3）作出頻率分布直方圖，并據(jù)此估計(jì)該校本次考試的平均分（用同一組中得到數(shù)據(jù)用該組區(qū) 間的中點(diǎn)值作代表） 19如圖，在四棱錐 P ， 平面 直角， D=， E、 F 分別為 中點(diǎn) （ ）試證： 平面 （ ）若 ，求 長(zhǎng) 20已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），且過(guò)點(diǎn)（ ， ）過(guò) l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) A， B，設(shè) = ， 2， 1， T（ 2， 0） （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）求 | + |的取值范圍 21已知 函數(shù) f（ x） =ax+a 0） 第 4 頁(yè)（共 20 頁(yè)） （ 1）若當(dāng) x 1， e時(shí)，函數(shù) f（ x）的最大值為 3，求 a 的值； （ 2）設(shè) g（ x） =f（ x） +f（ x）（ f（ x）為函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，直線 過(guò) O 上的點(diǎn) C，并且 B， B， O 交直線 E、 D，連接 （ 1）求證：直線 O 的切線； （ 2）若 ， O 的半徑為 3，求 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23直角坐標(biāo)系 ，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的方程為 =4線 l 的方程為 （ t 為參數(shù)），直線 l 與曲線 C 的公共點(diǎn)為 T （ 1）求點(diǎn) T 的極坐標(biāo)； （ 2）過(guò)點(diǎn) T 作直線 曲線 C 截得的線段長(zhǎng)為 2，求直線 極坐標(biāo)方程 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|2x a|+2a （ ）若不等式 f（ x） 6 的解集為 x| 6 x 4，求實(shí)數(shù) a 的值； （ ）在（ I）的條件下，若不等式 f（ x） （ 1） x 5 的解集非空，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 第 5 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 2016 年遼寧省鞍山市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1設(shè) U=R，集合 M= 1， 1， 2， N=x| 1 x 2，則 NM=（ ） A 1， 2 B 1 C 2 D 1， 1， 2 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 由 M 與 N，求出兩集合的交集即可 【解答】 解： M= 1， 1， 2， N=x| 1 x 2， MN=1， 故選： B 2復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 的虛部為（ ） A i B i C 1 D 1 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得虛部 【解答】 解：復(fù)數(shù) z= = =1 i， 則復(fù)數(shù) z 的虛部是 1， 故選： D 3拋物線 y=2焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A（ ， 0） B（ 0， ） C（ 0， ） D（ ， 0） 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 把拋物線 y=2為標(biāo) 準(zhǔn)方程，求出 p 值，確定開(kāi)口方向，從而得到焦點(diǎn)的坐標(biāo) 【解答】 解：拋物線 y=2標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， p= ，拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在 y 軸的正半軸上， 故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， ）， 故選 B 4給出下列四個(gè)命題： 若命題 “若 p 則 q”為真命題，則命題 “若 q 則 p”也是真命題 直線 a 平面 的充要條件是：直線 a平面 “a=1”是 “直線 x 與直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件； 若命題 p： “ x R， x 1 0“，則命題 p 的否定為： “ x R， x 1 0” 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） 第 6 頁(yè)（共 20 頁(yè)） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 根據(jù)逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷， 根據(jù)線面平行的定義和充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷， 根據(jù)直線垂直的等價(jià)條件進(jìn)行判斷， 根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷 【解答】 解： 若命題 “若 p 則 q”為真命題，則命題的逆否命題 “若 q 則 p”也是真命題，故 正確， 若直線 a 平面 ，則直線 a平面 ，充分性成立，若 a=A，滿足 a平面 ，但直線 a 平面 不成立，即必要性不成立， 故直線 a 平面 的充要條件是：直線 a平面 錯(cuò)誤，故 錯(cuò)誤， 直線 x 與直線 x+ 互相垂直，則 1 ，即 a= 1，則 “a=1”是 “直線 x 與直線 x+ 互相垂直 ”的充分不必要條件，故 錯(cuò)誤， 