第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),描述函數(shù)變化快慢,微分,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀(guān)上研究函數(shù)),導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家Ferma在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton,業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)馬費(fèi)馬（1601-1665）是一位對(duì)我們有教益的法國(guó)數(shù)學(xué)家，出身于皮革商之家，求學(xué)期間沒(méi)有留下值得傳誦的奇聞?shì)W事，30歲時(shí)獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。畢業(yè)后擔(dān)任律師，并兼任圖盧斯議會(huì)顧問(wèn)。費(fèi)馬的社會(huì)工作非常繁忙，但他酷愛(ài)數(shù)學(xué)，利用全部業(yè)余時(shí)間，從事數(shù)學(xué)研究。他專(zhuān)門(mén)結(jié)交有名的數(shù)學(xué)家，與笛卡爾、帕斯卡（Pascal，法，1623-1662）等人過(guò)從甚密。在解析幾何、微積分、數(shù)論和概率論等領(lǐng)域都作出了卓越貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。費(fèi)馬在笛卡爾幾何學(xué)發(fā)表之前，就于1629年發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理，建立了坐標(biāo)法，是解析幾何的發(fā)明人之一。同年寫(xiě)出的求最大和最小值的方法一文引入了無(wú)窮小量“E”，給出了求函數(shù)極值的方法，也給出了求曲線(xiàn)的切線(xiàn)的方法。費(fèi)馬,的這些工作，使他成為微積分的先驅(qū)者之一。費(fèi)馬善于思考，特別善于猜想，但不善于動(dòng)手。讀別人的著作時(shí)，邊看邊想，隨想隨錄，順手把一些體會(huì)和猜想寫(xiě)在書(shū)的空白處。他有超人的直覺(jué)能力，提出了數(shù)論中的許多猜想，這些猜想，包括有名的費(fèi)馬大定理，經(jīng)歐拉、高斯和20世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，德，1862-1943），以及英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯（A.Wiles，1953-）等許多數(shù)學(xué)大師苦思冥想，均獲證明。費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，人們也稱(chēng)費(fèi)馬是“猜想數(shù)學(xué)家”。費(fèi)馬性情謙和內(nèi)向，好靜成癖，無(wú)意構(gòu)制鴻篇巨著，更無(wú)意拋頭露面，付梓刊印。他的研究成果，是他去世后，由他的兒子從遺書(shū)的眉批，朋友的書(shū)信，以及殘留的舊紙堆中整理匯集而出版的，寫(xiě)作年月大多不詳。他生前沒(méi)有完整地著作及時(shí)行世，因而同時(shí)代的人除少數(shù)幾位密友外，他的名字鮮為人知，直到18世紀(jì)他還不太知名。然而進(jìn)入19世紀(jì)中葉，隨著數(shù)論的發(fā)展，他的著作才引導(dǎo)起數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家的研究興趣，隨后，費(fèi)馬的名字才在歐洲大地不脛而走。,科學(xué)巨擘牛頓數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展，幾乎總是建立在做出一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上，需要一個(gè)人來(lái)走那最高和最后的一步。這個(gè)人要能夠敏銳地從紛亂的猜測(cè)和說(shuō)明中理清前人的有價(jià)值的想法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來(lái)，并且足夠大膽地制定一個(gè)宏偉的計(jì)劃。在微積分中，這個(gè)人就是牛頓。牛頓（Newton，lsaac），1642年12月25日生于英國(guó)林肯郡的一個(gè)普通農(nóng)民家庭。父親在他出生前兩個(gè)月就去世了，母親在他3歲時(shí)改嫁，從那以后，他被寄養(yǎng)在貧窮的外祖母家。牛頓并不是神童，他從小在低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育，學(xué)業(yè)平庸，時(shí)常受到老師的批評(píng)和同學(xué)的欺負(fù)。上中學(xué)時(shí)，牛頓對(duì)機(jī)械模型設(shè)計(jì)有特別的興趣，曾制作了水車(chē)、風(fēng)車(chē)、木鐘等許多玩具。