第17課時二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1 2015 蘭州 下列函數(shù)解析式中 一定為二次函數(shù)的是 2 在下列二次函數(shù)中 其圖象對稱軸為x 2的是 a y x 2 2b y 2x2 2c y 2x2 2d y 2 x 2 2 小題熱身 c a 3 對于二次函數(shù)y 2 x 1 x 3 下列說法正確的是 a 圖象的開口向下b 當x 1時 y隨x的增大而減小c 當x 1時 y隨x的增大而減小d 圖象的對稱軸是直線x 14 在平面直角坐標系中 將拋物線y x2 4先向右平移2個單位 再向上平移2個單位 得到的拋物線的解析式為 a y x 2 2 2b y x 2 2 2c y x 2 2 2d y x 2 2 2 c b a y1 y2 y3b y1 y3 y2c y2 y1 y3d y3 y1 y2 b 一 必知5知識點1 二次函數(shù)的概念定義 一般地 形如 a b c是常數(shù) a 0 的函數(shù)叫二次函數(shù) 考點管理 智慧錦囊 二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征是 等號左邊是函數(shù) 右邊是關(guān)于自變量x的二次整式 x的最高次數(shù)是2 二次項系數(shù)a 0 y ax2 bx c 用描點法畫二次函數(shù)y ax2 bx c的步驟 1 用配方法化成 的形式 2 確定圖象的開口方向 對稱軸及頂點坐標 3 在對稱軸兩側(cè)利用對稱性描點畫圖 y a x m 2 k a 0 智慧錦囊 1 a 的大小決定拋物線的開口大小 a 越大 拋物線的開口越小 a 越小 拋物線的開口越大 2 畫拋物線y ax2 bx c的草圖 要確定五點 開口方向 對稱軸 頂點 與y軸交點 與x軸交點 3 二次函數(shù)的性質(zhì) 4 二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y ax2 bx c與一元二次方程ax2 bx c 0有著密切的關(guān)系 二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標對應一元二次方程的實數(shù)根 拋物線與x軸的交點情況可由對應的一元二次方程的根的判別式b2 4ac的符號判定 1 有兩個交點 2 有一個交點 3 沒有交點 b2 4ac 0 方程有兩個不相等實數(shù)根 b2 4ac 0 方程有兩個相等實數(shù)根 b2 4ac 0 方程沒有實數(shù)根 5 二次函數(shù)圖象的平移將拋物線y ax2 bx c a 0 用配方法化成 的形式 而任意拋物線 均可由y ax2平移得到 具體平移方法如下 y a x m 2 k a 0 y a x m 2 k a 0 二 必會2方法1 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式 確定二次函數(shù)一般需要三個獨立條件 根據(jù)不同條件選擇不同的設法 1 設一般式 若已知條件是圖象上的三個點 則設所求二次函數(shù)為y ax2 bx c 將已知條件代入 求出a b c的值 2 設頂點式 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最大值 最小值 設所求二次函數(shù)為 將已知條件代入 求出待定系數(shù) 最后將解析式化為一般形式 y ax2 bx c a 0 y a x m 2 k y a x m 2 k 3 設兩根式 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為 x1 0 x2 0 設所求二次函數(shù)為y a x x1 x x2 將第三點 m n 的坐標 其中m n為已知數(shù) 或其他已知條件代入 求出待定系數(shù)a 最后將解析式化為一般形式 2 數(shù)形結(jié)合思想二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合最好的體現(xiàn) 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象特征與a b c及判別式b2 4ac的符號之間的關(guān)系如下 y a x x1 x x2 a 0 特殊值 當x 1 y a b c 當x 1時 y a b c 若a b c 0 即x 1時 y 0 若a b c 0 即x 1時 y 0 三 必明3易錯點1 注意二次函數(shù)y a x m 2 k的圖形平移 一般按照 橫坐標加減左右移 縱坐標加減上下移 即 左加右減 上加下減 容易出現(xiàn)移動方向弄反 2 求二次函數(shù)與x軸交點坐標的方法是令y 0解關(guān)于x的方程 求函數(shù)與y軸交點的方法是令x 0得y值 容易出現(xiàn)求與x軸交點坐標時 令x 0 求與y軸交點坐標時 令y 0的錯誤 3 根據(jù)a b c確定函數(shù)的大致圖象易錯點 1 c的大小決定拋物線與y軸的交點位置 c 0時 