蘇科數(shù)學(xué)教材編寫組召集錄象課案例評析三角形內(nèi)角和定理證明案例評析挖掘教材意圖，體現(xiàn)課改意識(shí) 江蘇省淮陰中學(xué) 韓 建一、 背景分析證明是九年義務(wù)教育八年級(jí)（下）（蘇科版）的十三章，是開啟整個(gè)初中階段幾何證明學(xué)習(xí)大門的鑰匙。三角形內(nèi)角和的定理證明是其第三節(jié)內(nèi)容的第三課時(shí)。學(xué)生在七年級(jí)和八年級(jí)（上）曾初步接觸過“說理”。另外，在前一課時(shí)學(xué)生已初步了解證明的意義、格式和基本要求。本課時(shí)是讓學(xué)生通過證明“三角形內(nèi)角和是180度”的過程，感受“證明”在確認(rèn)結(jié)論中的重要作用，這有別于前面的“說理”，也就是說，“證明三角形內(nèi)角和是180度”僅僅是載體，重要的是教會(huì)學(xué)生利用基本事實(shí)和定理進(jìn)行合乎邏輯的思考和有條理的表達(dá)。因此，在課堂教學(xué)中確定完成的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)如下：二、 教學(xué)目標(biāo)：1、 【知識(shí)與技能目標(biāo)】（1） 會(huì)證明三角形內(nèi)角和定理。（2） 簡單運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理。（3） 通過添加輔助線證題，增強(qiáng)觀察、猜想和理論證明的能力。2、 【過程與方法目標(biāo)】（1）感受探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程。（2）培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考問題和合乎情理地表達(dá)問題的能力。（3）通過滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。3、 【情感、態(tài)度目標(biāo)】通過師生的共同探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的概括、總結(jié)能力，激發(fā)學(xué)生探索問題的興趣。4、 【價(jià)值觀目標(biāo)】通過確認(rèn)“三角形內(nèi)角和是180度”體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值是發(fā)現(xiàn)和確認(rèn)數(shù)學(xué)規(guī)律。三、 教學(xué)重難點(diǎn)： 【重點(diǎn)：】定理的證明與運(yùn)用?！倦y點(diǎn)：】引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線解決問題，并進(jìn)行合乎情理地思考，有條理地表達(dá)。四、 教學(xué)過程：(一) 問題情境引入：師：我們以前在哪些學(xué)習(xí)階段研究過三角形內(nèi)角和？（引起回憶）生：小學(xué)、七年級(jí)（下）師：最初我們是怎樣說明三角形內(nèi)角和是1800的？（提出問題）生：將三角形的三個(gè)角搬到一起組成一個(gè)平角。師： 當(dāng)初你們是否對操作產(chǎn)生過懷疑（引起矛盾沖突）生：（1）剪拼是否要考慮縫隙，是否有誤差（2）無論剪拼多少個(gè)總有特殊性，總不可能說明全部三角形的內(nèi)角和都是1800【評析：（1）鑒于學(xué)生對證明已有一定的認(rèn)識(shí)和了解，并且對三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認(rèn)識(shí)，在教學(xué)過程設(shè)計(jì)上沒有從學(xué)生身邊熟悉的事例創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生觀察并親自動(dòng)手，而是簡單地對三角形內(nèi)角和的知識(shí)加以回憶。（2）學(xué)生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結(jié)果的準(zhǔn)確性，況且當(dāng)時(shí)有些學(xué)生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實(shí)要高于或低于180。（3）學(xué)生的懷疑是正常的，剪拼得到的結(jié)論有一定的合理性，但還需證明來確認(rèn)，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 教育學(xué)生研究問題要有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，】師： 能將黑板上畫的三角形的三個(gè)角搬到一起組成一個(gè)平角嗎？（黑板上畫的一個(gè)三角形ABC）生：不能！ 師： 我們不能搬！但能否根據(jù)我們近階段學(xué)過的平行線相關(guān)知識(shí)來移動(dòng)角，從而用相等的角來代換一下，從而達(dá)到搬的效果？來證明一下，我們大家一起分組探索，5分鐘后交流看看哪一組探索的方法多，找到的方法最簡單？（解決問題）【評析：培養(yǎng)學(xué)生有“公理化思想”，能運(yùn)用基本事實(shí)和定理證明問題，有學(xué)會(huì)運(yùn)用舊知解決新知，從以前的活動(dòng)中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力?！?二) 探索新知識(shí)1、 探索定理證明方法【活動(dòng)一】培養(yǎng)學(xué)生合乎情理的思考（一）。如圖 ，已知：ABC。求證：ABC1800（板書）。師：下面我們一起交流一下學(xué)生一：延長BC到D，過點(diǎn)C畫直線CEABE學(xué)生二：過點(diǎn)A畫直線DEBC學(xué)生三：過點(diǎn)A畫直線AMBC學(xué)生四：以點(diǎn)C為頂點(diǎn)CA為一邊畫ACD=AE學(xué)生五：延長BC到D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)CA為一邊畫ACE=A學(xué)生六：在BC上任取點(diǎn)D，過D作DFAC，DEAB交AB，AC于F，E?！