2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪備考不等式、推理與證明復(fù)習(xí)教案 2012版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第六章 不等式、推理與證明【知識(shí)特點(diǎn)】（1）不等式應(yīng)用十分廣泛，是高中數(shù)學(xué)的主要工具，試題類型多、方法多、概念要求較高，特別是不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論，基本不等式的條件等。（2）不等式的性質(zhì)本身就是解題的手段和方法，要認(rèn)真理解和體會(huì)不等式性質(zhì)的條件與結(jié)論，并運(yùn)用它去解題。（3）一元二次不等式的解法及求解程序框圖一定要在理解的基礎(chǔ)上掌握，因?yàn)榍蠼獾某绦蚩驁D就是求解的一般方法與步驟。（4）二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃是解決最優(yōu)化問題的一個(gè)重要手段，但畫圖時(shí)一定要細(xì)心，然后求出目標(biāo)函數(shù)的最值。（5）基本不等式的條件是解題的關(guān)鍵，一定要認(rèn)真體會(huì)，會(huì)運(yùn)用基本不等式來證明或求解問題。（6）推理與證明貫穿于每一個(gè)章節(jié)，是對以前所學(xué)知識(shí)的總結(jié)與歸納，概念較多，知識(shí)比較系統(tǒng)，邏輯性較強(qiáng)，在高中數(shù)學(xué)中有著特殊地位?！局攸c(diǎn)關(guān)注】不等式、推理與證明的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，重在理解，加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)會(huì)建模，培養(yǎng)能力，提高素質(zhì)，因此在學(xué)習(xí)中應(yīng)重點(diǎn)注意以下幾點(diǎn)：（1）學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)時(shí)，要弄清條件與結(jié)論，要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準(zhǔn)則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則為依據(jù)解決問題。（2）解某些不等式時(shí)，要與函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性聯(lián)系起來，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想，解含參數(shù)不等式時(shí)要注重分類討論的思想。（3）利用基本不等式求最值時(shí)，要滿足三個(gè)條件：一正，二定，三相等。（4）要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)和方程的對比與聯(lián)系，充分利用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想處理不等式問題。（5）利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果，因此力求畫圖標(biāo)準(zhǔn)。（6）深刻理解合情推理的含義，歸納解決這類問題的規(guī)律和方法，掌握分析法、綜合法、反證法的證明過程和解題特點(diǎn)。（7）合情推理中主要包括類比推理與歸納推理兩種推理模式，類比、歸納的數(shù)學(xué)思想是在進(jìn)行問題探討、研究時(shí)常見的思想方法。（8）數(shù)學(xué)歸納法是證明數(shù)列、等式、不等式的有效方法，證明問題時(shí)要注意充分利用歸納假設(shè)，同時(shí)注意項(xiàng)數(shù)的變化，在證明不等問題時(shí)，注意放縮、作差等方法的應(yīng)用?！镜匚缓妥饔谩坎坏仁酵ǔ?huì)和函數(shù)，方程結(jié)合起來考查學(xué)生的綜合能力，一般有一道小的選擇或計(jì)算及填空出現(xiàn)在高考試題中，學(xué)好不等式的證明及計(jì)算是很重要的。涉及不等式的大題有時(shí)也會(huì)和求函數(shù)的最值結(jié)合大概可以占到20-30分。 推理與證明主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法（理科）等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會(huì)在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會(huì)涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較?。豢偟谜f來，這一章在高考命題上將會(huì)呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1、考查題型以選擇題、填空為主，偶以解答題形式出現(xiàn)，但多數(shù)是解答題中的一部分，如與數(shù)列、函數(shù)、解析幾何等結(jié)合考查，分值約占10%左右，既有中低檔題也會(huì)有高檔題出現(xiàn)；2、重點(diǎn)考查不等式解法、不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃以及不等式與其他知識(shí)的結(jié)合，另在推理與證明中將會(huì)重點(diǎn)考查。合情推理與演繹推理及證明方法，偶爾對數(shù)學(xué)歸納法的考查，注重知識(shí)交匯處的命題；3、預(yù)計(jì)本章在今后的高考中仍將在不等式的解法、基本不等式應(yīng)用、線性規(guī)劃以及推理與證明與其他知識(shí)的交匯處命題，更加注重應(yīng)用與能力的考查。6.1不等式【高考目標(biāo)導(dǎo)航】一、不等關(guān)系與不等式1、考綱點(diǎn)擊（1）了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系；（2）了解不等式（組）的實(shí)際背景；（3）掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用。2、熱點(diǎn)提示（1）不等式的性質(zhì)為考查重點(diǎn)，對于不等關(guān)系，常與函數(shù)、數(shù)列、簡易邏輯及實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行綜合；（2）用待定系數(shù)法求參數(shù)的范圍問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；（3）題型以選擇題和填空題為主，主要在與其他知識(shí)點(diǎn)交匯處命題。