拋物線過原點 c 0時 拋物線與y軸交于正半軸 c0時 對稱軸在y軸左側(cè) 當ab 0時 對稱軸在y軸的右側(cè) 類型之一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2014 濱州 已知二次函數(shù)y x2 4x 3 1 用配方法求函數(shù)的頂點c的坐標 并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減情況 2 求函數(shù)圖象與x軸的交點a b的坐標 及 abc的面積 解 1 y x2 4x 3 x2 4x 4 1 x 2 2 1 函數(shù)的頂點c的坐標為 2 1 當x 2時 y隨x的增大而減小 當x 2時 y隨x的增大而增大 1 2015 樂山 二次函數(shù)y x2 2x 4的最大值為 a 3b 4c 5d 6 解析 y x 1 2 5 a 1 0 當x 1時 y有最大值 最大值為5 c c 3 2015 紹興 如果拋物線y ax2 bx c過定點m 1 1 則稱此拋物線為定點拋物線 1 張老師在投影屏幕上出示了一個題目 請你寫出一條定點拋物線的一個解析式 小敏寫出了一個答案y 2x2 3x 4 請你寫出一個不同于小敏的答案 2 張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題 已知定點拋物線y x2 2bx c 1 求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式 請你解答 解 1 依題意 選擇點 1 1 作為拋物線的頂點 二次項系數(shù)是1 根據(jù)頂點式得y x2 2x 2 2 定點拋物線的頂點坐標為 b c b2 1 且 1 2b c 1 1 c 1 2b 頂點縱坐標c b2 1 2 2b b2 b 1 2 1 當b 1時 c b2 1最小 拋物線頂點縱坐標的值最小 此時c 1 拋物線的解析式為y x2 2x 點悟 1 從函數(shù)圖象上可知二次函數(shù)圖象的以下特征 開口方向 對稱軸 頂點坐標 與y軸交點坐標 與x軸交點坐標 2 求二次函數(shù)的頂點坐標有兩種方法 配方法 頂點公式法 類型之二二次函數(shù)的平移 2015 成都 將拋物線y x2向左平移2個單位長度 再向下平移3個單位長度 得到的拋物線的函數(shù)表達式為 a y x 2 2 3b y x 2 2 3c y x 2 2 3d y x 2 2 3 解析 拋物線y x2平移后的拋物線解析式為y x 2 2 3 a 1 2014 麗水 在同一平面直角坐標系內(nèi) 將函數(shù)y 2x2 4x 3的圖象向右平移2個單位 再向下平移1個單位 得到圖象的頂點坐標是 a 3 6 b 1 4 c 1 6 d 3 4 解析 函數(shù)y 2x2 4x 3的圖象向右平移2個單位 再向下平移1個單位得到圖象y 2 x 2 2 4 x 2 3 1 即y 2 x 1 2 6 頂點坐標是 1 6 c 2 拋物線y x2 bx c圖象向右平移2個單位再向下平移3個單位 所得圖象的解析式為y x2 2x 3 則b c的值為 a b 2 c 2b b 2 c 0c b 2 c 1d b 3 c 2 解析 先配方為y x 1 2 4 逆向思考把y x 1 2 4先左移2個單位 再向上移3個單位得到解析式為y x 1 2 2 4 3 x 1 2 1 化為一般式是y x2 2x 故選擇b b 點悟 1 二次函數(shù)圖象的平移實際上就是頂點位置的變換 因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式確定其頂點坐標 然后求出平移后的頂點坐標 從而求出平移后二次函數(shù)的解析式 2 圖象的平移規(guī)律 上加下減 左加右減 類型之三二次函數(shù)的解析式的求法 2014 寧波 如圖17 1 已知二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象過a 2 0 b 0 1 和c 4 5 三點 1 求二次函數(shù)的解析式 2 設二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為d 求點d的坐標 3 在同一坐標系中畫出直線y x 1 并寫出當x在什么范圍內(nèi)時 一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值 圖17 1 2015 遵義 如圖17 2 拋物線y ax2 bx c a 0 與x軸交于a 4 0 b 2 0 與y軸交于點c 0 2 1 求拋物線的解析式 2 若點d為該拋物線上的一個動點 且在直線ac上方 當以a c d為頂點的三角形面積最大時 求點d的坐標及此時三角形的面積 圖17 2 變式跟進答圖 點悟 1 當已知拋物線上三點求二次函數(shù)的解析式時 一般采用一般式y(tǒng) ax2 bx c a 0 2 當已知拋物線頂點坐標 或?qū)ΨQ軸或最大 最小值 求解析式時 一般采用頂點式y(tǒng) a x m 2 k 3 當已知拋物線與x軸的交點坐標求二次函數(shù)的解析式時 