2019-2020學年浙江省寧波市慈溪市高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1直線在軸上的截距為（ ）ABC2D【答案】D【解析】因為,令,即可求得在軸上的截距.【詳解】 令得:直線在軸上的截距為:故選:D.【點睛】本題考查了求直線在的截距,解題關鍵是掌握直線的基礎知識,考查了計算能力,屬于基礎題.2已知空間向量,若,則實數(shù)( )ABCD【答案】D【解析】根據(jù)向量平行可得,即可求得答案.【詳解】 可得: 解得: 故選:D.【點睛】本題的解題關鍵是掌握向量平行的基礎知識,考查了計算能力,屬于基礎題.3直線(為常數(shù))經(jīng)過定點( )ABCD【答案】B【解析】將直線化為,即可求得答案.【詳解】直線化簡可得: 當, 則直線(為常數(shù))經(jīng)過定點是:.故選:B.【點睛】本題考查了含有參數(shù)直線過定點問題,解題關鍵是掌握求直線過定點的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.4在空間直角坐標系中,若點關于軸的一個對稱點的坐標為,則的值( )A等于B等于C等于D不確定【答案】C【解析】根據(jù)在空間直角坐標系中關于軸的對稱點特征:橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù),縱坐標不變,第三個坐標變?yōu)橄喾磾?shù),即可求得答案.【詳解】點關于軸的一個對稱點的坐標為根據(jù)在直角坐標系中關于軸的對稱點特征可得: 解得: 故選:C.【點睛】本題考查了在空間直角坐標系中有關于軸對稱問題,解題關鍵是掌握空間直角坐標系的特征,考查了空間想象能力和計算能力,屬于基礎題.5已知,則“”是“點和在直線的同側(cè)”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件定義,即可求得答案.【詳解】要保證點和在直線的同側(cè)需滿足,即解得:或 由可以推出或即由可以推出點和在直線的同側(cè), “”是“點和在直線的同側(cè)”的充分條件.由或不能推出即由點和在直線的同側(cè)不能推出 “”是“點和在直線的同側(cè)”的不必要條件. “”是“點和在直線的同側(cè)”的充分不必要條件故選:A.【點睛】本題主要考查了充分條件與必要條件的判定,其中熟記充分條件和必要條件的判定方法是解答的關鍵,著重考查了理解能力與運算能力,屬于基礎題.6過點作圓的切線,則切線的方程為( )ABC或D或【答案】A【解析】因為點在圓上,由,得到切線的斜率,由此能求出切線方程.【詳解】 圓心,半徑 點到圓心的距離: 在圓上, . 切線的斜率 切線方程為即.故選:A.【點睛】本題考查了求圓的切線方程,解題關鍵是掌握圓切線的求法和求切線時要判斷點是在圓上,還是圓外,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.7設為一條直線,為三個不同平面,給出下列四個命題:; ; ;其中,是假命題的個數(shù)為( )AB 個CD個【答案】D【解析】根據(jù)線面關系,和面面關系,逐項判斷,即可求得答案.【詳解】對于,由,無法判斷與位置,故假命題;對于,根據(jù)一個平面內(nèi)一條直線垂直另一個平面內(nèi)的兩條相交線,則這兩個平面垂直,可知由,不能推出,故假命題;對于,因為,可以推出,故是真命題.對于,因為由,不能推出,故假命題 假命題的個數(shù)是:個.故選:D.【點睛】本題考查了判斷面面位置關系和線面位置關系,解題關鍵是掌握線面關系基礎知識,考查了空間想象能力和分析能力,屬于基礎題.8已知雙曲線,分別為雙曲線的左、右焦點,過作直線交雙曲線于兩點(異于頂點),若,則的面積為( )ABCD【答案】D【解析】因為雙曲線,其通徑長為:,根據(jù),可知為雙曲線的通徑,根據(jù)曲線的通徑垂直軸,結(jié)合已知即可求得答案.【詳解】雙曲線其通徑長為:又 為雙曲線的通徑.根據(jù)曲線的通徑垂直軸 故選:D.【點睛】本題考查了考查了雙曲線和直線相關問題,解題關鍵是掌握雙曲線的基礎知識和通徑的求法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.9如圖,四面體中的面在平面內(nèi),平面,且平面,已知,若將四面體以為軸轉(zhuǎn)動,使點落到內(nèi),則兩點所經(jīng)過的路程之和等于( )ABCD【答案】B【解析】因為平面,且平面,將四面體以為軸轉(zhuǎn)動,使點落到內(nèi),即兩點以為圓心,以為半徑旋轉(zhuǎn)了圓周長,即可求得答案.【詳解】平面,且平面將四面體以為軸轉(zhuǎn)動,使點落到內(nèi) 兩點以為圓心,以為半徑旋轉(zhuǎn)了圓周長 兩點所經(jīng)過的路程之和等于 故選:B.【點睛】本題考查了點旋轉(zhuǎn)軌跡的長度,解題關鍵是判斷出旋轉(zhuǎn)軌跡形狀,考查了空間想象能力,屬于中檔題.10已知拋物線，圓，若點分別在上運動，且設點，則的最小值為（ ）ABC4D4【答案】B【解析】設點,圓圓心為,半徑為,要保證取得最小值,應,畫出幾何圖形,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】畫出幾何圖形,如圖:設點,圓圓心為,半徑為, 要保證取得最小值 根據(jù)圖像可知應: 又 故 令 由二次函數(shù)可知:當時,取得最小 的最小值為:.