.,第4篇振動與波動,第10章機械振動,.,本章學習要點,簡諧振動簡諧振動的合成阻尼振動、受迫振動與共振本章小結(jié),.,10.1簡諧振動,物體運動時，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)或正弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化，則這種運動稱為簡諧振動。在忽略阻力的情況下，彈簧振子的振動及單擺的小角度擺動等都可視為簡諧振動。,10.1.1簡諧振動的運動方程,如下圖所示，一輕彈簧（質(zhì)量可忽略不計）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端連一質(zhì)量為m的物體。這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，它是物理學中的又一理想模型。,.,如上圖（a）所示，彈簧處于自然長度時，物體沿水平方向所受的合外力為零，此時物體所在的位置O點稱為平衡位置。以O(shè)點為坐標原點，以彈簧的伸長方向為x軸正向建立坐標系。,如上圖（b）所示，在彈簧的彈性限度內(nèi)，將物體從平衡位置向右拉至位置P點，然后放手。物體在向左的彈力作用下，向左加速運動。當?shù)竭_平衡位置O時，物體所受的彈力為零，加速度也為零。但此時物體的速度不為零，由于慣性作用，物體將繼續(xù)向左運動，使彈簧被壓縮，從而產(chǎn)生向右的彈力阻礙物體運動，使物體向左做減速運動，直到速度為零，此時，物體到達左邊最遠處P點，如上圖（c）所示。然后，物體又在向右的彈力作用下，從P點返回，向右加速運動。這樣，物體在彈力和慣性的作用下，在平衡位置附近的P點和P點之間做往復運動。,.,.,.,【例10-1】如下圖所示，一質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)細棒懸掛在水平軸O點。開始時，棒在垂直位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點在豎直平面內(nèi)來回擺動。此裝置是最簡單的物理擺，又稱為復擺。若不計棒與軸的摩擦力和空氣阻力，棒將擺動不止。試證明在擺角很小的情況下，細棒的擺動為簡諧振動。,【解】以O(shè)O為平衡位置，設(shè)逆時針轉(zhuǎn)向為角正向，棒在任意時刻的角位移都可用棒與OO的夾角表示。根據(jù)題意，棒所受的重力矩為：,.,.,10.1.2描述簡諧振動的物理量,振幅、周期、頻率、角頻率、相位及初相等都是描述簡諧振動的物理量，其中，振幅、角頻率和初相三個量可以完全確定一個簡諧振動，稱為簡諧振動的特征量。,1振幅,在簡諧振動的運動方程xAcos（t）中，由于|cos（t）|1，所以，|x|A。我們把做簡諧振動的物體離開平衡位置的最大距離A稱為振幅，它確定了物體的振動范圍。在國際單位制中，振幅的單位為米（m）。,.,2周期與頻率,.,.,3相位與初相,在簡諧振動中，物體的運動狀態(tài)由物體離開平衡位置的位移和速度共同決定。在振幅A和角頻率都已知的情況下，物體在某一時刻的運動狀態(tài)由t決定，t稱為振動的相位，它是決定簡諧振動運動狀態(tài)的物理量。當t0時，相位t，稱為初相位，簡稱初相，它是決定初始時刻振動物體運動狀態(tài)的物理量。在國際單位制中，相位的單位為弧度（rad）。,.,用相位描述物體的運動狀態(tài)，還能充分體現(xiàn)出振動的周期性。例如：t0時，物體位于正位移最大處，且v0；t/2時，物體位于平衡位置，且向x軸負方向運動，vA；t時，物體位于負位移最大處，且v0；t3/2時，物體位于平衡位置，且向x軸正方向運動，vA；t2時，物體位于正位移最大處，且v0。,.,4振幅與初相的確定,.,【例10-2】一質(zhì)點沿x軸做簡諧振動，振幅A0.12m，周期T2s，當t0時，質(zhì)點對平衡位置的位移x00.06m，此時，質(zhì)點向x軸正向運動。求：（1）此簡諧振動的運動方程；（2）從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時刻。,【解】（1）設(shè)簡諧振動的運動方程為xAcos（t）。由題意可知，A0.12m，2/T（rad/s）。因t0時，x00.06m，故0.060.12cos/3因t0時，質(zhì)點向x軸正向運動，v00，故v0Asin0sin0取/3所以，簡諧振動的運動方程為：x0.12cos（t/3）,.,.,10.1.3簡諧振動曲線,由式（106）和式（107）可知速度和加速度的最大值分別為vmaxA，amax2A。