第 1 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年廣東省江門(mén)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù) 2 3i（ i 是虛數(shù)單位）的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ） A 720 B 648 C 103 D 310 3設(shè)某大學(xué)的女生體重 y（單位： 身高 x（單位： 有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回歸方程為 =下列結(jié)論中不正確的是（ ） A若該大學(xué)某女生身高為 170她的體重必為 y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系 C回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（ ， ） D身高 x 為解釋變量，體重 y 為預(yù)報(bào)變量 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出 S=（ ） A 14 B 16 C 30 D 62 5平面直角坐標(biāo)系中，直線 x 2y+3=0 的一個(gè)方向向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 6二項(xiàng)式（ x 1） 10 的展開(kāi)式中的第六項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A 天氣預(yù)報(bào)，端午節(jié)假期甲、乙、丙三地降雨的概率分別是 甲、乙、丙三地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則其中至少一個(gè)地方降雨的概率為（ ） A 函數(shù) f（ x） =12x（ x R）的極大值點(diǎn)是（ ） A 2 B 2 C（ 2， 16） D（ 2， 16） 9如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 第 2 頁(yè)（共 17 頁(yè)） A B C 32 D 16 10 橢圓 + =1 的焦點(diǎn)， P 是橢圓上任意一點(diǎn)， 的最大值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11設(shè)函數(shù) f（ x） =1+|x|） ， x R，則 f（ x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12分子為 1 且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱(chēng)為單位 分?jǐn)?shù) 1 可以分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和： 1= + + ， 1= + + + ， 1= + + + + ， ， 依此類(lèi)推可得： 1= + + + + + + + + + + + + ，其中， m、 n N*，則 ） A 228 B 240 C 260 D 273 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13化簡(jiǎn)：（ 1+ ） 5+（ 1 ） 5= 14某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 名射手在 5 次射擊中，恰有 4 次擊中目標(biāo)的概率 P= 15小趙，小錢(qián)，小孫，小李四位同學(xué)被問(wèn)到誰(shuí)去過(guò)長(zhǎng)城時(shí)， 小趙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)； 小錢(qián)說(shuō)：小李去過(guò)； 小孫說(shuō)； 小錢(qián)去過(guò)； 小李說(shuō)：我沒(méi)去過(guò) 假定四人中只有一人說(shuō)的是假話，由此可判斷一定去過(guò)長(zhǎng)城的是 16根據(jù)定積分的性質(zhì)和幾何意義， x 三、解答題：解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 第 3 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 17 復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形， A、 B、 C 三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 1+3i、 i、 2+i （ ）求點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （ ）求 邊 的高 18在數(shù)列 ， ， = （ n N*） （ ）計(jì)算 （ ）試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明 19本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi) 2 元（不足 1 小時(shí)的部分按 1 小時(shí)計(jì)算）有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游（各租一車(chē)一次）設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為 ， ；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為 ，；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí) （ ）求甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率 （ ）設(shè)甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 20如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形，且 20點(diǎn) E 是棱 中點(diǎn)，平面 棱 于點(diǎn) F （ ）求證： （ ）若 D=，且平面 平面 平面 平面 成的二面角的正弦值 21已知函數(shù) f（ x） =+c（ a 0）的圖象在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y=x 1 （ 1）用 a 表示出 b， c； （ 2）若 f（ x） 1， +）上恒成立，求 a 的取值范圍 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答題請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào) 