第 1 頁（共 24 頁） 2016 年湖南省衡陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x| 1， N=y|y=1 則 MN=（ ） A（ ， 2 B（ 0， 1 C（ 0， 2 D 0， 1 2復(fù)數(shù) 的虛部為（ ） A l B i C D 3 =（ ） A B 1 C D 1 4給出下列三個(gè)命題 （ 1） “若 x 3 0，則 x 1”為假命題； （ 2）命題 p： x R， 2x 0，則 p： R， 20 （ 3） “= +k Z） ”是 “函數(shù) y=2x+）為偶數(shù) ”的充要條件 其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 5已知函數(shù) y= y=2x+）（ 0 ），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為 的交點(diǎn)，則 的值為（ ） A B C D 6如圖是計(jì)算某年級 500 名學(xué)生期末考試（滿分為 100 分）及格率 q 的程序框圖，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ） 第 2 頁（共 24 頁） A q= B q= C q= D q= 7我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分 數(shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過剩近似值，我們知道 =若令 ，則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第三次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為（ ） A B C D 8已知變量 x， y 滿足 ，則 的取值范圍是（ ） A B C D 9某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面的面積之比為（ ） A B C D 10如圖，已知雙曲線 上有一點(diǎn) A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 B，點(diǎn) F 為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足 ，且 ，則該雙曲線離心率 e 的取值范圍為（ ） A B C D 第 3 頁（共 24 頁） 11如圖，正 中線 中位線 交于 G，已知 A 轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列說法中，錯誤的是（ ） A動點(diǎn) A在平面 的射影在線段 B異面直線 AE 與 可能垂直 C三棱錐 A 體積有最大值 D恒有平面 A平面 2已知函數(shù) f（ x）的圖象在點(diǎn)（ f（ 處的切線方程 l： y=g（ x），若函數(shù) f（ x）滿足 x l（其中 I 為函數(shù) f（ x）的定義域），當(dāng) x ， f（ x） g（ x） （ x 0恒成立，則稱 函數(shù) f（ x）的 “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”，若函數(shù) f（ x） =x 在（ 0， e上存在一個(gè) “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”，則 a 的取值范圍為（ ） A B C D 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13已知冪函數(shù) y=f（ x）圖象過點(diǎn)（ 9， 3），則 f（ x） 于 _ 14二項(xiàng)式 的展開式中， 的系數(shù)之和是 _（用數(shù)字作答） 15如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名 同學(xué)的植樹棵樹，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的植樹總棵樹為 20 棵的概率是 _ 16在 ， =2 ， =3 ，設(shè) P 為 部及邊界上任意一點(diǎn)，若 = + ，則 的最大值為 _ 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 2 n N*） （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ， ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取 50 名同學(xué)（男 30 女 20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答選題情況如右表：（單位：人） 幾何題 代數(shù)題 總計(jì) 男同學(xué) 22 8 30 第 4 頁（共 24 頁） 女同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 （ 1）能否據(jù)此判斷有 把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？ （ 2）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在 5 7 分鐘，乙每次解答一道幾何題所 用的時(shí)間在 6 8 分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率 （ 3）現(xiàn)從選擇做幾何題的 8 名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 附表及公式 P（ k） k 2= 19如圖，在四棱錐 P ，底面 直角梯形， C， 0，平面底面 Q 為 中點(diǎn)， M 是棱 的點(diǎn)， D=， ， （ ）求證：平面 平面 （ ）若二面角 M C 為 30，設(shè) PM=t確定 t 的值 20在直角坐標(biāo)系 圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 中 是拋物線 x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 為 第一象限的交點(diǎn)，且 | （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若過點(diǎn) D（ 4， 0）的直線 l 與 于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 A 在 間，試求 積之比的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） = 滿足 f（ x）的圖象與直線 x+y 1=0 相切于點(diǎn)（ 0，1） （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）對任意 n N，定義 x） =x， （ x） =f（ f（ ， x） =x） +x） +x） +x）證明：對任意 x y 0，均有 x） y） 選修 4何證明選講 22如圖， O 的一條弦，延長 點(diǎn) C，使得 C，過點(diǎn) B 作 B，連接 O 交于點(diǎn) E，連接 O 交于點(diǎn) F （ ）求證： D， F， B， C 四點(diǎn)共圓； （ ）若 ， ，求 第 5 頁（共 24 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程選講 23已知在直角坐標(biāo)系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 ，（ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為 極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 2 4=0 （ ）求直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ ）設(shè)點(diǎn) P 是曲線 C 上的一個(gè)動點(diǎn)，求它到直線 l 的距離 d 的取值范圍 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 3| （ ）若不等 式 f（ x 1） +f（ x） a 的解集為空集，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ ）若 |a| 1， |b| 3，且 a 0，判斷 與 的大小，并說明理由 第 6 頁（共 24 頁） 2016 年湖南省衡陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x| 1， N=y|y=1 則 MN=（ ） A（ ， 2 B（ 0， 1 C（ 0， 2 D 0， 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 M 中不等式的解集確定出 M，求出 N 中 y 的范圍確定出 N，找出 M 與 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式 1，解得： 0 x 2，即 M=（ 0， 2， 由 N 中 y=1 1，得到 N=（ ， 1， 則 MN=（ 0， 1， 故選： B 2復(fù)數(shù) 的虛 部為（ ） A l B i C D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的基本概念 【分析】 把給出的復(fù)數(shù)采用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡為 a+a， b R）的形式，則虛部可求 【解答】 解： 所以，復(fù)數(shù) 的虛部為 故選 C 3 =（ ） A B 1 C D 1 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 由條件利用兩角和差的三角公式化簡所給的式子，求得結(jié)果 【解答】 解： =2 =21， 故選 ： D 4給出下列三個(gè)命題 第 7 頁（共 24 頁） （ 1） “若 x 3 0，則 x 1”為假命題； （ 2）命題 p： x R， 2x 0，則 p： R， 20 （ 3） “= +k Z） ”是 “函數(shù) y=2x+）為偶數(shù) ”的充要條件 其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷 （ 2）根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷 （ 3）根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷 【解答】 解：（ 1）若命題 “若 x=1，則 x 3=0”是真命題，所以其逆否命題亦為真命題，因此（ 1）不正確； （ 2）根據(jù)含量詞的命題否定方式，可知命題（ 2）正確 （ 3）當(dāng) 時(shí)，則函數(shù) ）為偶函數(shù)；反之也成立故 “ ”是 “函數(shù) y=2x+）為偶函數(shù) ”的充要條件；綜上可知：真命題的個(gè)數(shù) 2 故選： C 5已知函數(shù) y= y=2x+）（ 0 ），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為 的交點(diǎn)，則 的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的圖象 【分析】 由題意可得 +），把四個(gè)選擇支的值代入此式，檢驗(yàn)，可得結(jié)論 【解答】 解： 函數(shù) y= y=2x+）（ 0 ），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為 