若命題 p： “ x R， x 1 0“，則命題 p 的否定為： “ x R， x 1 0”，故正確， 故選： C 5已知 數(shù)是一個(gè)求余數(shù)的函數(shù)，其格式 為 n， m），其結(jié)果為 n 除以 m 的余數(shù)，例如 8， 3） =2如圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入 n=25 時(shí)，則輸出的結(jié)果為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)題意，依次計(jì)算 n， i）的值，當(dāng) i=5， 25，5） =0，滿足條件 25， 2） =0，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 5 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得： n=25， i=2， 25， 2） =1， 不滿足條件 25， 2） =0， i=3， 25， 3） =1， 不滿足條件 25， 3） =0， i=4， 25， 4） =1， 不滿足條件 25， 4） =0， i=5， 25， 5） =0， 滿足條件 25， 2） =0，退出循環(huán)，輸出 i 的值為 5 故選： B 第 7 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 6設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 ，公差 d=2， 6，則 n=（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 由 6，得 +=36，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解 n 【 解答】 解：由 6，得： +=36， 即 a1+nd+ n+1） d=36， 又 ， d=2， 2+2n+2（ n+1） =36 解得： n=8 故選： D 7某餐廳的原料費(fèi)支出 x 與銷售額 y（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出 y 與 x 的線性回歸方程為 =表中的 m 的值為（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 計(jì)算樣本中心點(diǎn)，根據(jù)線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，列出方程，求解即可得到結(jié)論 【解答】 解：由題意， = =5， = =38+ ， y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 = 根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本的中心， 38+ =5+ m=60 故選： C 8已知某錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖，其體積為 ，則該錐體的俯視圖可以是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 【分析】 由已知中錐體的正視圖和側(cè)視圖，可得錐體的高為 ，結(jié)合錐體的體積為 ，可得其底面積為 2，進(jìn)而可得答案 第 8 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 【解答】 解： 錐體的正視圖和側(cè)視圖均為邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形， 故錐體的高為 ， 又 錐體 的體積為 ， 故錐體的底面面積為 2， A 中圖形的面積為 4，不滿足要求； B 中圖形的面積為 ，不滿足要求； C 中圖形的面積為 2，滿足要求； D 中圖形的面積為 ，不滿足要求； 故選： C 9在三棱錐 S ，側(cè)棱 平面 ， ， ，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ） A 14 B 12 C 10 D 8 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 證明 兩垂直，將三棱錐 S 充為長(zhǎng)方體，對(duì)角線為三棱錐的外接球的直徑，求出對(duì)角線長(zhǎng)，可得三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積 【解答】 解：由題意，側(cè)棱 平面 面 C=S， 平面 兩垂直， 將三棱錐 S 充為長(zhǎng)方體，則對(duì)角線長(zhǎng)為 = ， 三棱錐的外接球的半徑為 ， 三棱錐的外接球的表面積為 =14， 故選： A 10雙曲線 =1（ a 0， b 0）與拋物線 p 0）相交于 A， B 兩點(diǎn)，公共弦 過(guò)它們公共焦點(diǎn) F，則雙曲線的一條漸近線的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ 0， ） 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求出拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程求出 A 的坐標(biāo)；將 A 代入拋物線方程求出雙曲線 的三參數(shù) a， b， c 的關(guān)系，求出雙曲線的漸近線的斜率，求出傾斜角的范圍 【解答】 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 0）；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ c， 0） p=2c 第 9 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 點(diǎn) A 是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且 x 軸， 將 x=c 代入雙曲線方程得到 A（ c， ） 將 A 的坐標(biāo)代入拋物線方程得到 =2 解得 = 雙曲線的漸近線的方程為 y= x 設(shè)傾斜角為 ，則 = 故選： A 11 已知點(diǎn) G 是 外心， 是三個(gè)單位向量，且 2 + + = ，如圖所示， 頂點(diǎn) B， C 分別在 x 軸的非負(fù)半軸和 y 軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，則 | |的最大值為（ ） A B C 2 D 3 【考點(diǎn)】 向量的加法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)題意，得出 G 是 中點(diǎn)， 直角三角形，斜邊 ； 點(diǎn) G 的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、 1 為半徑的圓??