選修 222已知命題 p：方程 =1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，命題 q：對(duì)任意實(shí)數(shù) x 不等式m+3 0 恒成立 （ ）若 “ q”是真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ ）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 選修 2第 4 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 23一邊長(zhǎng)為 a 的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為 x 的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒 （ 1）試把方盒的容積 V 表示為 x 的函數(shù)； （ 2） x 多大時(shí)，方盒的容積 V 最大？ 選修 224為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了某市 300 名高中學(xué)生，得到下面的數(shù)據(jù)表： 喜歡數(shù)學(xué)課程 不喜歡數(shù)學(xué)課程 合計(jì) 男 45 75 120 女 45 a 180 合計(jì) 90 b 300 （ ） 求數(shù)表中 a， b 的值； 用分層抽樣方法從 “喜歡數(shù)學(xué)課程 ”和 “不喜歡數(shù)學(xué)課程 ”兩類(lèi)同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10 的樣本，則應(yīng)從 “喜歡數(shù)學(xué)課程 ”的同學(xué)中抽取幾人？ （ ）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，能否有 把握認(rèn)為是否喜歡數(shù)學(xué)課程與性別有關(guān)？ 第 5 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 2015年廣東省江門(mén)市高二（ 下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù) 2 3i（ i 是虛數(shù)單位）的點(diǎn)位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可 【解答】 解：復(fù)數(shù) 2 3i（ i 是虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 3）位于第四象限， 故選： D 2用 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 的個(gè)數(shù)是（ ） A 720 B 648 C 103 D 310 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 【分析】 用間接法，先用排列公式計(jì)算在 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中，任取 3 個(gè)數(shù)字，按從左到右的順序排列的排法數(shù)目，再排除其中不能組成三位數(shù)的即第一個(gè)數(shù)字為 0 的情況，即可得答案 用直接法，先確定百位，再確定十位和個(gè)位，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得 【解答】 解：間接法：在 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中，任取 3 個(gè)數(shù)字，按從左到右的順序排列，有 20 種排法， 其中不能組成三位數(shù)的即第一個(gè)數(shù)字為 0 的有 2 種排法； 故可以組 成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)一共有 720 72=648 個(gè)； 直接法：選一個(gè)數(shù)字為百位數(shù)字，十位和個(gè)位任意排，故有 48 種， 故選： B 3設(shè)某大學(xué)的女生體重 y（單位： 身高 x（單位： 有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回歸方程為 =下列結(jié)論中不正確的是（ ） A若該大學(xué)某女生身高為 170她的體重必為 y 與 x 具有正的線性相 關(guān)關(guān)系 C回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（ ， ） D身高 x 為解釋變量，體重 y 為預(yù)報(bào)變量 【考點(diǎn)】 回歸分析 【分析】 根據(jù)回歸方程 =其意義，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷即可 【解答】 解：回歸方程 =， 第 6 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 當(dāng) x=170， =170 即大學(xué)某女生身高為 170的體重應(yīng)在 右， A 不正確； =0，是正相關(guān)， B 正確； 回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（ ， ）， C 正確； 身高 x 為解釋變量，體重 y 為預(yù)報(bào)變量， D 正確 故選： A 4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出 S=（ ） A 14 B 16 C 30 D 62 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 框圖首先給循環(huán)變量 k 和累加變量 S 賦值，然后判斷 k 5 是否成立，成立則執(zhí)行S=S+2k， k=k+1，依次循環(huán)，不成立則跳出循環(huán)，輸出 S 的值，算法結(jié)束 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 k=1， S=0 滿足條件 k 5，執(zhí)行循環(huán)體， S=2， k=2 滿足條件 k 5，執(zhí)行循環(huán)體， S=6， k=3 滿足條件 k 5，執(zhí)行循環(huán)體， S=14， k=4 滿足條件 k 5，執(zhí)行循環(huán)體， S=30， k=5 不滿足條件 k 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 30 故選： C 5平面直角坐標(biāo)系中，直線 x 2y+3=0 的一個(gè)方向向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考點(diǎn)】 