二、一元二次不等式及其解法1、考綱點(diǎn)擊（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；（2）通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；（3）會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖。2、熱點(diǎn)提示（1）以考查一元二次不等式的解法為主，兼顧二次方程的判別式、根的存在性等知識(shí)；（2）以集合為載體，考查不等式的解法及集合的運(yùn)算；（3）以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何為載體，以二次不等式的解法為手段，考查求參數(shù)的范圍問題；（4）以選擇、填空題為主，偶爾穿插于解答題中考查。三、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題1、考綱點(diǎn)擊（1）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；（2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；（3）會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。2、熱點(diǎn)提示（1）重點(diǎn)考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，兼顧考查代數(shù)式的幾何意義（如斜率、距離、面積等）；（2）多在選擇、填空題中出現(xiàn)，有時(shí)會(huì)在解答題中出現(xiàn)，常與實(shí)際問題相聯(lián)系，列出線性約束條件，求出最優(yōu)解。四、基本不等式1、考綱點(diǎn)擊（1）了解基本不等式的證明過程；（2）會(huì)用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}。2、熱點(diǎn)提示（1）以考查基本不等式的應(yīng)用為重點(diǎn)，兼顧考查代數(shù)式變形、化簡能力，注意“一正、二定、三相等”的條件；（2）考查方式靈活，可出選擇題、填空題，也可出以函數(shù)為載體的解答題；（3）以不等式的證明為載體，與其他知識(shí)結(jié)合在一起來考查基本不等式，證明不會(huì)太難。但題型多樣，涉及面廣?！究季V知識(shí)梳理】一、不等關(guān)系與不等式1、比較兩實(shí)數(shù)大小的方法求差比較法；。2、不等式的基本性質(zhì)定理1：若 ，則 ；若 ，則 即 。注：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對稱性。定理2：若 ，且 ，則 。注：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。定理3：若 ，則 。注：（1）不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）定理3的證明相當(dāng)于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；（3）定理3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項(xiàng)改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論：若 。注：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個(gè)不等號方向相同的不等式；異向不等式：兩個(gè)不等號方向相反的不等式。定理4如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。推論1：如果 且 ，那么 。注：（1）不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論 可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。推論2：如果 ， 那么 。定理5：如果 ，那么 。3、不等式的一些常用性質(zhì)（1）倒數(shù)性質(zhì) （2）有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若 ，則真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：4、基本不等式定理1：如果 ，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ ”）。注：（1）指出定理適用范圍： ；（2）強(qiáng)調(diào)取“ ”的條件 。定理2：如果 是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）注：（1）這個(gè)定理適用的范圍： ；（2）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)。即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。二、一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式=b2-4ac 0=0 0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a 0)的圖象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x1 x2)有兩相等實(shí)根x1=x2= 沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c 0（a 0）的解集 ax2+bx+c 0（a 0）的解集 注：當(dāng)a 0時(shí)，可利用不等式的性質(zhì)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，注意不等號的變化，而后求得方程兩根，再利用“大于號取兩邊，小于號取中間”求解。2、用程序框圖來描述一元二次不等式ax2+bx+c 0（a 0）的求解的算法過程為：三、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題1、二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域（1）在平面直角坐標(biāo)系中，直線 將平面內(nèi)的所有點(diǎn)分成三類：一類在直線 上，另兩類分居直線 的兩側(cè)，其中一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 ，另一側(cè)的半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 ；（2）二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)的平面區(qū)域且不含邊界，直線作圖時(shí)邊界直線畫成虛線，當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式 所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，此時(shí)邊界直線畫成實(shí)線。