的交點(diǎn)， 可得 +） = ，把四個(gè)選項(xiàng)中的值代入此式， 檢驗(yàn)只有 A 中的數(shù)值適合， 故選： A 6如圖是計(jì)算某年級 500 名學(xué) 生期末考試（滿分為 100 分）及格率 q 的程序框圖，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ） 第 8 頁（共 24 頁） A q= B q= C q= D q= 【考點(diǎn)】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 通過題意與框圖的作用，即可判斷空白框內(nèi)應(yīng)填入的表達(dá)式 【解答】 解：由題意以及框圖可 知，計(jì)算某年級 500 名學(xué)生期末考試（滿分為 100 分）及格率 q 的程序框圖， 所以輸出的結(jié)果是及格率，所以圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入 故選 D 7我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的 “調(diào)日法 ”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù) x 的不足近似值和過剩近似值分別為 和 （ a， b， c， d N*），則是 x 的更為精確的不足近似值或過剩近似值，我們知道 =若令 ，則第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第三次用 “調(diào)日法 ”后可得 的近似分?jǐn)?shù)為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡單的合情推理 【分析】 利用 “調(diào)日法 ”進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由調(diào)日法運(yùn)算方法可知， 第一次用 “調(diào)日法 ”后得 是 的更為精確的過剩近似值，即 ， 第二次用調(diào)日法后得 是 更為精確的不足近似值，即 ， 第三次用調(diào)日法后得 是 更為精確的過剩近似值，即 ， 第 9 頁（共 24 頁） 故第三次調(diào)日法后得到 為 的近似分?jǐn)?shù) 故選 B 8已知變量 x， y 滿足 ，則 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)可得 =1+ 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與 A（ 2， 1）連線的斜率與 1 的和，數(shù)形結(jié)合可得 【解答】 解：作出滿足 所對應(yīng)的區(qū)域（如圖陰影）， 變形目標(biāo)函數(shù)可得 = =1+ ， 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與 A（ 2， 1）連線的斜率與 1 的和， 由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) B（ 2， 0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值 1+ = ； 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) C（ 0， 2）時(shí) ，目標(biāo)函數(shù)取最大值 1+ = ； 故答案為： ， 9某幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面與底面的面積之比為（ ） 第 10 頁（共 24 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知，該幾何體是高為 4 的四棱錐，計(jì)算出最小面的面積與最大面是底面的面積，求出比值即可 【解答】 解：由三視圖可知，該幾何體是高為 4 的四棱錐， 計(jì)算可得最小面的面積為 1 4=2， 最大的是底 面面積為 （ 2+4） 2 2 1=5， 所以它們的比是 故選： C 10如圖，已知雙曲線 上有一點(diǎn) A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為 B，點(diǎn) F 為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足 ，且 ，則該雙曲線離心率 e 的取值范圍為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義可得， |2|2左焦點(diǎn) F，連接 可得四邊形 矩形，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得 2c|2a，由離心率公式和三角函數(shù)的輔助角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍 【解答】 解：在 ， |c， |2c， 在直角三角形 ， ，可得 |2|2 取左焦點(diǎn) F，連接 可得四邊形 矩形， 第 11 頁（共 24 頁） | |=| |2c|2a， ， ， ， ， 故選： A 11如圖，正 中線 中位線 交于 G，已知 A 轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列說法中，錯誤的是（ ） A動點(diǎn) A在平面 的射影在線段 B異面直線 AE 與 可能垂直 C三棱錐 A 體積有最大值 D恒有平面 A平面 考點(diǎn)】 平面與平面之間的位置關(guān)系；異面直線及其所成的角 【分析】 由斜線的射影定理可判斷 A 正確；由異面直線所成的角的概念可判斷 B 不正確；由三棱錐的體積計(jì)算公式，可判斷 C 正確；由面面垂直的判定定理，可判斷 D 正確； 【解答】 解： AD=AE， AG， 正三角形， AG， 平面 A而平面 平面 A兩平面的交線為 A在平面 F 