； 過(guò) 中點(diǎn) G 時(shí)， | |取得最大值為 2| | 【解答】 解： 點(diǎn) G 是 外心，且 2 + + = ， 2 = + ， 即 = （ + ）； 點(diǎn) G 是 中點(diǎn)， 直角三角形，且 直角； 又 是三個(gè)單位向量， ； 又 頂點(diǎn) B、 C 分別在 x 軸和 y 軸的非負(fù)半軸上移動(dòng)， 第 10 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 可設(shè)點(diǎn) G 的坐標(biāo)為（ x， y）， B（ 0）， C（ 0， 則 ； 又 ，即 + =4（ 0， 0）， x2+（ x 0， y 0）， 則點(diǎn) G 的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、 1 為半徑的圓??； 又 | |=1， 過(guò) 中點(diǎn) G 時(shí)， | |取得最大值，且最大值為 2| |=2 故選： C 12已知函數(shù) y=f（ x）在 R 上的導(dǎo)函數(shù) f（ x）， x R 都有 f（ x） x，若 f（ 4 m） f（ m） 8 4m，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為（ ） A 2， 2 B 2， +） C 0， +） D（ ， 2 2， +） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 根據(jù)構(gòu)造輔助函數(shù) g（ x） =f（ x） 用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù) g（ x）在 R 上是減函數(shù)， f（ 4 m） f（ m） 8 4m，即 g（ 4 m） g（ m），可得 4 m m，由此解得 a 的范 圍 【解答】 解：令 g（ x） =f（ x） x R g（ x） =f（ x） x 0， 故函數(shù) g（ x）在（ ， +）上是減函數(shù)， f（ 4 m） f（ m） =g（ 4 m） + （ 4 m） 2 g（ m） =g（ 4 m） g（ m） +8 4m 8 4m， g（ 4 m） g（ m）， 4 m m，解得： m 2， 故選： B 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13在區(qū)間 5， 5內(nèi)隨機(jī)四取出一個(gè)實(shí)數(shù) a，則 a （ 0， 1）的概率為 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解：在區(qū)間 5， 5內(nèi)隨機(jī)四取出一個(gè)實(shí)數(shù) a，則 a （ 0， 1）的概率 P= ， 故答案為： 第 11 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 14已知 x， y 滿足 ，則 z=2x+y 的最大值為 3 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值， z=2x+y 表示直線在 y 軸上的截距，只需求出可行域直線在 y 軸上的截距最大值即可 【解答】 解： ，在坐標(biāo)系中畫(huà)出圖象， 三條線的交點(diǎn)分別是 A（ 1， 1）， B（ ， ）， C（ 2， 1）， 在 滿足 z=2x+y 的最大值是點(diǎn) C，代入得最大值等于 3 故答案為： 3 15數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an=對(duì)一切的 n N*不等式 實(shí)數(shù) k 的取值范圍 5， 7 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 結(jié)合二次函數(shù) f（ x） =性質(zhì)可得 ，從而求得 【解答】 解： 數(shù)列 通項(xiàng)公式為 an= 結(jié)合二次函數(shù) f（ x） =性質(zhì)， 又 f（ x） =圖象的對(duì)稱軸為 x= ， 故對(duì)一切的 n N*不等式 化為 ， 即 5 k 7， 故答案為： 5， 7 第 12 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 16已知函數(shù) y=f（ x）的定義域?yàn)?R，當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） 1，且對(duì)任意的 x， y R 都有 f（ x+y） =f（ x） f（ y），則不等式 f（ x） 的解集為 4， +） 【考點(diǎn)】 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 【分析】 可令 x=1， y=0，代入 f（ x+y） =f（ x） f（ y）計(jì)算可得 f（ 0） =1，由 x 0 時(shí)， f（ x） 1，可得 x 0 時(shí)， 0 f（ x） 1，再由單調(diào)性的定義，判斷 f（ x）在 R 上遞增， 原不等式即為 f（ x） f（ x+1） 1，運(yùn)用條件可得 2x+1 0，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式可得解集 