（3）不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意 義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式（或方程）組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z=2x+3y線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題注：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè)。四、基本不等式1、基本不等式定理1：如果 ，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“ ”）。注：（1）指出定理適用范圍： ；（2）強(qiáng)調(diào)取“ ”的條件 。定理2：如果 是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）注：（1）這個(gè)定理適用的范圍： ；（2）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)。即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。2、常用字的幾個(gè)重要不等式注：上述不等式成立的條件是a=b3、利用基本不等式求最佳問題已知x 0,y 0,則：（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是 （簡記：積定和最小）；（2）如果和x+y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是 。（簡記：和定積最大）4、算術(shù)平均值與幾何平均值設(shè)a 0,b 0,則a,b的的算術(shù)平均值為 ，幾何平均值為 ，均值不等式可敘述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的自述平均值大于或等于它們的幾何平均值?！疽c(diǎn)名師透析】一、不等關(guān)系與不等式（一）應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系相關(guān)鏈接1、將實(shí)際的不等關(guān)系寫成對應(yīng)的不等式時(shí)，應(yīng)注意實(shí)際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號之間的正確轉(zhuǎn)換，這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系。常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表：2、注意區(qū)分“不等關(guān)系”和“不等式”的異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用 表示，不等式則是表現(xiàn)不等關(guān)系的式子，對于實(shí)際問題中的不等關(guān)系可以從“不超過”、“至少”、“至多”等關(guān)鍵詞上去把握，并考慮到實(shí)際意義。例題解析例某汽車公司由于發(fā)展的需要需購進(jìn)一批汽車，計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車。根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式。思路解析：把握關(guān)鍵點(diǎn)，不超過1000萬元，且A、B兩種車型分別至少5輛、6輛，則不等關(guān)系不難表示，要注意取值范圍。解答：設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則 （二）比較大小相關(guān)鏈接比較實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大小的方法主要是作差法和作商法。1、“作差法”的一般步驟是：（1）作差；（2）變形；（3）判斷符號；（4）得出結(jié)論。用“作差法”比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù)，常采用配方、因式分解、有理化等方法。常用的結(jié)論有 ， ， 等。當(dāng)兩個(gè)式子都為正時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差。2、作商法的一般步驟是：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大?。唬?）得出結(jié)論。注：當(dāng)商與1的大小確定后必須對商式的分母的正負(fù)做出判斷方可得出結(jié)論，如： ， ； 3、特例法若是選擇題還可以用特殊值法比較大小，若是解答題，也可以用特殊值法探路.例題解析例（1）設(shè) ，試比較 與 的大??；（2）已知a,b,c正實(shí)數(shù)，且 ，當(dāng)nN,n 2時(shí)，比較 與 的大小。思路解析：（1）作差，通過分解因式判斷差的符號；（2）本題需比較的式子是冪的形式，因此考慮用作商比較。解答：（1）方法一：方法二：x y 0,(2)a,b,c正實(shí)數(shù)， .（三）不等式性質(zhì)的應(yīng)用例設(shè)f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4.求f(-2)的取值范圍。思路解析：由f(x)關(guān)系式 f(-2)與f(1) 和f(-1)的關(guān)系 利用f(1) 和f(-1)的范圍 f(-2)的范圍。解答：（方法一）設(shè)f(-2)=m f(-1)+n f(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a-2b=m(a-b)+n(a+b).即4a-2b=（m+n）a+(n-m)b.于是得 ，解得 ，f(-2)=3f(-1)+f(1)。又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,故5f(-2)10。（方法二） （方法三）由 確定的平面區(qū)域如圖陰影部分：當(dāng)f(-2)=4a-2b過點(diǎn) 時(shí)，取得最小值 ，當(dāng)f(-2)=4a-2b過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，取得最大值43-21=10，5f(-2)10注：由a f1(x1,y1) b,c f2(x1,y1) d,求g(x1,y1)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)g(x1,y1)=pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1),用恒等變形求得p,q,再利用不等式的性質(zhì)求得g(x1,y1)取值范圍。