上，故 A 正確； E、 F 為線段 中點(diǎn)， A是異面 直線 AE 與 成的角，當(dāng)（ AE） 2+ AF） 2 時(shí)，直線 AE 與 直，故 B 不正確； 三棱錐 A 底面面積 S 面積為定值，由（ 1）知， A到 距離即為此三棱錐的高，故當(dāng)平面 平面 ，三棱錐的高最大為 AG，從而三棱錐體積最大，故 C 正確 由 A 知，平面 A定過平面 垂線， 恒有平面 A平面 D 正確； 故選 B 12已知函數(shù) f（ x）的圖象在點(diǎn)（ f（ 處的切線方程 l： y=g（ x），若函數(shù) f（ x）滿足 x l（其中 I 為函 數(shù) f（ x）的定義域），當(dāng) x ， f（ x） g（ x） （ x 0恒成立，則稱 函數(shù) f（ x）的 “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”，若函數(shù) f（ x） =x 在（ 0， e上存在一個(gè) “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”，則 a 的取值范圍為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 第 12 頁（共 24 頁） 【分析】 根據(jù)已知函數(shù)，求出切線方程，構(gòu)造 h（ x） =f（ x） g（ x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，找到其轉(zhuǎn)折點(diǎn)，并討論 a 的取值范圍 【解答】 解：設(shè) f（ x） = 21，則在該切點(diǎn)的切線的斜率 k 切 =f（ = 所以切線方程為 y=g（ x） =（ ）（ x +a 顯然 h（ =0； 當(dāng) a 0 時(shí)， h（ x）在（ 0， 單調(diào)遞增，在（ +）上單調(diào)遞減，所以 h（ x） h（ =0 因此，當(dāng) x （ 0， f（ x） g（ x） （ x 0；當(dāng)當(dāng) x （ +）時(shí) f（ x） g（ x） （ x 0 所以當(dāng) a 0 時(shí)函數(shù) f（ x）在（ 0， +）上不存在 “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”排除選項(xiàng) A、 B、 C，故選 D （本題也可以利用二階導(dǎo)函數(shù)為 0，求解： ，顯然只有當(dāng) a 0 時(shí)有解，其解就為 “轉(zhuǎn)折點(diǎn) ”橫坐標(biāo)， 故 ，由題意 ，所以 ，故 故選： D 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13已知冪函數(shù) y=f（ x）圖象過點(diǎn)（ 9， 3），則 f（ x） 于 【考點(diǎn)】 定積分；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域 【分析】 根據(jù)根據(jù)冪函數(shù) f（ x） =求得 n 的值，再求定積分的值 【解答】 解：設(shè) f（ x） = 則 ， f（ x） = ， 故答案為： 14二項(xiàng)式 的展開式中， 的系數(shù)之和是 （用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，利用冪指數(shù)求解 的系數(shù)之和 【解答】 解： 的展開式的通項(xiàng)為第 13 頁（共 24 頁） 當(dāng) r=4 時(shí)，可得 系數(shù)為 ； 當(dāng) r=6 時(shí)，可得 系數(shù)為 ； 所以 系數(shù)之和是 故答案為： 15如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵樹，分別從甲、 乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，則這兩名同學(xué)的植樹總棵樹為 20 棵的概率是 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖 【分析】 記甲組四名同學(xué)為 a， b， c， d，乙組四名同學(xué)為 E， F， G， H，寫出他們植樹的棵樹，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算對應(yīng)的概率值即可 【解答】 解：記甲組四名同學(xué)為 a， b， c， d，他們植樹的棵樹依次為 9， 9， 11， 11： 乙組四名同學(xué)為 E， F， G， H，他們植樹的棵樹 依次為 9， 8， 9， 10， 分別從甲，乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的結(jié)果有 16 個(gè)，它們是 （ a， E）（ a， F）（ a， G）（ a， H）（ b， E）（ b， F）（ b， G）（ b， H） （ c， E）（ c， F）（ c， G）（ c， H）（ d， E）（ d， F）（ d， G）（ d， H） 設(shè)選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為 20 為事件 C，則 C 中的結(jié)果有 4 個(gè)， 它們是（ c， E）（ d， E）（ c， G）（ d， G）， 故所求概率為 P（ C） = 16在 ， =2 ， =3 ，設(shè) P 為 部及邊界上任意一點(diǎn)，若 = + ，則 的最大值為 【考點(diǎn) 】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 可作出圖形，過點(diǎn) P 作 平行線，并分別交 M， N，可設(shè) ，0 t 1，從而可以得到 ，而可設(shè) ，從而 ， 0 m 1，這樣即可得出 ，從而得到 ，從而有 0， 0，3+2=6 6，由基本不等式即可得到 ，從而便可得出 的最大值 【解答】 解：如圖，過點(diǎn) P 作 平行線交 點(diǎn) M、 N； 設(shè) ，則： ， 0 t 1； 第 14 頁（共 24 頁） 設(shè) ，則 ， 0 m 1； ； ； 又 ； =2=3（ 1 t） m； 0， 0， 3+2=6m 6； 由 得， ； ； 的最大值為 故答案為 ： 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 2 n N*） （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ， ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）由已知得 當(dāng) n 2 時(shí)， 2 21=1 1，兩式相減，能推導(dǎo)出 （ ）由 = 得 = 由此能求出數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【解答】 解： （ ）當(dāng) n=1 時(shí)，由 2 ： 當(dāng) n 2 時(shí)， 2 21=1 1， 上面兩式相減，得： 第 15 頁（共 24 頁） 所以數(shù)列 以首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列 （ ） = = 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） =1 18心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取 50 名同學(xué)（男 30 女 20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答選題情況如右表：（單位：人） 幾何題 代數(shù)題 總計(jì) 男同學(xué) 22 8 30 女同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 （ 1）能否據(jù)此判斷有 把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？ （ 2）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在 5 7 分鐘，乙每次解答一道幾何 題所用的時(shí)間在 6 8 分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率 （ 3）現(xiàn)從選擇做幾何題的 8 名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 附表及公式 P（ k） k 2= 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用 ；離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【分析】 （ 1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論； （ 2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率； （ 3）確定 X 的可能值有 0， 1， 2依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可 【解答】 解：（ 1）由表中數(shù)據(jù)得 觀測值， 所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有 把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)； 第 16 頁（共 24 頁） （ 2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別 為 x、 y 分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)椋ㄈ鐖D所示） 設(shè)事件 A 為 “乙比甲先做完此道題 ”則滿足的區(qū)域?yàn)?x y， 由幾何概型 即乙比甲先解答完的概率為 ； （ 3）由題可知在選擇做幾何題的 8 名女生中任意抽取兩人，抽取方法有 種，其中甲、乙兩人 沒有一個(gè)人被抽到有 種；恰有一人被抽到有 種；兩人都被抽到有 種， X 可能取值為 0， 1， 2， ， ， X 的分布列為： X 0 1 2 P 19如圖，在四棱錐 P ，底面 直角梯形， C， 0，平面底面 Q 為 中點(diǎn)， M 是棱 的點(diǎn)， D=， ， （ ）求證：平面 平面 （ ）若二面角 M C 為 30，設(shè) PM=t確定 t 的值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定 第 17 頁（共 24 頁） 【分析】 （ ）法一：由 Q 為 中點(diǎn)，知四邊形 平行四邊形，故 0，知 平面 平面 平面此能夠證明平面 平面 法二：由 Q 為 中點(diǎn)，知四邊形 平行四邊形，故 0，知 0由 D，知 平面 此證明平面 平面 （ ）由 D， Q 為 中點(diǎn)，知 平面 平面 平面 面 D，知 平面 Q 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出 t=3 【解答】 證明：（ ）證法一： ， ， Q 為 中點(diǎn)， 四邊形 平行四邊形， 0 0，即 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 面 平面 平面 證法二： ， ， Q 為 中點(diǎn)， 四邊形 平行四邊形， 0 0 D， Q=Q， 平面 平面 平面 平面 （ ） D， Q 為 中點(diǎn)， 平面 平面 平面 面 D， 平面 如圖，以 Q 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則平面 法向量為 ； Q（ 0， 0， 0）， ， ， 設(shè) M（ x， y， z），則 ， ， ， 第 18 頁（共 24 頁） ， 在平面 ， ， ， 平面 向量為 二面角 M C 為 30， ， t=3 20在直角坐標(biāo)系 圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 中 是拋物線 x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 為 第一象限的交點(diǎn)，且 | （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若過點(diǎn) D（ 4， 0）的直線 l 與 于不同的兩點(diǎn) A、 B，且 A 在 間，試求 積之比的取值范 圍 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【分析】 （ 1）求出 1， 0），設(shè) M（ 利用拋物線定義得到 出 M 坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合 ，解得 a， b即可得到橢圓 方程 第 19 頁（共 24 頁） （ 2）設(shè) l 的方程為 x= 代入 ，由 0，解得 4，設(shè) A（ B（ x2，利用韋達(dá)定理，通過令 ，則 且 0 1，將 用 ，求出 積之比的取值范圍 【解答】 解：（ 1）依題意知 1， 0），設(shè) M（ 由拋物線定義得 | ，即 將 代入拋物線方程得 ， 進(jìn)而由 及 ，解得 ， 故橢圓 方程為 （ 2）依題意知直線 l 的斜率存在且不為 0，設(shè) l 的方程為 x= 代入 ， 整理得（ 3） 46=0， 由 0，解得 4 設(shè) A（ B（ 則 令 ，則 且 0 1 將 入 得 ，消去 ， 即 第 20 頁（共 24 頁） 由 4 得 ，所以 1 且 32 10+3 0， 解得 或 1 3 又 0 1， 故 積之比的取值范圍為 21已知函數(shù) f（ x） = 滿足 f（ x）的圖象與直線 x+y 1=0 相切于點(diǎn)（ 0，1） （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）對任意 n N，定義 x） =x， （ x） =f（ f（ ， x） =x） +x） +x） +x）證明：對任意 x y 0，均有 x） y） 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 （ 1）利用切點(diǎn)在函數(shù)圖象上和在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率得出 a=b=c，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式； （ 2）根據(jù)函數(shù)的迭代關(guān)系，猜想函數(shù)的單調(diào)性，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明函數(shù)的單調(diào)性 【解答】 解：（ 1）因?yàn)?y=f（ x）的圖象過（ 0， 1）點(diǎn)， f（ 0） =1，所以 故 c 0 且 b=c 又 ， f（ 0） = 1，即 ， a=c 由 可得 （ 2） f（ x）的定義域?yàn)椋?0， +），且 x） =x 在（ 0， +）上為增函數(shù) 而 在（ 0， +）上為減函數(shù)， 在（ 0， +）上為增函數(shù) 在（ 0， +）上為減函數(shù)， 猜想 x）在（ 0， +）上為增函數(shù)， （ x）在（ 0， +）上為減函數(shù)， 用數(shù)學(xué)歸納法證明 x）在（ 0， +）上為增函數(shù)如下： 當(dāng) n=0 時(shí)， x） =x 在（ 0， +）上為增函數(shù) 假設(shè)當(dāng) n=2k 時(shí)， x）在（ 0， +）上為增函數(shù)= 第 21 頁（共 24 頁） 由假設(shè)可知 x）在（ 0， +）上為增函數(shù)，所以 （ x）在（ 0， +）上為增函數(shù) 所以命題對于 n=2（ k+1）時(shí)也成立故對于任意自然數(shù) k， x）在（ 0， +）上為增函數(shù) 同理可證 （ x）在（ 0， +）上為減函數(shù) 當(dāng) k=0 時(shí) 在（ 0， +）上為增函數(shù) x） =x； x） =f（ x），又由 （ x） =f（ x） 當(dāng) k=1 時(shí) x） +x） =f0x） +f1x） 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知 x） +x）在（ 0， +）上也為增函數(shù) 類似： x） +（ x） =f0x） +f1x） 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知 x） +（ x）在（ 0， +）上也為增函數(shù) 當(dāng) n=2m+1（ m N）時(shí)， x） =x） +x） +x） +x） +x） +（ x） 易知此時(shí) （ x）在（ 0， +）上為增函數(shù) 所以對任意 x y 0， （ x） （ y） 當(dāng) n=2m（ m N）時(shí)， x） =x） +x） +x） +x） +2（ x） +（ x） +x） 易知此時(shí) x）在（ 0， +）上也為增函數(shù) 所以對任意 x y 0， x） y） 綜上所述：對任意 x y 0， x） y） 選修 4何證明選講 22如圖， O 的一條弦，延長 點(diǎn) C，使得 C，過點(diǎn) B 作 B，連接 O 交于點(diǎn) E，連接 O 交于點(diǎn) F （ ）求證： D， F， B， C 四點(diǎn)共圓； （ ）若 ， ，求 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比 例線段；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定 【分