.,第4篇振動(dòng)與波動(dòng),第10章機(jī)械振動(dòng),.,本章學(xué)習(xí)要點(diǎn),簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)與共振本章小結(jié),.,10.1簡(jiǎn)諧振動(dòng),物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果離開平衡位置的位移（或角位移）按余弦函數(shù)或正弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化，則這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在忽略阻力的情況下，彈簧振子的振動(dòng)及單擺的小角度擺動(dòng)等都可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,10.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,如下圖所示，一輕彈簧（質(zhì)量可忽略不計(jì)）放置在光滑水平面上，一端固定，另一端連一質(zhì)量為m的物體。這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子，它是物理學(xué)中的又一理想模型。,.,如上圖（a）所示，彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)，物體沿水平方向所受的合外力為零，此時(shí)物體所在的位置O點(diǎn)稱為平衡位置。以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以彈簧的伸長(zhǎng)方向?yàn)閤軸正向建立坐標(biāo)系。,如上圖（b）所示，在彈簧的彈性限度內(nèi)，將物體從平衡位置向右拉至位置P點(diǎn)，然后放手。物體在向左的彈力作用下，向左加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)?shù)竭_(dá)平衡位置O時(shí)，物體所受的彈力為零，加速度也為零。但此時(shí)物體的速度不為零，由于慣性作用，物體將繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，使彈簧被壓縮，從而產(chǎn)生向右的彈力阻礙物體運(yùn)動(dòng)，使物體向左做減速運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，此時(shí)，物體到達(dá)左邊最遠(yuǎn)處P點(diǎn)，如上圖（c）所示。然后，物體又在向右的彈力作用下，從P點(diǎn)返回，向右加速運(yùn)動(dòng)。這樣，物體在彈力和慣性的作用下，在平衡位置附近的P點(diǎn)和P點(diǎn)之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,.,.,.,【例10-1】如下圖所示，一質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的均質(zhì)細(xì)棒懸掛在水平軸O點(diǎn)。開始時(shí)，棒在垂直位置OO，處于平衡狀態(tài)。將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。此裝置是最簡(jiǎn)單的物理擺，又稱為復(fù)擺。若不計(jì)棒與軸的摩擦力和空氣阻力，棒將擺動(dòng)不止。試證明在擺角很小的情況下，細(xì)棒的擺動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,【解】以O(shè)O為平衡位置，設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)榻钦?，棒在任意時(shí)刻的角位移都可用棒與OO的夾角表示。根據(jù)題意，棒所受的重力矩為：,.,.,10.1.2描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量,振幅、周期、頻率、角頻率、相位及初相等都是描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量，其中，振幅、角頻率和初相三個(gè)量可以完全確定一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量。,1振幅,在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程xAcos（t）中，由于|cos（t）|1，所以，|x|A。我們把做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離A稱為振幅，它確定了物體的振動(dòng)范圍。在國(guó)際單位制中，振幅的單位為米（m）。,.,2周期與頻率,.,.,3相位與初相,在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由物體離開平衡位置的位移和速度共同決定。在振幅A和角頻率都已知的情況下，物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由t決定，t稱為振動(dòng)的相位，它是決定簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。當(dāng)t0時(shí)，相位t，稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相，它是決定初始時(shí)刻振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。在國(guó)際單位制中，相位的單位為弧度（rad）。,.,用相位描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，還能充分體現(xiàn)出振動(dòng)的周期性。例如：t0時(shí)，物體位于正位移最大處，且v0；t/2時(shí)，物體位于平衡位置，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，vA；t時(shí)，物體位于負(fù)位移最大處，且v0；t3/2時(shí)，物體位于平衡位置，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，vA；t2時(shí)，物體位于正位移最大處，且v0。,.,4振幅與初相的確定,.,【例10-2】一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A0.12m，周期T2s，當(dāng)t0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移x00.06m，此時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求：（1）此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程；（2）從初始時(shí)刻開始第一次通過(guò)平衡位置的時(shí)刻。,【解】（1）設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為xAcos（t）。由題意可知，A0.12m，2/T（rad/s）。因t0時(shí)，x00.06m，故0.060.12cos/3因t0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向x軸正向運(yùn)動(dòng)，v00，故v0Asin0sin0取/3所以，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：x0.12cos（t/3）,.,.,10.1.