（四）不等式的證明例已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+ )(b+ ) 。證明：證法一： (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab 或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2 ，ab ，從而得證。證法二： (均值代換法)設(shè)a= +t1，b= +t2。a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1| ，|t2| ，顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b= 時(shí)，等號成立證法三：(比較法)a+b=1，a0，b0，a+b2 ，ab ，證法四：(綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2 ，ab ， 。證法五：(三角代換法) a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0， )，方法提示：由a f(x,y) b,c g(x,y) d,求F(x,y)的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等變形求得m,n,再利用不等式的性質(zhì)求得F(x,y)的取值范圍.提醒：同時(shí)應(yīng)用多個(gè)不等式時(shí)，容易改變不等式的范圍，特別是多次運(yùn)用同向不等式相加這一性質(zhì)，因不是等價(jià)關(guān)系，易導(dǎo)致出錯(cuò). 二、一元二次不等式及其解法（一）一元二次不等式的解法相關(guān)鏈接解一元二次不等式的一般步驟（1）對不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即；（2）計(jì)算相應(yīng)的判別式；（3）當(dāng)0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根；（4）根據(jù)對應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集。例題解析例解下列不等式：（1）2x2+4x+3 (2)-3x2-2x+80;(3)8x-116x2.思路解析：首先將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再看二次基項(xiàng)式能否因式分解，若能，則可得方程的兩根，且大于號取兩邊，小于號取中間，若不能，則再“”，利用求根公式求解方程的根，而后寫出解集。解答：（1）=42-423=16-24=-8 0,方程2x2+4x+3=0沒有實(shí)根，2x2+4x+3 0的解集為；（2）原不等式等價(jià)于3x2+2x-80 （x+2）(3x-4)0 x-2或x （3）原不等式等價(jià)于16x2-8x+10 (4x-1)20,只有當(dāng)4x-1=0，即x= 時(shí)，不等式成立。故不等式的解集為 （二）含字母參數(shù)的不等式的解法相關(guān)鏈接含參數(shù)的一元二次不等式關(guān)于字母參數(shù)的取值范圍問題，其主要考查二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。1、解答分類討論問題的基本方法和步驟是：（1）要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類；（3）對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；（4）進(jìn)行歸納總結(jié)，綜合得出結(jié)論。2、對于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定此不等式是否為二次不等式；（2）當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，討論判別式是否大于0；（3）當(dāng)判別式大于0時(shí)，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否大于0，這決定所求不等式的不等號的方向；（4）判斷二次不等式兩根的大小。例題解析例解關(guān)于x的不等式(1-ax)2 1思路解析：將不等式左邊化為二次三項(xiàng)式，右邊等于0的形式，并將左邊因式分解，據(jù)a的取值情況分類討論。解答：由(1-ax)2 1處 （1） 注：解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對參數(shù)進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏。若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)，則不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的情況。（三）一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用相關(guān)鏈接1、實(shí)際應(yīng)用問題是新課標(biāo)下考查的重點(diǎn)，突出了應(yīng)用能力的考查，在不等式應(yīng)用題中常以函數(shù)模型出現(xiàn)，如一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時(shí)要理清題意，準(zhǔn)確找出其中不等關(guān)系再利用不等解法求解；2、不等式應(yīng)用題一般可按如下四步進(jìn)行：（1）閱讀理解、認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系；（3）解不等式；（4）回歸實(shí)際問題。例題解析例國家原計(jì)劃以2400元/噸的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸，按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元（稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%）。為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定降低稅率。根據(jù)市場規(guī)律，高效率降低x個(gè)百分點(diǎn)，收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn)。試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%。