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；直線的斜率 【分析】 求出直線 x 2y+3=0 的斜率 k，即可寫(xiě)出該直線的一個(gè)方向向量（ 1， k） 【解答】 解：直線 x 2y+3=0 的斜率為 k= ， 所以該直線的一個(gè)方向向量是（ 1， ）， 第 7 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 可化為（ 2， 1） 故選： B 6二項(xiàng)式（ x 1） 10 的展開(kāi)式中的第六項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A 考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 直接利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，求出二項(xiàng)式（ x 1） 10 的展開(kāi)式中的第六項(xiàng)的系數(shù) 【解答】 解：二項(xiàng)式（ x 1） 10 的展開(kāi)式中的第六項(xiàng)的系數(shù)： = 故選 D 7天氣預(yù)報(bào)，端午節(jié)假期甲、乙、丙三地 降雨的概率分別是 甲、乙、丙三地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則其中至少一個(gè)地方降雨的概率為（ ） A 考點(diǎn)】 互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 【分析】 求出甲、乙、丙三地都不降雨的概率，根據(jù)對(duì)立事件，求出至少一個(gè)地方降雨的概率即可 【解答】 解： 甲、乙、丙三地降雨的概率分別是 甲、乙、丙三地不降雨的概率分別是 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是 故至少一個(gè)地方降雨的概率為 1 故選： D 8函數(shù) f（ x） =12x（ x R）的極大值點(diǎn)是（ ） A 2 B 2 C（ 2， 16） D（ 2， 16） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 求導(dǎo)數(shù)便可得出 f（ x） =312，容易看出 x= 2 為方程 f（ x） =0 的解，從而可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得出該函數(shù)的極大值點(diǎn) 【解答】 解： f（ x） =312； x 2 時(shí)， f（ x） 0， 2 x 2 時(shí)， f（ x） 0， x 2 時(shí)， f（ x） 0； x= 2 是 f（ x）的極大值點(diǎn) 故選 A 9如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） A B C 32 D 16 第 8 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可得此幾何體為三棱錐，且可得到底面面積和體高，從而求體積 【解答】 解；此幾何體為三棱錐， 底面面積 S= 4 4=8， 體高為 4，則此幾何體的體積為 V= S 4= 故答案為： A 10 橢圓 + =1 的焦點(diǎn)， P 是橢圓上任意一點(diǎn)， 的最大值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 首先，由橢圓的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后，設(shè)出橢圓的三角式，代入求解，即可得出答案 【解答】 解： 橢圓 + =1 的焦點(diǎn)， 1， 0）， 1， 0）， P 是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè) P（ 2 （ 0 2）， =（ 1 2 （ 1 2 ） =4+3+3， 即 的最大值為 3 故選： C 11設(shè)函數(shù) f（ x） =1+|x|） ， x R，則 f（ x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 本題即求函數(shù) y=1+|x|）與函數(shù) y= 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =1+|x|） ， x R 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即函數(shù) y=1+|x|）與函數(shù) y= 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)， 由于這兩個(gè)都是偶函數(shù)，且在（ 0， +）上，函數(shù) y=1+|x|） =1+x）單調(diào)遞增，與函數(shù) y= 單調(diào)遞減， 如圖所示： 函數(shù) y=1+|x|）與函數(shù) y= 的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)我 2， 第 9 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 故選： B 12分子為 1 且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱(chēng)為單位分?jǐn)?shù) 1 可以分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和： 1= + + ， 1= + + + ， 1= + + + + ， ， 依此類(lèi)推可得： 1= + + + + + + + + + + + + ，其中， m、 n N*，則 ） A 228 B 240 C 260 D 273 【考點(diǎn)】 歸納推理 【分析】 由題意， m=13， n=4 5=20，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意， m=13， n=4 5=20， 3 20=260， 故選： C 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13化簡(jiǎn)：（ 1+ ） 5+（ 1 ） 5= 2+20x+10 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可得出 【解答】 解： 原式 =1+ + + + + +1+ + =2+20x+10 故答案為： 2+20x+10 第 10 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 14某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 名射手在 5 次射擊中，恰有 4 次擊中目標(biāo)的概率 P= 【考點(diǎn)】 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率 