一般采用兩根式y(tǒng) a x x1 x x2 類型之四二次函數(shù)與方程的關(guān)系 2015 寧波 已知拋物線y x m 2 x m 其中m是常數(shù) 1 求證 不論m為何值 該拋物線與x軸一定有兩個公共點 1 2015 蘇州 若二次函數(shù)y x2 bx的圖象的對稱軸是經(jīng)過點 2 0 且平行于y軸的直線 則關(guān)于x的方程x2 bx 5的解為 a x1 0 x2 4b x1 1 x2 5c x1 1 x2 5d x1 1 x2 5 d d 3 2015 瀘州 若二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象經(jīng)過點 2 0 且其對稱軸為x 1 則使函數(shù)值y 0成立的x的取值范圍是 a x 4或x 2b 4 x 2c x 4或x 2d 4 x 2 解析 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象經(jīng)過點 2 0 且其對稱軸為x 1 二次函數(shù)的圖象與x軸另一個交點為 4 0 a 0 拋物線開口向下 則使函數(shù)值y 0成立的x的取值范圍是 4 x 2 d 類型之五二次函數(shù)的圖象特征與a b c之間的關(guān)系 2015 遂寧 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖17 3所示 下列結(jié)論 2a b 0 abc 0 b2 4ac 0 a b c 0 4a 2b c 0 其中正確的個數(shù)是 a 2b 3c 4d 5 圖17 3 b 對于 易得a 0 對稱軸在y軸的右邊 故b 0 拋物線與y軸的交點在原點的下方 則c 0 所以abc 0 故 錯誤 對于 拋物線與x軸有兩個交點 所以b2 4ac 0 故 正確 對于 當x 1時 顯然y的值為正 所以y a b c 0 故 錯誤 對于 當x 2時 顯然y的值為負 所以y 4a 2b c 0 故 正確 1 2015 涼山 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象如圖17 4所示 下列說法 2a b 0 當 1 x 3時 y 0 若 x1 y1 x2 y2 在函數(shù)圖象上 當x1 x2時 y1 y2 9a 3b c 0 其中正確的是 a b c d 圖17 4 b 2 2015 珠海 已知拋物線y ax2 bx 3的對稱軸是直線x 1 1 求證 2a b 0 2 若關(guān)于x的方程ax2 bx 8 0的一個根為4 求方程的另一個根 點悟 二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向 與x軸有無交點 與y軸交點及對稱軸的位置入手 確定a b c及b2 4ac的符號 有時也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號 類型之六二次函數(shù)的綜合運用 2015 武威 如圖17 5 在直角坐標系中 拋物線經(jīng)過點a 0 4 b 1 0 c 5 0 其對稱軸與x軸相交于點m 1 求拋物線的解析式和對稱軸 2 在拋物線的對稱軸上是否存在一點p 使 pab的周長最小 若存在 請求出點p的坐標 若不存在 請說明理由 解析 1 利用兩根式法設拋物線的解析式為y a x 1 x 5 代入a 0 4 圖17 5 2 點a關(guān)于對稱軸的對稱點a 的坐標為 6 4 連結(jié)ba 交對稱軸于點p 連結(jié)ap 此時 pab的周長最小 可求出直線ba 的解析式 即可得出點p的坐標 2 p點存在 理由如下 點a 0 4 拋物線的對稱軸是x 3 點a關(guān)于對稱軸的對稱點a 的坐標為 6 4 例6答圖如答圖 連結(jié)ba 交對稱軸于點p 連結(jié)ap 此時 pab的周長最小 如圖17 6 二次函數(shù)y x2 2x m的圖象與x軸的一個交點為a 3 0 另一個交點為b 且與y軸交于點c 1 求m的值 2 求點b的坐標 3 該二次函數(shù)圖象上有一點d x y 其中x 0 y 0 使s abd s abc 求點d的坐標 圖17 6 解析 1 將a 3 0 的坐標代入二次函數(shù)解析式y(tǒng) x2 2x m 2 令y 0 解一元二次方程 3 由于s abd s abc 則c d關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱 解 1 將a 3 0 的坐標代入二次函數(shù)解析式 得 32 2 3 m 0 解得m 3 2 二次函數(shù)解析式為y x2 2x 3 令y 0 得 x2 2x 3 0 解得x 3或x 1 點b的坐標為 1 0 3 s abd s abc 點d在第一象限 點c的縱坐標與點d的縱坐標相等 點c d關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱 由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為x 1 點c的坐標