思路解析：表示高效率調(diào)低后的稅收收入 列不等關(guān)系 解不等關(guān)系 得結(jié)論解答：設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元，則（四）一元二次不等式恒成立問題例求使 a (x0，y0)恒成立的a的最小值。思路解析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令 =cos， =sin(0 ，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯(cuò)誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對的。除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，af(x)，則amin=f(x)max 若 af(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化。解答：解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2 a2(x+y)，即2 (a21)(x+y)，x，y0，x+y2 ， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，中有等號成立。比較、得a的最小值滿足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是 。解法二：設(shè) x0，y0，x+y2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)， 1， 的最大值是1。從而可知，u的最大值為 ，又由已知，得au，a的最小值為 ，解法三：y0，原不等式可化為 +1a ，設(shè) =tan，(0， )。tan+1a ，即tan+1asecasin+cos= sin(+ )，又sin(+ )的最大值為1(此時(shí)= )。由式可知a的最小值為 。注：（1）解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)。一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；（2）對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方。三、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（一）二元一次不等（組）表示平面區(qū)域相關(guān)鏈接二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法（1）直線定界，特殊點(diǎn)定域注意不等式中不等號有無等號，無等號時(shí)直線畫成虛線，有等號時(shí)直線畫成實(shí)線。若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)。（2）同號上，異號下即當(dāng) 時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的上方，當(dāng) ，區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的下方。例題解析例如圖ABC中，A(0,1),B(-2,2),C(2,6),寫出ABC區(qū)域所表示的二元一次不等組。思路解析：通過三點(diǎn)可求出三條直線的方程，而后利用特殊點(diǎn)驗(yàn)證。因三條直線均不過原點(diǎn)，故可由原點(diǎn)(0,0)驗(yàn)證即可。解答：由已知得直線AB、BC、CA的方程分別為：直線AB：x+2y-2=0,直線BC：x-y+4=0,直線CA：5x-2y+2=0.原點(diǎn)(0,0)不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號可得不等式組為：（二）求目標(biāo)函數(shù)的最值相關(guān)鏈接1、求目標(biāo)函數(shù)的最值，必須先準(zhǔn)確地作出線性可行域，再作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點(diǎn)，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值。2、最優(yōu)解的確定方法線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取最大值時(shí)的最優(yōu)解與b的正負(fù)有關(guān)，當(dāng)b 0時(shí)，最優(yōu)解是將直線ax+by=0在可行域內(nèi)向上方平移到端點(diǎn)（一般是兩直線交點(diǎn)）的位置得到的；當(dāng)b 0,則是向下方平移。例題解析例若變量x,y滿足 則 的最大值是（ ）A 90 B 80 C 70 D 40思路解析：作出可行域 作出直線3x+2y=0 找到最優(yōu)解 求得最大值解答：選C。線性不等式組表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示?？芍?在A點(diǎn)處取最大值，由 ，解得A（10，20）。 故選C。（三）線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用相關(guān)鏈接解決線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟：（1）認(rèn)真審題分析，設(shè)出未知數(shù)，寫出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；（2）作出可行域；（3）作出目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)對應(yīng)的直線 （4）在可行域內(nèi)平行移動(dòng)直線 ，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或是有無窮最優(yōu)解或無最優(yōu)解；（5）求出最優(yōu)解，從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值。注：解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范，假若圖上的最優(yōu)點(diǎn)并不明顯時(shí)，不妨將幾個(gè)有可能是最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來，然后逐一檢驗(yàn)，以“驗(yàn)明正身”。另外對最優(yōu)整數(shù)解問題，可使用“局部微調(diào)法”，此方法的優(yōu)點(diǎn)是思路清晰，操作簡單，便于掌握。用“局部微調(diào)法”求整點(diǎn)最優(yōu)解的關(guān)鍵是“微調(diào)”，其步驟可用以下十二字概括：微調(diào)整、求交點(diǎn)、取范圍、找整解。