【解答】 解：令 x=1， y=0，代入 f（ x+y） =f（ x） f（ y）中得： f（ 1） =f（ 1） f（ 0）， 由 1 0，可得 f（ 1） 1， 可得 f（ 0） =1， 當(dāng) x 0 時(shí)， x 0，得 f（ x） 1， 令 y= x，則 x+y=0，代入 f（ x+y） =f（ x） f（ y）中得， f（ x） f（ x） =f（ 0） =1， 即有 0 f（ x） = 1 設(shè) 0 且 f（ 1， f（ 0， 則 f（ f（ =f（ x1+ f（ =f（ f（ f（ =f（ f（ 1， 由 0，可得 f（ 1， 即 f（ 1 0， 則有 f（ f（ 0，即 f（ f（ 可得 f（ x）在 R 上單調(diào)遞增 f（ x） 即為 f（ x） f（ x+1） 1， 由 f（ 0） =1， f（ x） f（ y） =f（ x+y），可得， f（ 2x+1） f（ 0），即為 2x+1 0， 即有 x ，解得 x 4 故答案為： 4， +） 三、解答題：本大題共 5 小題，共 60 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17在 ，角 A， B， C 對(duì)邊分別為 a， b， c，若 2 （ ）求角 C 的大??； （ ）若 a+b=6，且 面積為 2 ，求邊 c 的長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理 第 13 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 【分析】 （ ）由已知及正弦定理可得： 2簡(jiǎn)可得 ，結(jié)合 C 的范圍求 C 的值； （ ）由 a+b=6 得 a2+6，根據(jù)三角形的面積公式可求出 值，進(jìn)而求出 a2+用余弦定理求出 c 的值 【解答】 解：（ ）由題意知， 2 正弦定理可得 2 A+B） = 2 由 A， B， C 是三角形內(nèi)角可知， A+B） =0， ， 由 0 C 得， C= ； （ ） a+b=6， a2+6， 面積為 2 ， ，即 ， 化簡(jiǎn)得， ，則 a2+0， 由余弦定理得， c2=a2+20 2 =28， 所以 c= 18某中學(xué)共有 1000 名學(xué)生參加考試，成績(jī)?nèi)绫恚?成績(jī)分組 0， 30） 30， 60） 60， 90） 90， 120） 120， 150） 人 數(shù) 60 90 300 x 160 （ 1）為了了解同學(xué)們的具體情況，學(xué)校將采取分層抽樣的方法，抽取 100 名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，甲 同學(xué)在本次測(cè)試中成績(jī)?yōu)?95 分，求他被抽中的概率 （ 2）本次數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀成績(jī)?yōu)?110 分，試估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù) （ 3）作出頻率分布直方圖，并據(jù)此估計(jì)該校本次考試的平均分（用同一組中得到數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表） 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）根據(jù)分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為 ，即可計(jì)算出甲同學(xué)被抽到的概率； （ 2）根據(jù)總?cè)藬?shù)即可計(jì)算出 x 值，從而估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的 人數(shù)； 第 14 頁(yè)（共 20 頁(yè)） （ 3）以頻率 /組距為縱坐標(biāo)，組距為橫坐標(biāo)作圖出頻率分布直方圖最后利用平均數(shù)的計(jì)算公式得出該學(xué)校本次考試數(shù)學(xué)平均分，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分 【解答】 解：（ 1）分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率均為 ， 故甲同學(xué)被抽到的概率 p= （ 2）由題意 x=1000（ 60+90+300+160） =390， 故估計(jì)該中學(xué)達(dá)到優(yōu)秀線的人數(shù) m=160+390 =290（人） （ 3）頻率分布直方圖 該學(xué)校本次考試數(shù)學(xué)平均分 = （ 60 15+90 45+300 75+390 105+160 135=90 估計(jì)該學(xué)校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為 90 分 19如圖，在四棱錐 P ， 平面 直角， D=， E、 F 分別為 中點(diǎn) （ ）試證： 平面 （ ）若 ，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）欲證 平面 據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證 平面 兩相交直線垂直，而 據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知 足定理所需條件； （ ）利用體積公式，結(jié)合 ，求 長(zhǎng) 【解答】 （ ）證明：由已知 直角， 故 矩形，從而 又 底面 所以平面 平面 因?yàn)?平面 第 15 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 所以 在 ， E、 F 分別是 中點(diǎn)， 以 由此得 平面 （ ）因?yàn)?