驹u析：（1）在這一段我進(jìn)行了6次課堂巡視，其中5次參與學(xué)生的討論、交流，兩次分別對三個(gè)困難小組進(jìn)行重點(diǎn)輔導(dǎo)，巡視時(shí)關(guān)注面較廣，目的性明確。一位學(xué)困生本節(jié)課中共舉了兩次手。課后該班學(xué)生找到我說：“沒想到他本節(jié)課能舉手發(fā)言，學(xué)習(xí)的態(tài)度變化很大”。說明我們教師在課堂中應(yīng)充分重視、關(guān)愛學(xué)困生，讓每位學(xué)生都有所發(fā)展。（2）對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價(jià)要做到既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視關(guān)注他們學(xué)習(xí)的過程；要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立信心。對學(xué)生的精彩回答應(yīng)予以熱情的肯定，促使學(xué)生的思維更加活躍。在討論過程中我對每一個(gè)學(xué)生的回答都給以很高的評價(jià)，并喚起全班同學(xué)的共鳴，學(xué)生多次不由自主的鼓掌。（3）由于現(xiàn)場學(xué)生討論非常熱烈，教師把交流的時(shí)間延長2分鐘，交流時(shí)小組競爭很激烈，學(xué)生的方法很多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過老師預(yù)料，黑板已不夠用了。此時(shí)教師的主導(dǎo)作用是讓學(xué)生的主體地位得到充分的體現(xiàn)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。】【活動(dòng)二】培養(yǎng)學(xué)生合乎邏輯的思考（二）師：以上大家的表現(xiàn)，超過老師的想象，說明同學(xué)們是好學(xué)的，思維是積極的，沒來得及說的同學(xué)，課后小組集中一下，我們馬上進(jìn)行下一個(gè)環(huán)節(jié)好嗎？（充分發(fā)揮評價(jià)機(jī)制）生：好。師：我們用第一位同學(xué)的方法，請同學(xué)思考一下，我們怎樣把問題說清楚呢？【評析：（1）由于學(xué)生這方面的基礎(chǔ)不是很好，現(xiàn)場很難有學(xué)生說清楚，但老師在此不能著急，老師要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，老師要給時(shí)間讓學(xué)生充分的，反復(fù)的交流。（2）考慮這一段是教學(xué)的重點(diǎn)，教師選擇比較好的同學(xué)發(fā)言，一起整理為：分析思路 （三個(gè)并列）CEAB CEAB 平角等于1800（則要這三個(gè)條件）ACE=A BECD ACB+ACE+ECD1800（則要證之）ABACB1800 （要證之）雖然是老師整理的，但在教學(xué)中老師即時(shí)表揚(yáng)學(xué)生思維的合理性，讓學(xué)生確認(rèn)自身的價(jià)值】2、證明三角形內(nèi)角和定理-培育學(xué)生有條理的表達(dá)。E（1）老師板書證明：延長BC到D，過點(diǎn)C畫直線CEAB所以BECD（兩直線平行，同位角相等） ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）因?yàn)锳CB+ACE+ECD1800所以ABACB1800（等量代換）（2）還有其它方法嗎？讓學(xué)生板演E證明：延長BC到D，過點(diǎn)C畫直線CEAB所以ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）B+BCE1800（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)锽CEACB+ACE所以ABACB1800（等量代換）師：這兩種方法的最大的區(qū)別是什么？生：第一種方法是將三角形的三個(gè)內(nèi)角化為“平角等于1800”來說明問題的；第二種方法是將三角形的三個(gè)內(nèi)角化為“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于1800”說明問題的師：說的非常的好！【評析：（1）這里是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，教師在這里要交代什么是輔助線，添加時(shí)要用虛線畫出，輔助線怎么來得的在證明開始時(shí)要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚。規(guī)范書寫格式是自上而下的。有條理的表達(dá)上面的分析思路，有一個(gè)嚴(yán)密的邏輯思維過程。（2）我們教書不但要給學(xué)生傳授方法還要給學(xué)生傳授數(shù)學(xué)思想，三角形內(nèi)角和的證明實(shí)質(zhì)是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為“平角等于1800”和“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于1800”這一點(diǎn)應(yīng)該給學(xué)生交代清楚】3、定理應(yīng)用：（1）是ABC的一個(gè)外角, 與ABC的內(nèi)角有怎樣的關(guān)系？不相鄰內(nèi)角關(guān)系：=AB （進(jìn)而A B）相鄰內(nèi)角關(guān)系：C1800三角形內(nèi)角和定理推論：a) 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。b) 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角。（2）證明：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。已知：直角三角形ABC中，C=900。