例題解析例某公司倉庫A存有貨物12噸，倉庫B存有貨物8噸，現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運(yùn)給甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為8元、6元、9元；從倉庫B運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為3元、4元、5元。問應(yīng)如何安排調(diào)運(yùn)方案，才能得到從兩個(gè)倉庫貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少？思路解析：由于題目中量比較多，所以最好通過列出表格以便清晰地展現(xiàn)題目中的條件。設(shè)出倉庫A運(yùn)給甲、乙商店的貨物噸數(shù)可得運(yùn)到丙商店的貨物噸數(shù)，列出可行域，即可求解。解答：將已知數(shù)據(jù)列成下表：設(shè)倉庫A運(yùn)給甲、乙商店的貨物分別為x噸，y噸，則倉庫A運(yùn)給丙商店的貨物為（12-x-y）噸，從而倉庫B運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7-x)噸、（8-y）噸、5-（12-x-y）=（x+y-7）噸，于是總運(yùn)費(fèi)為：Z=8x+6y+8(12-x-y)+3(7-x)+4（8-y）+5（x+y-7）=x-2y+126.線性約束條件為 即 。目標(biāo)函數(shù)為： 作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖中陰影部分所示：作出直線 ：x-2y=0,把直線 平行移動(dòng)，顯然當(dāng)直線 移動(dòng)到過點(diǎn)(0,8),在可行域內(nèi)， 取得最小值 ，即x=0,y=8時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少。安排的調(diào)運(yùn)方案如下：倉庫A運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為0噸、8噸、4噸，倉庫B運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為7噸、0噸、1噸，此時(shí)可使得從兩個(gè)倉庫運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最少。注：求線性規(guī)劃問題的整點(diǎn)最優(yōu)解常用以下方法： （1）平移直線法：先在可行域中畫網(wǎng)格，再描整點(diǎn)，平移直線 ，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)就是最優(yōu)解；（2）檢驗(yàn)優(yōu)值法：當(dāng)可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)，可將整點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)過比較得出最優(yōu)解；（3）調(diào)整優(yōu)值法；先求非整點(diǎn)最優(yōu)解，再借助于不定方程知識(shí)調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出整點(diǎn)最優(yōu)解。（四）線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用例實(shí)數(shù)x,y滿足 （1）若 ，求 的最大值和最小值，并求 的取值范圍。（2）若 ，求 的最大值和最小值，并求 的取值范圍。思路解析：（1） 表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。故 的最值問題即為直線的斜率的最大值與最小值。（2） 的最值表示的是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的兩點(diǎn)距離的平方的最大值、最小值。解答：由 作出可行域如圖陰影部分所示：（1） 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此 的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率（OA斜率不存在）。而由 得B（1，2）， 不存在， ， 的取值范圍是2，+）。（2） 表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的兩點(diǎn)間距離的平方。因此 的范圍最小為 （取不到），最大為 。由 得A（0，1）， = ， = 。 ， 無最小值。故 的取值范圍是 .注：本例與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式，此類問題?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點(diǎn)：（1） 表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)(0,0)的距離； 表示點(diǎn)(x,y)與(a,b)的距離。（2） 表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率； 表示點(diǎn)（x,y）與(a,b)連線的斜率。這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵。四、基本不等式（一）利用基本不等式求最值相關(guān)鏈接1、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件（1）合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值；（2）當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。2、利用基本不等式求最值需注意的問題（1）各數(shù)（或式）均為正；（2）和或積為定值；（3）等號能否成立，即一正、二定、三相等，這三個(gè)條件缺一不可。3、基本不等式的幾種變形公式對于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它的幾種常見的變形形式及公式的逆運(yùn)用等，如：例題解析例求下列各題的最值。（1）已知 ,求 的最小值。（2） （3） （4） 思路解析：（1）由 得 ，故可用基本不等式。（2）由 是常數(shù)，故可直接利用基本不等式（3）因 不是常數(shù)，故需變形。 ，故需變號。（4）雖然 ，但利用基本不等式時(shí)，等號取不到，所以利用函數(shù)的單調(diào)性。解答：（1）方法一： 。 。當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號成立。方法二：由 得 。