.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱(chēng)為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，它是由16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的它揭示了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡(jiǎn)單但內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用【知識(shí)要點(diǎn)】1如果方程(aO)的兩根為，那么，這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2如果兩個(gè)數(shù)的和為m，積為n，則以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為3若已知一元二次方程的一個(gè)根，可不直接解原方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出另一根4求一元二次方程根的對(duì)稱(chēng)式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩根積表示所給對(duì)稱(chēng)式5當(dāng)一元二次方程(aO)有兩根，時(shí)：(1)若，則方程有一正一負(fù)根；(2)若，則方程有兩個(gè)正根；(3)若，則方程有兩個(gè)負(fù)根【趨勢(shì)預(yù)測(cè)】利用根與系數(shù)關(guān)系，可以解決許多有關(guān)方程的問(wèn)題，有些非方程類(lèi)的問(wèn)題我們也可以通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，然后用一元二次方程的知識(shí)來(lái)解因此預(yù)測(cè)以后競(jìng)賽的重點(diǎn)在以下幾個(gè)方面：求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；求代數(shù)式的值；結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；構(gòu)造一元二次方程解題；證明代數(shù)等式，不等式；與一元二次方程的整數(shù)根有關(guān)的問(wèn)題【范例解讀】題1(1997陜西)已知二次方程(ac0)有兩異號(hào)實(shí)根m和n，且mn，那么，二次方程的根的情況是()(A)有兩個(gè)負(fù)根(B)有兩個(gè)正根(C)兩根異號(hào)(D)無(wú)實(shí)數(shù)根分析首先考慮方程的判別式的符號(hào)如果由判別式符號(hào)確定方程有實(shí)根，還要通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系來(lái)確定兩根的正負(fù)號(hào)解 m，n異號(hào)且mn，m0，從而，方程的判別式：，故方程必有兩實(shí)根設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為，則由根與系數(shù)關(guān)系得，可知，均為負(fù)數(shù)，故選(A)題2(1997上海)若a和b是方程的兩個(gè)實(shí)根，c和d是方程的兩個(gè)實(shí)根，e和f是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_(kāi)分析由已知可得ab3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，將(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展開(kāi)，把上列數(shù)值代入，可得所求值但若全部展開(kāi)，結(jié)果很繁，因此考慮局部展開(kāi)，分步代入解由方程根與系數(shù)關(guān)系得ab=3，cd3，ef3，a+b-2p，c+d-2q，則題3(1996祖沖之杯)已知，是方程的兩根，不解方程，求的值分析待求式中，是不對(duì)稱(chēng)的，但根與系數(shù)的關(guān)系具有對(duì)稱(chēng)性，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與待求式相對(duì)應(yīng)的代數(shù)式一起輔助解決問(wèn)題解由根與系數(shù)的關(guān)系得+=7，8，因，故，記，令，從而，題4(2000江蘇)已知，其中m，n為實(shí)數(shù)，則_.分析根據(jù)兩個(gè)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可作恰當(dāng)?shù)淖冃?，使兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)把兩個(gè)變?cè)闯申P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)求值解由已知等式可變形成與，由于m，的關(guān)系沒(méi)有給定，故應(yīng)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可知m，是方程的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)關(guān)系得，綜合，得或.題5(1996江蘇)設(shè)的兩個(gè)實(shí)根為，(1)求以，為根的一元二次方程；(2)若以，為根的一元二次方程仍是，求所有這樣的一元二次方程分析根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系求和的值，由此即可作出新方程；根據(jù)新方程的一次項(xiàng)系數(shù)等于-p，常數(shù)項(xiàng)等于q，可求得p，q的值解(1)由根與系數(shù)關(guān)系得+p，q，所求方程是；(2)由題意得則根據(jù)七種情況的值依次得以下七個(gè)方程：，其中僅無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去.故所有這樣的一元二次方程有六個(gè)，分別為：，題6(2000全國(guó))設(shè)關(guān)于x的二次方程的兩根都是整數(shù)求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值分析根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可先用十字相乘法求出方程兩根，然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法先消去是求得兩根后，再求出是的值解原方程可化為(k-4)(k-2)0， 解得方程兩根為，消去k，得，由于，都是整數(shù)，故對(duì)應(yīng)的k的值分別為6，3，【方法指引】1構(gòu)造對(duì)偶式法對(duì)一個(gè)已知代數(shù)式或一個(gè)已知命題，我們構(gòu)造一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)式或?qū)?yīng)的命題，然后一起參與運(yùn)算(通常是加、減、乘、除)，從而使問(wèn)題獲得巧解這種方法稱(chēng)為構(gòu)造對(duì)偶式法常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配對(duì)等2解一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題的基本方法有：(1)直接求解法若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除性求解(2)利用判別式法在二次方程有根的前提下通過(guò)判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉法討論，不等式分析求解(3)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過(guò)因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解(4)巧換主元法若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難時(shí)，可選擇換主元的方法，結(jié)合整除知識(shí)求解【綜合能力訓(xùn)練】1ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩根，那么m的取值范圍是_2設(shè)，是方程的兩實(shí)根，且，則k的值是()(A)-3或1(B)-3(C)1(D)不小于的一切實(shí)數(shù)3若方程的兩根為，它也是方程的兩個(gè)根，則p=_4若ab1，且有，及，則的值是()(A)(B)(C)(D)5在RtABC中，C90，若sinA和sinB是方程的兩根，求A和B的度數(shù)及k的值6求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程的根都是整數(shù)。參考答案【綜合能力訓(xùn)練】1設(shè)另外兩邊長(zhǎng)為a、b，則，因?yàn)閍，b是實(shí)數(shù)，所以，即，.由三角形兩邊之差小于第三邊，有，故m的取值范圍為。2由根與系數(shù)關(guān)系得，而由題意得，解得，。而當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去；當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和3。故選（C）。3由是方程的兩根得，.由是方程的兩根，得，。兩式相減，得。4原式可變形為，又即，a，是方程的兩根。，即.故選（A）。5由根與系數(shù)關(guān)系，得A+B=90，。于是有由式兩邊平方，得。由、式知.又由、式可得，是方程的兩根，則有，即