， 所以 =1， 所以 20已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），且過(guò)點(diǎn)（ ， ）過(guò) l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) A， B，設(shè) = ， 2， 1， T（ 2， 0） （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）求 | + |的取值 范圍 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ I）橢圓 C 的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），且過(guò)點(diǎn)（ ， ）可得 c=1， =1，又 a2=b2+立解得即可得出橢圓的方程 （ 題意可知：直線 l 的斜率不為 0，設(shè)直線 l 的方程為： x=，代入橢圓方程可得：（ ） 1=0，設(shè)點(diǎn) A（ B（ 由 = ， 2， 1，可得+ +2= ，可得： ， =（ k（ y1+ 2， y1+利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出 【解答】 解：（ I）橢圓 C 的右焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），且過(guò)點(diǎn)（ ， ） c=1， =1，又 a2=b2+ 聯(lián)立解得 ， b=c=1 橢圓的方程為： + （ 題意可知：直線 l 的斜率不為 0，設(shè)直線 l 的方程為： x=，代入橢圓方程可得：（ ） 1=0， 設(shè)點(diǎn) A（ B（ 則： y1+， = ， 2， 1， + +2= ，可得： ， =（ k（ y1+ 2， y1+ = + =16 + ， | + | 第 16 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 21已知函數(shù) f（ x） =ax+a 0） （ 1）若當(dāng) x 1， e時(shí)，函數(shù) f（ x）的最大值為 3，求 a 的值； （ 2）設(shè) g（ x） =f（ x） +f（ x）（ f（ x）為函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)），若函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用當(dāng) x 1， e時(shí)，函數(shù) f（ x）的最大值為 3， 建立條件關(guān)系即可求 a 的值； （ 2）求出函數(shù) g（ x）的表達(dá)式，利用函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)函數(shù)，得到 g（ x） 0 恒成立，即可得到結(jié)論 【解答】 解：（ 1）由 可得函數(shù) f（ x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減， 當(dāng) 時(shí)， f（ x）取最大值， 當(dāng) ，即 a 1 時(shí)，函數(shù) f（ x）在 1， e上單調(diào)遞減， f（ x） f（ 1） = 3，解得 a= 3； 當(dāng) ，即 時(shí)， ， 解得 a= 1，與 矛盾，不合舍去； 當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù) f（ x）在 1， e上單調(diào)遞增， f（ x） f（ e） = 3，解得 ，與 矛盾，不合舍去； 綜上得 a= 3 （ 2）解法一： ， ， 顯然，對(duì)于 x （ 0， +）， g（ x） 0 不可能恒成立， 函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上不是單調(diào)遞增函數(shù)， 若函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)遞減函數(shù)，則 g（ x） 0 對(duì)于 x （ 0， +）恒成立， ，解得 ， 綜上得若函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)函數(shù)，則 解法二： ， 第 17 頁(yè)（共 20 頁(yè)） 令 x 1=0 （ *） 方程（ *）的根判別式 =1+4a， 當(dāng) 0，即 時(shí)，在（ 0， +）上恒有 g（ x） 0， 即當(dāng) 時(shí)，函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)遞減； 當(dāng) 0，即 時(shí)，方程（ *）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：， ， 當(dāng) x g（ x） 0，當(dāng) x 0 x ， g（ x） 0， 即函數(shù) g（ x）在（ 調(diào)遞增，在（ 0， （ +）上單調(diào)遞減， 函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上不單調(diào)， 綜上得若函數(shù) g（ x）在（ 0， +）上是單調(diào)函數(shù)，則 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，直線 過(guò) O 上的點(diǎn) C，并且 B， B， O 交直線 E、 D，連接 （ 1）求證：直線 O 的切線； （ 2）若 ， O 的半徑為 3，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 圓的切線的性質(zhì)定理的證明；直線與圓的位置關(guān)系；矩陣與矩陣的乘法的意義；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；直線的參數(shù)方程 【分析】 （ 1）要想證 O 的切線，只要連接 證 0即可； （ 2）先由三角形判定定理可知， 比例關(guān)系，最后由切割線定理列出方 程求出 長(zhǎng) 【解答】 解：（ 1）如圖，連接 B， B， O 的切線； （ 2） 圓 O 切線，且 圓 O 割線， D ， 第 18 頁(yè)（共 20 頁(yè)） ， 設(shè) BD=x， x又 D （ 2x） 2=x（ x+6）