故選:B.【點睛】本題考查了圓錐曲線的最值問題,解題關鍵是掌握圓錐曲線的基礎知識和在使用換元法時,要注意引入新變量的范圍,在數(shù)量關系復雜時,畫出幾何草圖,數(shù)學結(jié)合,尋找數(shù)量關系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.二、填空題11雙曲線的漸近線方程為_，兩頂點間的距離等于_.【答案】 【解析】因為雙曲線,根據(jù)漸近線方程為,即可求得漸近線方程.由兩頂點間的距離為,即可求得答案.【詳解】雙曲線, 根據(jù)漸近線方程為 漸近線方程為,即根據(jù)有兩頂點間的距離為兩頂點間的距離等于故答案為:,.【點睛】本題考查了求雙曲線的漸近線方程和兩頂點間的距離,解題關鍵是掌握雙曲線的基礎知識,考查了計算能力,屬于基礎題.12如果原命題是“若整數(shù)不能被4整除，則是奇數(shù)”，那么的否命題可表述為_，的逆否命題是一個_命題（可填：“真”，“假”之一）.【答案】若整數(shù)能被整除,則是偶數(shù) 假 【解析】根據(jù)否命題的定義,即可求得的否命題.根據(jù)原命題和逆否命題真假相同,即可求得答案.【詳解】如果原命題是“若整數(shù)不能被4整除,則是奇數(shù)”可得的否命題為:若整數(shù)能被4整除,則是偶數(shù) 是“若整數(shù)不能被4整除,則是奇數(shù)”當整數(shù),不能被4整除,而是偶數(shù). 是假命題 根據(jù)原命題和逆否命題真假相同 的逆否命題是假命題故答案為:若整數(shù)能被整除,則是偶數(shù),假【點睛】本題考查了求命題的否命題和判斷命題的真假,解題關鍵是掌握否命題定義和原命題和逆否命題真假相同,考查了分析能力,屬于基礎題.13已知直線和圓，則與的位置關系是_，過圓心且與直線平行的直線的方程為_.（用一般式表示）【答案】相離 【解析】將圓的方程化為標準方程,找出圓心坐標與半徑,利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離,與半徑比較大小,即可得出直線與圓的位置關系.根據(jù)兩條直線平行斜率相等,即可求得直線平行的直線方程.【詳解】圓的方程化為標準方程可得:,圓心,半徑為將直線化為直線的一般方程: 根據(jù)點到直線距離公式求得圓心到直線距離: 與的位置關系是相離 設過圓心且與直線平行的直線方程為:將圓心代入,求得 故答案為:相離,.【點睛】本題考查了判斷直線和圓的位置關系和求直線方程,掌握判斷直線和圓的位置關系的方法是解題關鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.14如圖,在四棱錐中,平面,底面是菱形,且,則異面直線與所成的角的余弦值為_,點到平面的距離等于_.【答案】 【解析】因為底面是菱形,可得,則異面直線與所成的角和與所成的角相等,即可求得異面直線與所成的角的余弦值.在底面從點向作垂線 ,求證垂直平面,即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意畫出其立體圖形:如圖底面是菱形, 則異面直線與所成的角和直線與所成的角相等 平面,平面 又 ,底面是菱形 即故:異面直線與所成的角的余弦值為:在底面從點向作垂線 平面,平面 , 平面故是到平面的距離 故答案為:,.【點睛】本題考查了求異面直線的夾角和點到面距離,解題關鍵是掌握將求異面直線夾角轉(zhuǎn)化為共面直線夾角的解法,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎題.15已知實數(shù)滿足約束條件若的最大值為14，則實數(shù)_.【答案】【解析】作出不等式組所表示的可行域,根據(jù)目標函數(shù)的最大值為,結(jié)合圖像,即可求得答案.【詳解】 作出不等式組所表示的可行域,如圖:目標函數(shù)的最大值為,即即目標函數(shù)經(jīng)過和交點取得最大值 解得: 則交點為,將其代入得:故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,關鍵是根據(jù)所給的約束條件準確地畫岀可行域和目標函數(shù).在平面區(qū)域中,求線性目標函數(shù)的最優(yōu)解,要注意分析線性目標函數(shù)所表示的幾何意義,從而確定目標函數(shù)在何處取得最優(yōu)解.16已知正方體,點在底面內(nèi)運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為_.【答案】【解析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內(nèi)運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和 , 面面 在底面內(nèi)運動,且始終保持平面可得點在線段上運動, 面面, 直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等 面直線與底面所成的角為: 有圖像可知: 長是定值, 當最短時,即最大,即角最大設正方體的邊長為 , 故故答案為:【點睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.17已知橢圓和雙曲線有相同焦點，且它們的離心率分別為，設點是與的一個公共點，若，則的最小值為_.