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線,由式（106）和式（107）可知速度和加速度的最大值分別為vmaxA，amax2A。根據(jù)式（105）、式（106）和式（107）可作出如下圖所示振動(dòng)曲線，分別表示位移、速度和加速度隨時(shí)間的變化情況，可以看出，物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移、速度和加速度都是呈周期性變化的。,.,10.1.4旋轉(zhuǎn)矢量法,如右圖所示，一個(gè)模為A的矢量繞O點(diǎn)以恒角速度沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。在此矢量轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，矢量的端點(diǎn)M在Ox軸上的投影點(diǎn)P也以O(shè)點(diǎn)為平衡位置不斷地往返運(yùn)動(dòng)。,在任意時(shí)刻，投影點(diǎn)P在Ox軸上的位置由方程xAcos（t）確定，因此，投影點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以借助于一個(gè)旋轉(zhuǎn)著的矢量來(lái)表示，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。其對(duì)應(yīng)關(guān)系為：旋轉(zhuǎn)矢量的模A為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅；旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率；旋轉(zhuǎn)矢量在初始時(shí)刻與Ox軸的夾角為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相；旋轉(zhuǎn)矢量在t時(shí)刻與Ox軸的夾角t為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位；旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所用的時(shí)間為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期。,.,【例10-3】在彈簧振子系統(tǒng)中，有一質(zhì)量m0.01kg的物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅A0.08m，周期T4s，初始時(shí)刻物體在x00.04m處向Ox軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求：（1）t1s時(shí)，物體所處的位置和所受的力；（2）由初始位置運(yùn)動(dòng)到x0.04m處所需要的最短時(shí)間。,【解】先求簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，設(shè)xAcos（t），題意可知A0.08m，2/T/2（rad/s）。因t0時(shí)，x00.06m則0.060.12cos/3作旋轉(zhuǎn)矢量如下圖所示，從圖中可知，/3，故簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為：,.,.,10.1.5簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,.,動(dòng)能、勢(shì)能及總能量隨時(shí)間變化的曲線如右圖所示（設(shè)0）。,關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量需要說(shuō)明幾點(diǎn)1振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間呈周期性變化，其周期為物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的1/2。,2在振動(dòng)過(guò)程中，雖然動(dòng)能和勢(shì)能在不斷變化，但它們之間是相互轉(zhuǎn)換的，其總和為一恒量，即系統(tǒng)的總能量是守恒的。由上圖所示可以看出，當(dāng)物體位移最大時(shí)，勢(shì)能達(dá)到最大，動(dòng)能為零；當(dāng)物體位移為零時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大；而其總能量為一常數(shù)，等于動(dòng)能或勢(shì)能的最大值。3振動(dòng)系統(tǒng)的總能量與振幅的平方都成正比，也與角頻率的平方成正比。雖然這個(gè)結(jié)論是從彈簧振子系統(tǒng)中導(dǎo)出的，但卻是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的共同性質(zhì)，對(duì)其他形式的振動(dòng)也是適用的。,.,【例10-4】在水平彈簧振子中，物體的質(zhì)量m0.025kg，彈簧的勁度系數(shù)k0.4N/m，當(dāng)物體在正向離平衡位置0.1m處時(shí)運(yùn)動(dòng)的速率v0.4m/s。求：（1）系統(tǒng)的總能量E；（2）振幅A；（3）物體的最大速率vmax；（4）物體在A/2處具有的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep。,.,.,10.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,10.2.1相位差,相位差是指兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻的相位值之差。設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1、2做同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程分別為：x1A1cos（t1），x2A2cos（t2）則它們?cè)谌我鈺r(shí)刻的相位差為：（t2）（t1）21由上式可知，兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在任意時(shí)刻的相位差都等于它們的初相位差，為一恒量。,.,如果210，則在振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)2將始終比質(zhì)點(diǎn)1先到達(dá)任一特定的振動(dòng)狀態(tài)，如左圖所示，兩振動(dòng)的步調(diào)存在一個(gè)確定的差異，此時(shí)，我們稱質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)，或質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)落后質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)。,如果212k（k0，1，2，），則兩質(zhì)點(diǎn)將同時(shí)到達(dá)任一特定的振動(dòng)狀態(tài)，如中圖所示，兩振動(dòng)的步調(diào)完全一致，此時(shí)，我們稱兩振動(dòng)同相。如果21（2k1）（k0，1，2，），則兩振動(dòng)的步調(diào)完全相反，例如，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)正最大位移時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)負(fù)最大位移，如右圖所示，此時(shí)，我們稱兩振動(dòng)反相。