1659年，17歲的牛頓被母親召回管理田莊，但在牛頓的舅父和當(dāng)?shù)馗裉m瑟姆中學(xué)校長(zhǎng)的反復(fù)勸說(shuō)下，他母親最終同意讓牛頓復(fù)學(xué)。1660年秋，牛頓在輟學(xué)9個(gè)月后又回到了格蘭瑟姆中學(xué)，為升學(xué)做準(zhǔn)備。,1661年，牛頓如愿以?xún)敚詢(xún)?yōu)異的成績(jī)考入久負(fù)盛名的劍橋大學(xué)三一學(xué)院，開(kāi)始了苦讀生涯。大學(xué)期間除了巴羅（Barrow）外，他從他的老師那里只得到了很少的一點(diǎn)鼓舞，他自己做實(shí)驗(yàn)并且研讀了大量自然科學(xué)著作，其中包括笛卡爾（Descartes）的哲學(xué)原理，伽利略（Galileo）的恒星使節(jié)與兩大世界體系的對(duì)話(huà)，開(kāi)普勒（Kepler）的光學(xué)等著作。大學(xué)課程剛結(jié)束，學(xué)校因?yàn)閭惗氐貐^(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他回到家鄉(xiāng)，度過(guò)了1665年和1666年，并在那里開(kāi)始了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作由觀(guān)察蘋(píng)果落地，他發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，這是打開(kāi)無(wú)所不包的力學(xué)科學(xué)的鑰匙。他研究流數(shù)法和反流數(shù)法，獲得了解決微積分問(wèn)題的一般方法。他用三棱鏡分解出七色彩虹，做出了劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)，即像太陽(yáng)光那樣的白光，實(shí)際上是由從紫到紅的各種顏色混合而成的?！八羞@些”，牛頓后來(lái)說(shuō)，“是在1665年和1666年兩個(gè)鼠疫年中做的，因?yàn)樵谶@些日子里，我正處在發(fā)現(xiàn)力最旺盛的時(shí)期，而且對(duì)于數(shù)學(xué)和（自然）哲學(xué)的關(guān)心，比其它任何時(shí)候都多”。后世有人評(píng)說(shuō)：“科學(xué)史上沒(méi)有別的成功的例子能和牛頓這兩年黃金歲月相比”。1667年復(fù)活節(jié)后不久，牛頓回到劍橋，但他對(duì)自己的重大發(fā)現(xiàn)卻未作宣布。當(dāng)年的10月他被選為三一學(xué)院的初級(jí)委員。翌年，獲得碩士學(xué)位，同時(shí)成為高級(jí)委員。1669年，39歲的巴羅認(rèn)識(shí)到牛頓的才華，主動(dòng)宣布牛頓的學(xué)識(shí)己超過(guò)自己，欣然把盧卡斯（Lucas）教授的職位讓給了年僅26歲的牛頓，這件事成了科學(xué)史上的一段佳話(huà)。,牛頓是他那個(gè)時(shí)代的世界著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。牛頓工作的最大特點(diǎn)是辛勤勞動(dòng)和獨(dú)立思考。他有時(shí)不分晝夜地工作，常常好幾個(gè)星期一直在實(shí)驗(yàn)室里度過(guò)。他總是不滿(mǎn)足自己的成就，是個(gè)非常謙虛的人。他說(shuō)：“我不知道，在別人看來(lái)，我是什么樣的人。但在自己看來(lái)，我不過(guò)就像是一個(gè)在海濱玩耍的小孩，為不時(shí)發(fā)現(xiàn)比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對(duì)于展現(xiàn)在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)”。在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位，這不僅是因?yàn)檫@些成就開(kāi)拓了嶄新的近代數(shù)學(xué)，而且還因?yàn)榕ｎD正是依靠他所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)方法實(shí)現(xiàn)了自然科學(xué)的一次巨大綜合而開(kāi)拓了近代科學(xué)。單就數(shù)學(xué)方面的成就，就使他與古希臘的阿基米德、德國(guó)的“數(shù)學(xué)王子”高斯一起，被稱(chēng)為人類(lèi)有史以來(lái)最杰出的三大數(shù)學(xué)家。微積分的發(fā)明和制定是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。微積分所處理的一些具體問(wèn)題，如切線(xiàn)問(wèn)題、求積問(wèn)題、瞬時(shí)速度問(wèn)題和函數(shù)的極大、極小值問(wèn)題等，在牛頓之前就己經(jīng)有人研究。17世紀(jì)上半葉，天文學(xué)、力學(xué)與光學(xué)等自然科學(xué)的發(fā)展使這些問(wèn)題的解決日益成為燃眉之急。