當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號成立。（2） （3）當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=1時(shí)，等號成立。故f(x)的最大值為-1.(4) 則（二）利用基本不等式證明不等式相關(guān)鏈接1、利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不等式，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推得所證問題，其特征是“由因?qū)Ч薄?、證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注意每次等號是否都成立。同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變形形式。例題解析例1（1）已知a 0,b 0,a+b=1,求證： （2）證明： 思路解析：（1）利用a+b=1將要證不等式中的1代換，即可得證。（2）利用 兩兩結(jié)合即可求證，但需兩次利用不等式，注意等號成立的條件。解答：（1）方法一： （當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)等號成立）。 。原不等式成立。方法二：a 0,b 0,a+b=1， （當(dāng)且僅當(dāng)a=b= 時(shí)等號成立）。原不等式成立。（2） 。故原不等式得證，等號成立的條件是 例2已知不等式 對任意 、 的正實(shí)數(shù)恒成立，求正數(shù) 的最小值。思路解析：展開后，利用基本不等式，而后解不等式可求 值。解答： 要使原不等式恒成立，則只需 9，即 正數(shù) 的最小值是4。注：利用基本不等式求參數(shù)的值或范圍時(shí)，只需求出式子的最小值或最大值，使其滿足已知條件即可。（三）基本不等式的實(shí)際應(yīng)用例某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示）， ，如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米2，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米2，池底建造單價(jià)為80248元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)。（1）試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計(jì)污水池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)。思路解析：（1）由題意設(shè)出未知量 構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式 變形轉(zhuǎn)化利用基本不等式 求得最值 結(jié)論；（2）由（1）函數(shù)關(guān)系 確定x的范圍 判斷函數(shù)單調(diào)性 利用單調(diào)性求最值 結(jié)論。解答：（1）設(shè)污水處理池的寬為x米，則長為 米。則總造價(jià)為（2）由限制條件知 設(shè) 由函數(shù)性質(zhì)易知 在 上是增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)（此時(shí) ）， 有最小值，即 有最小值 注：（1）解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義，即其取值范圍；（2）在求函數(shù)最值時(shí)，除應(yīng)用基本不等式外，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)基本不等式取不到等號，此時(shí)要利用函數(shù)的單調(diào)性?！靖形蚋呖颊骖}】1、（2011 安徽高考文科 7）若數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 n=(-1)n(3 -2),則 （A）15 (B)12 （C） 12 (D) 15【思路點(diǎn)撥】觀察數(shù)列 的性質(zhì)，得到 【精講精析】選A. 故 2、（2011 安徽高考理科 4）設(shè)變量 滿足 則 的最大值和最小值分別為（）， （）， （）， （），【思路點(diǎn)撥】此題屬于線性規(guī)劃問題，先畫出 表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)z= 的最值.【精講精析】選B.首先畫出 表示的平面區(qū)域由圖像可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（0,1）時(shí)取得最大值2，過點(diǎn)（0，-1）時(shí)取得最小值-2.3、（2011 北京高考文科 T7）某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為 天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（ ）（A）60件 （B）80件 （C）100件 （D）120件【思路點(diǎn)撥】寫出平均每件產(chǎn)品費(fèi)用的函數(shù)，再利用均值不等式求出最值.【精講精析】選B.平均每件產(chǎn)品的費(fèi)用為 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號.所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.4、（2011 安徽高考理科 19）（）設(shè) 證明（）設(shè) ，證明【思路點(diǎn)撥】利用不等式的基本性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)換底公式的知識(shí).【精講精析】證明：（1）由于 所以要證明 ， 只需證 將上式中的右式減左式，得 既然 所以 從而所要證明的不等式成立.（）設(shè) ，由對數(shù)的換底公式得于是，所要證明的不等式即為.其中 故由（）成立知 成立.【考點(diǎn)精題精練】一、選擇題1、下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是（ ）A.p: b+d , q: b且cd B.p:a1,b 1 q: 的圖像不過第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a1, q: 在 上為增函數(shù) 解析：由 b且cd b+d，而由 b+d b且cd，可舉反例。選A。2、已知 ， ， ， 為實(shí)數(shù)，且 .則“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件解析：顯然，充分性不成立.又，若 和 都成立，則同向不等式相加得 即由“ “ “ ”3、若a、b、c ，則下列不等式成立的是（ ）A B C D 答