,.,10.2.2兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程分別為：x1A1cos（t1），x2A2cos（t2）因兩個(gè)振動(dòng)的方向相同，由運(yùn)動(dòng)的疊加原理可知，質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)位移等于兩個(gè)分振動(dòng)位移的代數(shù)和，即xx1x2A1cos（t1）A2cos（t2）應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可以更直觀、更簡(jiǎn)潔的得出合振動(dòng)的規(guī)律。,.,如下圖所示，取坐標(biāo)軸Ox，畫出兩個(gè)分振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量A1和A2，它們?cè)贠x軸上的投影x1和x2分別表示兩個(gè)分振動(dòng)的位移。根據(jù)平行四邊形法則，可作出合矢量AA1A2，它在Ox軸上的投影x表示合振動(dòng)的位移，可以看出，xx1x2。t0時(shí)，合矢量A與Ox軸的夾角為。,由于A1和A2以相同的角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其夾角21保持不變，因此，平行四邊形OM1MM2的形狀在旋轉(zhuǎn)中保持不變，即合矢量A的模保持恒定，且以同一角速度與A1、A2一起繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。,.,.,.,【例10-5】一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期都為4s，振幅分別為A10.06m，A20.104m，初相分別為1/3，25/6，求合振動(dòng)的振幅、初相及運(yùn)動(dòng)方程。,.,.,10.2.3兩個(gè)同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,兩個(gè)同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成結(jié)果比較復(fù)雜，為了便于理解，設(shè)兩分振動(dòng)的振幅和初相相同，則兩分振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：x1Acos（1t），x2Acos（2t）合振動(dòng)為：xx1x2Acos（1t）Acos（2t）根據(jù)三角函數(shù)公式，上式可化為：,.,由上式可以看出，兩個(gè)同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然仍與分振動(dòng)的方向相同，但不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。如果兩分振動(dòng)的頻率相近，且有|12|（12）時(shí)，上式中，項(xiàng)隨時(shí)間快速變化，而項(xiàng)隨時(shí)間緩慢變化。因此，可以將此合振動(dòng)看作是角頻率為，振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。這種振幅時(shí)大時(shí)小作緩慢周期性變化的振動(dòng)現(xiàn)象稱為拍。拍的振動(dòng)曲線如下圖所示。,.,10.3阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)與共振,10.3.1阻尼振動(dòng),簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)除回復(fù)力外，不受任何阻力影響，振動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的能量守恒，其振幅也不隨時(shí)間變化，這種振動(dòng)稱為無(wú)阻尼振動(dòng)。然而，實(shí)際的振動(dòng)總要受到阻力的影響，由于需要克服阻力做功，系統(tǒng)的能量會(huì)不斷損耗，振幅也會(huì)隨時(shí)間逐漸減小。我們把這種振幅隨時(shí)間逐漸減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。在阻尼振動(dòng)中，能量損失的原因通常有以下兩種：一種是由于介質(zhì)對(duì)振動(dòng)物體的摩擦阻力作用，使振動(dòng)物體的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，稱為摩擦阻尼；另一種是由于振動(dòng)物體引起臨近質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，使系統(tǒng)的能量向四周輻射出去，轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量，稱為輻射阻尼。例如，音叉振動(dòng)時(shí)，不僅因?yàn)槟Σ炼哪芰?，同時(shí)也因輻射聲波而損失能量。,.,.,.,.,阻力很大，即0時(shí)，在未完成一次振動(dòng)前，振動(dòng)系統(tǒng)的能量已全部耗盡，此時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)將通過(guò)非周期運(yùn)動(dòng)的方式回到平衡位置，這種阻尼振動(dòng)稱為過(guò)阻尼振動(dòng)，如下圖所示b曲線0時(shí)，0，這是物體不能作周期運(yùn)動(dòng)的臨界情況，此時(shí)，阻力使振動(dòng)物體剛好能不作周期運(yùn)動(dòng)，而又能最快地回到平衡位置，這種阻尼振動(dòng)稱為臨界阻尼振動(dòng)，如下圖所示c曲線,在工程技術(shù)中，可根據(jù)不同的要求，用不同的方法來(lái)控制阻尼的大小。例如，汽缸中的活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)，可通過(guò)加潤(rùn)滑劑來(lái)減小其摩擦阻尼；各種聲源和樂器上的空氣箱可以加大輻射阻尼，使其能輻射足夠強(qiáng)的聲波等。,.,10.3.2受迫振動(dòng),.,.,.,10.3.3共振,由式（1034）可知，對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，如果阻尼系數(shù)和驅(qū)動(dòng)力的幅值一定，則穩(wěn)定狀態(tài)受迫振動(dòng)的振幅隨驅(qū)動(dòng)力的角頻率p變化。如下圖所示為不同阻尼時(shí)受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力角頻率之間的關(guān)系曲線，可以看出，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一定值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅會(huì)達(dá)到最大，我們把這種現(xiàn)象稱為共振。共振時(shí)的角頻率稱為共振角頻率r。,.,.,共振現(xiàn)象在科學(xué)研究和工程技術(shù)中都有非常廣泛地應(yīng)用。共振現(xiàn)象有其有利的一面。例如，利用共振原理可測(cè)定某些振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率；小提琴等樂器可以利用共振來(lái)提高音響效果等。但共振也會(huì)引起損害。例如，機(jī)床或重要儀器工作時(shí)，如果外來(lái)干擾力的頻率接近于其固有頻率，將會(huì)發(fā)生共振，從而影響加工精度。因此，為避免共振引起的損害，應(yīng)設(shè)法使驅(qū)動(dòng)力的頻率與系