當(dāng)時(shí)幾乎所有的科學(xué)大師都竭力尋求有關(guān)的數(shù)學(xué)新工具，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無(wú)窮小算法，并且在牛頓誕生前后的一個(gè)時(shí)期內(nèi)取得了迅速的發(fā)展。牛頓超越前人的功績(jī)是在于他能站在更高的角度，對(duì)以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普遍的算法微分與積分，并確立了這兩類(lèi)運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最后的也是最關(guān)鍵的一步，為其深入發(fā)展與廣泛應(yīng)用鋪平了道路。,牛頓將畢生的精力獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)和科學(xué)事業(yè)，為人類(lèi)做出了卓越的貢獻(xiàn)，贏(yíng)得了崇高的社會(huì)地位和榮譽(yù)。自1669年擔(dān)任盧卡斯教授職位后，1672年由于設(shè)計(jì)、制造了反射望遠(yuǎn)鏡，他被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員。1688年，被推選為國(guó)會(huì)議員。1697年，發(fā)表了不朽之作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。1699年，任英國(guó)造幣廠(chǎng)廠(chǎng)長(zhǎng)。1703年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，以后連選連任。直至逝世為止。1705年被英國(guó)女王封為爵士，達(dá)到了他一生榮譽(yù)之巔。1727年3月31日，牛頓在患肺炎與痛風(fēng)癥后溘然辭世，葬禮在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷廳隆重舉行。當(dāng)時(shí)參加了牛頓葬禮的伏爾泰（F.M.A.Voltaire）看到英國(guó)的大人物都爭(zhēng)相抬牛頓的靈柩后感嘆說(shuō)：“英國(guó)人悼念牛頓就像悼念一位造福于民的國(guó)王”。三年后詩(shī)人波普（A.Pope）在為牛頓所作的墓志銘中寫(xiě)下了這樣的名句：自然和自然規(guī)律隱藏在黑夜里，上帝說(shuō)：降生牛頓！于是世界就充滿(mǎn)光明。,博學(xué)多才的符號(hào)大師萊布尼茨萊布尼茨（Leibniz)，1646年7月l日出生于德國(guó)萊比錫的一個(gè)書(shū)香門(mén)第。其父親是萊比錫大學(xué)的哲學(xué)教授，在萊布尼茨6歲時(shí)去世了。萊布尼茨自幼聰慧好學(xué)，童年時(shí)代便自學(xué)他父親遺留的藏書(shū)，并自學(xué)中、小學(xué)課程。1661年，15歲的萊布尼茨進(jìn)入了萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，17歲獲得學(xué)士學(xué)位，同年夏季，萊布尼茨前往熱奈大學(xué)，跟隨魏格爾（E.weigel）系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了歐氏幾何，使他開(kāi)始確信畢達(dá)哥拉斯柏拉圖（Pythagoras-Plato)的宇宙觀(guān)：宇宙是一個(gè)由數(shù)學(xué)和邏輯原則所統(tǒng)率的和諧的整體。1664年，18歲的萊布尼茨獲得哲學(xué)碩士學(xué)位。20歲他在阿爾特道夫獲得博士學(xué)位。1672年，他以外交官身份出訪(fǎng)巴黎，在那里結(jié)識(shí)了惠更斯（Huygens，荷蘭人）以及其他許多杰出的學(xué)者，從而更加激發(fā)了萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。在惠更斯的指導(dǎo)下，萊布尼茨系統(tǒng)研究了當(dāng)時(shí)一批著名數(shù)學(xué)家的著作。1673年出訪(fǎng)倫敦期間，萊布尼茨又與英國(guó)學(xué)術(shù)界知名學(xué)者建立了聯(lián)系，從此，他以非凡的理解力和創(chuàng)造力進(jìn)入了數(shù)學(xué)研究的前沿陣地。1676年他定居德國(guó)漢諾威，任腓特烈公爵的法律顧問(wèn)及圖書(shū)館館長(zhǎng)，直到1716年11月4日逝世，長(zhǎng)達(dá)40年。萊布尼茨曾歷任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，巴黎科學(xué)院院士，創(chuàng)建了柏林科學(xué)院并擔(dān)任第一任院長(zhǎng)。萊布尼茨的研究興趣非常廣泛。他的學(xué)識(shí)涉及哲學(xué)、歷史、語(yǔ)言、數(shù)學(xué)、生物、地質(zhì)、物理、機(jī)械、神學(xué)、法學(xué)、外交等領(lǐng)域，在每個(gè)領(lǐng)域中都有杰出的成就。