【分析】 利用 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果 【解答】 解：某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 名射手在 5 次射擊中，恰有 4 次擊中目標(biāo)的概率 P= 故答案為： 15小趙，小錢(qián)，小孫，小李四位同學(xué)被問(wèn)到誰(shuí)去過(guò)長(zhǎng)城時(shí)， 小趙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)； 小錢(qián)說(shuō)：小李去過(guò)； 小孫說(shuō)；小錢(qián)去過(guò)； 小李說(shuō)：我沒(méi)去過(guò) 假定四人中只有一人說(shuō)的是假話，由此可判斷一定去過(guò)長(zhǎng)城的是 小錢(qián) 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理 【分析】 利用 3 人說(shuō)真話， 1 人說(shuō)假話，驗(yàn)證即可 【解答】 解：如果小趙去過(guò)長(zhǎng)城，則小趙說(shuō)謊，小錢(qián)說(shuō)謊，不滿足題意； 如果小錢(qián)去過(guò)長(zhǎng)城，則小趙說(shuō)真話，小錢(qián)說(shuō)謊，小孫，小李說(shuō)真話，滿足題意； 故 答案為：小錢(qián) 16根據(jù)定積分的性質(zhì)和幾何意義， x 【考點(diǎn)】 定積分 【分析】 首先利用定積分的可加性將所求寫(xiě)成兩個(gè)定積分的差的形式，然后分別按照幾何意義和求原函數(shù)的方法求定積分 【解答】 解：已知 x ， 定積分 表示以（ 1， 0）為圓心， 1 為半徑的 圓，所以= ， ， 所以所求定積分為 ； 故答案為： 三、解答題：解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 17 復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形， A、 B、 C 三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 1+3i、 i、 2+i （ ）求點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （ ）求 邊 的高 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；點(diǎn)到直線的距離公式 第 11 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 【分析】 （ ）求出復(fù)平面內(nèi) A、 B、 C 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè) D 的坐標(biāo)為（ x， y），由列式解 得 x， y 的值，得到 D 的坐標(biāo)，求出 D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； （ ）求出 線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式求出 A 到 線的距離，則 上的高可求 【解答】 解：（ ）復(fù)平面內(nèi) A、 B、 C 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ 1， 3），（ 0， 1），（ 2， 1） ， 設(shè) D 的坐標(biāo)為（ x， y）， 由 ，得（ x 1， y 3） =（ 2， 2） ， x 1=2， y 3=2， 解得 x=3， y=5， 故 D（ 3， 5） ， 則點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 3+5i； （ ） B（ 0， 1）， C（ 2， 1）， 線的方程為： x y 1=0， A 到 線的距離 ， 故 上的高為 18在數(shù)列 ， ， = （ n N*） （ ）計(jì)算 （ ）試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）由 ， = ，代入 計(jì)算，可求 （ ）猜想 通項(xiàng)公式；用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng) n=k（ k 1）時(shí)，命題成立，利用遞推式，證明當(dāng) n=k+1 時(shí)，等式成立或證明 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列 【解答】 解：（ ）依題意， ， ， （ ）猜想 （方法一 數(shù)學(xué)歸納法） 當(dāng) n=， 2 或 3）時(shí)，由（ ）知，猜想成立 假設(shè)當(dāng) 時(shí)， 則當(dāng) n=k+1 時(shí)， 猜想也成立 第 12 頁(yè)（共 17 頁(yè)） 綜上所述，對(duì)于一切 n N*， （方法二）由 與 得，對(duì)于一切 n N*， 0 兩邊取倒數(shù)得 故 ，從而 是以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列 ， 故 19本著健康、低碳的生活理念，租自行車(chē)騎游的人越來(lái)越多某自行車(chē)租車(chē)點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車(chē)每次租車(chē)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi) 2 元（不足 1 小時(shí)的部分按 1 小時(shí)計(jì)算）有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車(chē)點(diǎn)租車(chē)騎游（各租一車(chē)一次）設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為 ， ；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車(chē)的概率分別為 ，；兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí) （ ）求甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率 （ ）設(shè)甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和為隨機(jī)變量 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式 【分析】 （ ）首先求出兩個(gè)人租車(chē)時(shí)間超過(guò)三小時(shí)的概率，甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同即租車(chē)時(shí)間相同：都不超過(guò)兩小時(shí)、都在兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)和都超過(guò)三小時(shí)三類(lèi)求解即可 （ ）隨機(jī)變量 的所有 取值為 0， 2， 4， 6， 8，由獨(dú)立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可 【解答】 解：（ ）甲乙兩人租車(chē)時(shí)間超過(guò)三小時(shí)的概率分別為： ， 甲乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用相同的概率 p= （ ）隨機(jī)變量 的所有取值為 0， 2， 4， 6， 8 P（ =0） = = P（ =2） = = P（ =4） = = P（ =6） = = 第 13 頁(yè)（共 17 頁(yè)） P（ =8） = = 數(shù)學(xué)期望 = 20如圖，在四棱錐 P ，底面 菱形，且 20點(diǎn) E 是棱 中點(diǎn)，平面 棱 于點(diǎn) F （ ）求證： （ ）若 D=，且平面 平面 平面 平面 成的二面角的正弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及 求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ ）推導(dǎo)出 而 面 此能證明 （ ）取 點(diǎn) G，連接 G 為原點(diǎn)， 在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系 G 用向量法能求出平面 平面 成的二面角的正弦值 【解答】 證明：（ ） 底面 菱形， 又 面 又 A， B， E， F 四點(diǎn)共面，且平面 面 F， 解：（ ）取 點(diǎn) G，連接 D， 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 菱形 ， D， 0， G 是 點(diǎn)， 如圖，以 G 為原點(diǎn)， 在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系 G 由 D= 得， G（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， ， ， D（ 1， 0， 0）， 又 E 是棱 點(diǎn)， 點(diǎn) F 是棱 點(diǎn)， ， ， ， 設(shè)平面 法向量為 ， 則有 ， ， 不妨令 x=3，則平 面 一個(gè)法向量為 ， 平面 是平面 一個(gè)法向量， 第 14 頁(yè)（共 17 頁(yè)） ， 平面 平面 成的二面角的正弦值為： 21已知函數(shù) f（ x） =+c（ a 0）的圖象在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y=x 1 （ 1）用 a 表示出 b， c； （ 2）若 f（ x） 1， +）上恒成立，求 a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)恒成立問(wèn)題 【分析】 （ ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù) f（ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)，從而求得切線的斜率，以及切點(diǎn)在函數(shù) f（ x）的圖象上，建立方程組，解之即可； （ ）先構(gòu)造函數(shù) g（ x） =f（ x） +1 2a x 1， +），利用導(dǎo) 數(shù)研究 g（ x）的最小值，討論 a 的范圍，分別進(jìn)行求解即可求出 a 的取值范圍 【解答】 解：（ ） ， 則有 ， 解得 （ ）由（ ）知， ， 令 g（ x） =f（ x） +1 2a x 1， +） 則 g（ 1） =0， （ i）當(dāng) ， 若 ，則 g（ x） 0， g（ x）是減函數(shù)， 所以 g（ x） g（ 1） =0， f（ x） f（ x） 1， +）上恒不成立 第 15 頁(yè)（共 17 頁(yè)） （ 時(shí)， 若 f（ x） 當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） 上所述，所求 a 的取值范圍為 請(qǐng)考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答題請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào) 選修 222已知命題 p：方程 =1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，命題 q：對(duì)任意實(shí)數(shù) x 不等式m+3 0 恒成立 （ ）若 “ q”是真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ ）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【考點(diǎn)】 復(fù)合命題的真假 【分析】 （ ）先求出命題 q 的等價(jià)條件，根據(jù) “ q”是真命題，即可求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； （ ）若 “p q”為假命題， “p q”為真命題，則 p， q 只有一個(gè)為真命題，即可求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 【解答】 解：（ ）因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù) x 不等式 m+3 0 恒成立， 所以 =44（ 2m+3） 0，解得 1 m 3， 又 “ 真命題等價(jià)于 “q”是假命題， 所以所求實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ ， 1 3， +） （ ） 方程 =1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓， 0 m 2， “p q”為假命題， “p q”為真命題， p， q 為一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題， ，無(wú)解 ， ， 綜上所述，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（ 1， 0 2， 3） 選修 223一邊長(zhǎng)為 a 的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為 x 的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒 （ 1）試把方盒的容積 V 表示為 x 的函數(shù)； （ 2）