證明：AB=900證明：（略）（3）如圖，1、2、3是ABC的外角，猜想ABC的三個(gè)外角的和是多少？證明你的猜想證明：因?yàn)?BACACB=BACABC=ABCACB所以123=2BAC2ACB2ABC=2（BACACBABC）因?yàn)锽ACACBABC=1800所以123=3600（4）四邊形的內(nèi)角和是多少度？證明你的猜想。解：3600連結(jié)BD因?yàn)锳14=18002C3=1800所以A142C3=3600因?yàn)?2 =ABC 43=ADC所以AABCCADC=3600【評析：這里的應(yīng)用也有別于以前針對三角形內(nèi)角和的定理的訓(xùn)練，主要還是培養(yǎng)學(xué)生合乎情理的思考，有條理的表達(dá)的能力。三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用僅僅是一個(gè)載體。由于時(shí)間的原因，（3）與（4）沒有來得及完成，但由于上面已經(jīng)基本實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，沒完成不算是缺點(diǎn)。】五、教學(xué)小結(jié)：師：我們一起分享今天的收獲吧，分享你的成功，分享你的快樂感受！學(xué)生一：三角形內(nèi)角和的定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800及其推論；師：說的很好！學(xué)生二：通過思考、去探究、去總結(jié)三角形內(nèi)角和的定理證明方法不止一種，師：說的很好！這也印證了一句哲理“探索事物的正確答案的方法不止一個(gè)”；學(xué)生三：探索到一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律，最終還須證明；并且學(xué)會(huì)怎樣有條理的表達(dá)了。師：說的好！“證明”來確認(rèn)數(shù)學(xué)規(guī)律的唯一方法。學(xué)生四：三角形內(nèi)角和的定理證明中，添加輔助線的實(shí)質(zhì)是通過平行線來移動(dòng)角；師：說的好！我們證明問題的許多方法都來源于最初的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)是我們數(shù)學(xué)思維的源泉。因而我們不能放棄對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的思考。學(xué)生五：三角形內(nèi)角和的定理證明方法的實(shí)質(zhì)是一種數(shù)學(xué)“化歸”思想的運(yùn)用。即將三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800轉(zhuǎn)化為：(1)平角等于1800；(2)兩直線平行同旁內(nèi) 角和等于1800；師：說的好！這是我們數(shù)學(xué)研究問題的一貫思維方法。另外，為了證明上的需要,在原來圖形上添加的線叫輔助線,輔助線通常畫成虛線。證明初要交代清楚。師：下課。五、 布置作業(yè)： 習(xí)題11.3P177:3;P179180：7、8、9六、 教學(xué)反思：1、在備課時(shí)，教師不能只備教材而不備學(xué)生，只考慮自己如何“教”而忽視學(xué)生如何“學(xué)”。在這節(jié)課上產(chǎn)生的情況，由于我對學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)不足造成的有些內(nèi)容沒完成。因此，教師在備課時(shí)，要充分預(yù)計(jì)學(xué)生已有的知識(shí)水平，站在學(xué)生的角度來思考：如果自己是學(xué)生，我已懂了哪些知識(shí)？還有什么問題？不能只考慮教師教得舒暢、教得精彩，而應(yīng)更多地從學(xué)生的角度來思考“教什么”和“怎樣教”，做到以“學(xué)”定“教”。充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。2、教師的教學(xué)方式要適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)。新課程明確倡導(dǎo)動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式。這就要求教師的角色，應(yīng)當(dāng)從過去知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主性、探究性、合作性學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者和組織者。在教學(xué)過程中，我給學(xué)生設(shè)置了富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學(xué)生分組合作、自主地去探究和發(fā)現(xiàn)方法。3、本節(jié)課教師主導(dǎo)作用的發(fā)揮是比較好的，作用體現(xiàn)在讓學(xué)生的主體得到充分的展示。例如：證明方法的發(fā)現(xiàn)和小結(jié)等。4、要想使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的快樂，就必須讓學(xué)生體驗(yàn)到自己的力量，體會(huì)到探究與發(fā)現(xiàn)帶來的樂趣。教學(xué)中，我遵循的基本教學(xué)原則是激勵(lì)學(xué)生展開積極的思維活動(dòng)。不斷的表揚(yáng)學(xué)生，使學(xué)生感到自身的價(jià)值存在。給學(xué)生一個(gè)展示個(gè)性、享受成功的機(jī)會(huì)。創(chuàng)設(shè)民主和諧的氛圍，有助于減輕學(xué)生的心理負(fù)擔(dān)，使學(xué)生的個(gè)性見解自由表達(dá)，獨(dú)特做法主動(dòng)展示。例如：證明方法的多樣性，反映學(xué)生思維的多樣性，學(xué)生個(gè)性的多樣性；放手給學(xué)生自己小結(jié)體現(xiàn)不同學(xué)生有不同發(fā)展，交流是一種互補(bǔ)。5、 每個(gè)學(xué)生都有按自