然而，由于他獨(dú)立創(chuàng)建了微積分，并精心設(shè)計(jì)了非常巧妙而簡(jiǎn)潔的微積分符號(hào)，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱(chēng)號(hào)聞名于世。,萊布尼茨在從事數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，深受他的哲學(xué)思想的支配，他說(shuō)dx和x相比，如同點(diǎn)和地球，或地球半徑與宇宙半徑相比。在其積分法論文中，他從求曲線(xiàn)所圍面積的積分概念出發(fā)，把積分看作是無(wú)窮小的和。并引入積分符號(hào)（它是通過(guò)把拉丁文“Summa”的字頭S拉長(zhǎng)而得到的）。他的這個(gè)符號(hào)，以及微積分的要領(lǐng)和法則一直保留到當(dāng)今的教材中。萊布尼茨也發(fā)現(xiàn)了微分和積分是一對(duì)互逆的運(yùn)算，并建立了溝通微分與積分內(nèi)在聯(lián)系的微積分基本定理，從而使原本各自獨(dú)立的微分學(xué)和積分學(xué)成為統(tǒng)一的微積分學(xué)的整體。萊布尼茨是數(shù)學(xué)史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一，堪稱(chēng)符號(hào)大師。他曾說(shuō)：“要發(fā)明，就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?hào)，要做到這一點(diǎn)，就要用含義簡(jiǎn)明的少量符號(hào)來(lái)表達(dá)和比較忠實(shí)地描繪事物的內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動(dòng)”。正像印度阿拉伯的數(shù)學(xué)促進(jìn)了算術(shù)和代數(shù)發(fā)展一樣，萊布尼茨所創(chuàng)造的這些數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)微積分的發(fā)展起了很大的促進(jìn)作用。歐洲大陸的數(shù)學(xué)得以迅速發(fā)展，萊布尼茨的巧妙符號(hào)功不可沒(méi)，除積分、微分符號(hào)外，他創(chuàng)設(shè)的符號(hào)還有商“a/b”，比“a:b”，相似“”，全等“”，并“”，交“”以及函數(shù)和行列式等符號(hào)。牛頓和萊布尼茨對(duì)微積分都做出了巨大貢獻(xiàn)，但兩人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用幾何方法研究微積分的；萊布尼茨主要是在研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)和面積的問(wèn)題上，運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的。牛頓在微積分的應(yīng)用上更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，造詣精深；但萊布尼茨的表達(dá)形式簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確，勝過(guò)牛頓。在對(duì)微積分具體內(nèi)容的,研究上，牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茨則先有求積概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。除此之外，牛頓與萊布尼茨的學(xué)風(fēng)也迥然不同。作為科學(xué)家的牛頓，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。他遲遲不發(fā)表微積分著作流數(shù)術(shù)的原因，很可能是因?yàn)樗麤](méi)有找到合理的邏輯基礎(chǔ)，也可能是“害怕別人反對(duì)的心理”所致。但作為哲學(xué)家的萊布尼茨比較大膽，富于想象，勇于推廣，結(jié)果造成創(chuàng)作年代上牛頓先于萊布尼茨10年，而在發(fā)表的時(shí)間上，萊布尼茨卻早于牛頓3年。雖然牛頓和萊布尼茨研究微積分的方法各異，但殊途同歸。各自獨(dú)立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，光榮應(yīng)由他們兩人共享。然而，在歷史上曾出現(xiàn)過(guò)一場(chǎng)圍繞發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)的激烈爭(zhēng)論。牛頓的支持者，包括數(shù)學(xué)家泰勒和麥克勞林，認(rèn)為萊布尼茨剽竊了牛頓的成果。爭(zhēng)論把歐洲科學(xué)家分成誓不兩立的兩派：英國(guó)和歐洲大陸。爭(zhēng)論雙方停止學(xué)術(shù)交流，不僅影響了數(shù)學(xué)的正常發(fā)展，也波及自然科學(xué)領(lǐng)域，以致發(fā)展到英德兩國(guó)之間的政治摩擦。