根據(jù)式（105）、式（106）和式（107）可作出如下圖所示振動曲線，分別表示位移、速度和加速度隨時間的變化情況，可以看出，物體做簡諧振動時，其位移、速度和加速度都是呈周期性變化的。,.,10.1.4旋轉(zhuǎn)矢量法,如右圖所示，一個模為A的矢量繞O點以恒角速度沿逆時針方向轉(zhuǎn)動。在此矢量轉(zhuǎn)動過程中，矢量的端點M在Ox軸上的投影點P也以O(shè)點為平衡位置不斷地往返運動。,在任意時刻，投影點P在Ox軸上的位置由方程xAcos（t）確定，因此，投影點P的運動為簡諧振動，即簡諧振動可以借助于一個旋轉(zhuǎn)著的矢量來表示，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。其對應(yīng)關(guān)系為：旋轉(zhuǎn)矢量的模A為簡諧振動的振幅；旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動角速度為簡諧振動的角頻率；旋轉(zhuǎn)矢量在初始時刻與Ox軸的夾角為簡諧振動的初相；旋轉(zhuǎn)矢量在t時刻與Ox軸的夾角t為簡諧振動的相位；旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為簡諧振動的周期。,.,【例10-3】在彈簧振子系統(tǒng)中，有一質(zhì)量m0.01kg的物體做簡諧振動，其振幅A0.08m，周期T4s，初始時刻物體在x00.04m處向Ox軸負方向運動，求：（1）t1s時，物體所處的位置和所受的力；（2）由初始位置運動到x0.04m處所需要的最短時間。,【解】先求簡諧振動方程，設(shè)xAcos（t），題意可知A0.08m，2/T/2（rad/s）。因t0時，x00.06m則0.060.12cos/3作旋轉(zhuǎn)矢量如下圖所示，從圖中可知，/3，故簡諧振動方程為：,.,.,10.1.5簡諧振動的能量,.,動能、勢能及總能量隨時間變化的曲線如右圖所示（設(shè)0）。,關(guān)于簡諧振動的能量需要說明幾點1振動系統(tǒng)的動能和勢能都隨時間呈周期性變化，其周期為物體做簡諧振動周期的1/2。,2在振動過程中，雖然動能和勢能在不斷變化，但它們之間是相互轉(zhuǎn)換的，其總和為一恒量，即系統(tǒng)的總能量是守恒的。由上圖所示可以看出，當物體位移最大時，勢能達到最大，動能為零；當物體位移為零時，勢能為零，動能達到最大；而其總能量為一常數(shù)，等于動能或勢能的最大值。3振動系統(tǒng)的總能量與振幅的平方都成正比，也與角頻率的平方成正比。雖然這個結(jié)論是從彈簧振子系統(tǒng)中導出的，但卻是簡諧振動的共同性質(zhì)，對其他形式的振動也是適用的。,.,【例10-4】在水平彈簧振子中，物體的質(zhì)量m0.025kg，彈簧的勁度系數(shù)k0.4N/m，當物體在正向離平衡位置0.1m處時運動的速率v0.4m/s。求：（1）系統(tǒng)的總能量E；（2）振幅A；（3）物體的最大速率vmax；（4）物體在A/2處具有的動能Ek和勢能Ep。,.,.,10.2簡諧振動的合成,10.2.1相位差,相位差是指兩個振動在同一時刻的相位值之差。設(shè)有兩個質(zhì)點1、2做同方向、同頻率的簡諧振動，其運動方程分別為：x1A1cos（t1），x2A2cos（t2）則它們在任意時刻的相位差為：（t2）（t1）21由上式可知，兩個同方向、同頻率的簡諧振動，在任意時刻的相位差都等于它們的初相位差，為一恒量。,.,如果210，則在振動過程中，質(zhì)點2將始終比質(zhì)點1先到達任一特定的振動狀態(tài)，如左圖所示，兩振動的步調(diào)存在一個確定的差異，此時，我們稱質(zhì)點2的振動超前質(zhì)點1的振動，或質(zhì)點1的振動落后質(zhì)點2的振動。,如果212k（k0，1，2，），則兩質(zhì)點將同時到達任一特定的振動狀態(tài)，如中圖所示，兩振動的步調(diào)完全一致，此時，我們稱兩振動同相。如果21（2k1）（k0，1，2，），則兩振動的步調(diào)完全相反，例如，一個質(zhì)點到達正最大位移時，另一個質(zhì)點到達負最大位移，如右圖所示，此時，我們稱兩振動反相。,.,10.2.2兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成,若一個質(zhì)點同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其運動方程分別為：x1A1cos（t1），x2A2cos（t2）因兩個振動的方向相同，由運動的疊加原理可知，質(zhì)點的合振動位移等于兩個分振動位移的代數(shù)和，即xx1x2A1cos（t1）A2cos（t2）應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可以更直觀、更簡潔的得出合振動的規(guī)律。