【答案】【解析】設橢圓方程是 ,雙曲線方程是 ,由橢圓和雙曲線定義可得:,求出,利用余弦定理,化簡的表達式,利用柯西不等式,即可求得答案.【詳解】設橢圓方程是 ,雙曲線方程是由橢圓和雙曲線定義可得: 即可求得: 在中由余弦定理可得: 即 利用柯西不等式 即 即 可得,故,當且僅當 取等號. 的最小值為故答案為:.【點睛】本題考查了利用柯西不等式求最值問題,解題關鍵是掌握橢圓和雙曲線基礎知識,靈活使用柯西不等式,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.三、解答題18已知在平面外,（1）如圖1,若,求證:三點共線;（2）如圖2,若,求證:.【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析【解析】（1）要證三點共線,只需證平面與有且只有一條經(jīng)過點的公共直線,是平面與的公共點,即可求證三點共線;（2）要證,只需證平面,將證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行,即可求得答案.【詳解】（1） , ,平面, 平面與有一個公共點,且平面與不重合, 平面與有且只有一條經(jīng)過點的公共直線即平面,. 又, ,平面,即是平面與的一個公共點, . 同理, 故三點共線. （2）顯然,平面,平面,且, , 平面. 平面, .【點睛】本題考查了求證三點共線和線面平行,解題關鍵是掌握將證線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行,考查了分析能力和推理能力,屬于基礎題.19在中,的角平分線在直線上,為垂足,且所在直線的方程為.（1）求點的坐標;（2）若點的坐標為,求邊上高的長度.【答案】（1） （2）【解析】（1）因為的角平分線在直線上,可設, 所在直線的方程為,即可求得答案;（2）因為,求得,求出直線方程,通過點到直線的距離公式,即可求得邊上高的長度.【詳解】（1） 的角平分線在直線上 可設, 所在直線的方程為. 由方程得:, 點的坐標為. （2） , , 直線方程為:,即, 的角平分線在直線上, ,直線方程為:,即, , , 直線方程為:,即, 由,解得點, 【點睛】本題考查了根據(jù)點到直線距離公式求三角形一邊的高,解題關鍵是掌握直線方程的基礎知識和點到直線的距離公式,可畫出草圖,數(shù)學結(jié)合,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20如圖,在長方體中滿足,若點在棱上點在棱上,且.（1）求證:;（2）當是的中點時,求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】（1）要證明,只需證明平面,將證線線垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直,即可求得答案;（2）以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系,根據(jù)面面角的向量求法即可求得答案.【詳解】（1） 平面,平面, . 又,且,平面, 平面, ,平面,. （2）由（1）知,即, 為的中點, ,得,. 以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系. 點,向量, 設平面的法向量為,則即 可取. 設平面的法向量為,則即 可取, , 由題意可知二面角的平面角是鈍角, 二面角的平面角的余弦值為.【點睛】本題考查了證明線線垂直和二面角的向量求法,解題關鍵是掌握將證線線垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直的方法和熟悉面面角的向量求法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.21已知拋物線的焦點到其準線的距離為.（1）求拋物線的方程;（2）設直線與拋物線相交于兩點,問拋物線上是否存在點,使得是正三角形？若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.【答案】（1） （2）存在，點的坐標為【解析】（1）因為拋物線,物線的焦點為,準線為,由,即可求得答案;（2）設,則由消掉得:,解得,假設拋物線上存在滿足條件的點,結(jié)合已知,即可得出答案.【詳解】（1）拋物線 拋物線的焦點為,準線為, 由得, 拋物線的方程為. （2）設,則由消掉得:即,根據(jù)韋達定理可得:,.又 由兩點間距離公式可得:,. 假設拋物線上存在滿足條件的點,設的中點,則,即. 是正三角形,且. 由和直線和可得的方程為:即. 又 由點在上,.由及點到直線的距離,得 由聯(lián)立解得或 檢驗點不在拋物線上, 存在滿足條件的點的坐標為. 另法參考：亦可由得或經(jīng)驗證,點不符合條件. 存在滿足條件的點的