自尊心很強(qiáng)的英國(guó)民族抱住牛頓的概念和記號(hào)不放，拒絕使用更為合理的萊布尼茨的微積分符號(hào)和技巧，致使后來(lái)的兩百多年間英國(guó)在數(shù)學(xué)發(fā)展上大大落后于歐洲大陸。一場(chǎng)曠日持久的爭(zhēng)論變成了科學(xué)史上前車(chē)之鑒。萊布尼茨的科研成果大部分出自青年時(shí)代，隨著這些成果的廣泛傳播，榮譽(yù)紛紛而來(lái)，他也變的越來(lái)越保守。到了晚年，他在科學(xué)方面已無(wú)所作為。他開(kāi)始為宮廷唱贊歌，為上帝唱贊歌，沉醉于神學(xué)和公爵家族的研究。萊布尼茨生命中的最后7年，是在別人帶來(lái)的他和牛頓關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論中痛苦地度過(guò)的。他和牛頓一樣，都終生未娶。,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的,第一節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,導(dǎo)數(shù)的概念,第二章,關(guān)系,一、引例,1.變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度(牛頓的例子）,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,則到的平均速度為,時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)斜率（萊布尼茨研究導(dǎo)數(shù)的例子）,曲線(xiàn),在M點(diǎn)處的切線(xiàn),割線(xiàn)MN的極限位置MT,(當(dāng)時(shí)),割線(xiàn)MN的斜率,切線(xiàn)MT的斜率,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度,切線(xiàn)斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.,類(lèi)似問(wèn)題還有:,加速度,角速度,線(xiàn)密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問(wèn)題,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1.設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱(chēng)此極限為,記作:,即,則稱(chēng)函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).,若,也稱(chēng),在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).,記作:,注意:,就說(shuō)函數(shù),就稱(chēng)函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線(xiàn),在M點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率,說(shuō)明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,例1.求函數(shù),(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2.求函數(shù),解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,說(shuō)明：,對(duì)一般冪函數(shù),(為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,例3.求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類(lèi)似可證得,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,解：,即：,特別：,例4,例5,解：,即：,特別：,例6求,在,處導(dǎo)數(shù),解：,當(dāng),時(shí)，上式為-1；,當(dāng),時(shí)，,不存在,在,處不可導(dǎo).,即,上式為1,在點(diǎn),的某個(gè)右鄰域內(nèi),單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱(chēng)此極限值為,在處的右導(dǎo)數(shù),記作,即,(左),(左),例如,在x=0處有,定義設(shè)函數(shù),有定義,存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,定理.函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡(jiǎn)寫(xiě)為,定理.函數(shù),(左),(左),若函數(shù),與,都存在,則稱(chēng),顯然:,在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)