,.,如下圖所示，取坐標軸Ox，畫出兩個分振動的旋轉(zhuǎn)矢量A1和A2，它們在Ox軸上的投影x1和x2分別表示兩個分振動的位移。根據(jù)平行四邊形法則，可作出合矢量AA1A2，它在Ox軸上的投影x表示合振動的位移，可以看出，xx1x2。t0時，合矢量A與Ox軸的夾角為。,由于A1和A2以相同的角速度逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，其夾角21保持不變，因此，平行四邊形OM1MM2的形狀在旋轉(zhuǎn)中保持不變，即合矢量A的模保持恒定，且以同一角速度與A1、A2一起繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)。,.,.,.,【例10-5】一質(zhì)點同時參與兩個同方向、同頻率的簡諧振動周期都為4s，振幅分別為A10.06m，A20.104m，初相分別為1/3，25/6，求合振動的振幅、初相及運動方程。,.,.,10.2.3兩個同方向、不同頻率簡諧振動的合成,兩個同方向、不同頻率簡諧振動的合成結(jié)果比較復雜，為了便于理解，設(shè)兩分振動的振幅和初相相同，則兩分振動的運動方程為：x1Acos（1t），x2Acos（2t）合振動為：xx1x2Acos（1t）Acos（2t）根據(jù)三角函數(shù)公式，上式可化為：,.,由上式可以看出，兩個同方向、不同頻率簡諧振動的合振動雖然仍與分振動的方向相同，但不再是簡諧振動。如果兩分振動的頻率相近，且有|12|（12）時，上式中，項隨時間快速變化，而項隨時間緩慢變化。因此，可以將此合振動看作是角頻率為，振幅為的簡諧振動。這種振幅時大時小作緩慢周期性變化的振動現(xiàn)象稱為拍。拍的振動曲線如下圖所示。,.,10.3阻尼振動、受迫振動與共振,10.3.1阻尼振動,簡諧振動系統(tǒng)除回復力外，不受任何阻力影響，振動過程中系統(tǒng)的能量守恒，其振幅也不隨時間變化，這種振動稱為無阻尼振動。然而，實際的振動總要受到阻力的影響，由于需要克服阻力做功，系統(tǒng)的能量會不斷損耗，振幅也會隨時間逐漸減小。我們把這種振幅隨時間逐漸減小的振動稱為阻尼振動。在阻尼振動中，能量損失的原因通常有以下兩種：一種是由于介質(zhì)對振動物體的摩擦阻力作用，使振動物體的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，稱為摩擦阻尼；另一種是由于振動物體引起臨近質(zhì)點的振動，使系統(tǒng)的能量向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌拥哪芰?，稱為輻射阻尼。例如，音叉振動時，不僅因為摩擦而消耗能量，同時也因輻射聲波而損失能量。,.,.,.,.,阻力很大，即0時，在未完成一次振動前，振動系統(tǒng)的能量已全部耗盡，此時，振動系統(tǒng)將通過非周期運動的方式回到平衡位置，這種阻尼振動稱為過阻尼振動，如下圖所示b曲線0時，0，這是物體不能作周期運動的臨界情況，此時，阻力使振動物體剛好能不作周期運動，而又能最快地回到平衡位置，這種阻尼振動稱為臨界阻尼振動，如下圖所示c曲線,在工程技術(shù)中，可根據(jù)不同的要求，用不同的方法來控制阻尼的大小。例如，汽缸中的活塞運動時，可通過加潤滑劑來減小其摩擦阻尼；各種聲源和樂器上的空氣箱可以加大輻射阻尼，使其能輻射足夠強的聲波等。,.,10.3.2受迫振動,.,.,.,10.3.3共振,由式（1034）可知，對于一定的振動系統(tǒng)，如果阻尼系數(shù)和驅(qū)動力的幅值一定，則穩(wěn)定狀態(tài)受迫振動的振幅隨驅(qū)動力的角頻率p變化。如下圖所示為不同阻尼時受迫振動的振幅與驅(qū)動力角頻率之間的關(guān)系曲線，可以看出，當驅(qū)動力的角頻率為某一定值時，受迫振動的振幅會達到最大，我們把這種現(xiàn)象稱為共振。共振時的角頻率稱為共振角頻率r。,.,.,共振現(xiàn)象在科學研究和工程技術(shù)中都有非常廣泛地應(yīng)用。共振現(xiàn)象有其有利的一面。例如，利用共振原理可測定某些振動系統(tǒng)的固有頻率；小提琴等樂器可以利用共振來提高音響效果等。但共振也會引起損害。例如，機床或重要儀器工作時，如果外來干擾力的頻率接近于其固有頻率，將會發(fā)生共振，從而影響加工精度。因此，為避免共振引起的損害，應(yīng)設(shè)法使驅(qū)動力的頻率與系