1,5.2一階微分方程,主要內(nèi)容:1.可分離變量的微分方程2.齊次型微分方程3.一階線性微分方程,2,一、可分離變量的微分方程,1.定義,其中f(x),g(y)分別是x,y的連續(xù)函數(shù),2.分離變量法,把方程中的兩個(gè)變量分離開(kāi)來(lái)，使方程的一邊只含有y的函數(shù)及dy，另一邊只含有x的函數(shù)及dx，然后兩邊積分，從而求出微分方程的解這種方法稱(chēng)為分離變量法,形如（1）的一階微分方程，叫做可分離變量的微分方程.,3,3步驟,(1)分離變量，得,(2)兩邊積分，得,(3)求得積分，得,4,解,分離變量，得,兩邊積分，得,得方程的通解為,例1,5,例,解,分離變量，得,兩邊積分，得,化簡(jiǎn)，得,于是所求微分方程的特解為,原方程可化為,6,二、齊次型微分方程,1.定義,稱(chēng)為齊次型微分方程,因?yàn)榉匠炭苫癁?7,2解法,在方程(2)中，引進(jìn)新的未知函數(shù),代入方程(2)，便得可分離變量方程,即,兩邊積分，得,求出積分后，,即得所求齊次型微分方程的通解,8,例3,解,原方程可化為,它是齊次型微分方程,代入原方程，得,分離變量，得,兩邊積分，得,即,這就是所求微分方程的通解,9,三、一階線性微分方程,1、定義,方程（3）稱(chēng)為一階線性非齊次微分方程,方程（3）稱(chēng)為一階線性齊次微分方程,10,2、一階線性齊次微分方程的通解,顯然，方程（4）是可分離變量方程,分離變量后，得,兩邊積分，得,這就是一階線性齊次微分方程(4)的通解公式,注意,11,3、一階線性非齊次微分方程的解法常數(shù)變易法,(5),由方程特點(diǎn)，設(shè)一階線性非齊次微分方程的通解為,對(duì)（5）式求導(dǎo)得,(6),將(5)和(6)代入方程(3)并整理得,由此可得,將上式代入(5)式，得一階線性非齊次微分方程的通解為,(5-2),12,公式中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù),這種通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法,公式(5-2)也可寫(xiě)成下面的形式,(7),由此可知：一階線性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和,注意:,13,例4,解1(常數(shù)變易法),用分離變量法求得它的通解為,將上式中的任意常數(shù)C換成函數(shù)C(x)，即設(shè)原方程的通解為,（8）,則有,兩邊積分，得,再代入（8）式，即得所求方程的通解為,14,解2(公式法),代入公式（5-2），得,15,例5,解,用分離變量法求得它的通解為,用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的通解為,兩邊積分，得,因此，非齊次方程的通解為,故所求微分方程的特解為,16,例6,解,于是由一階線性非齊次方程的通解公式，得,這就是所求微分方程的通解,17,四、小結(jié)：,1.可分離變量的微分方程的特點(diǎn)、解法；,2.齊次型微分方程的特點(diǎn)、解法；,3.一階線性微分方程的解法,其中一階線性齊次方程的通