第三章隨機向量及其分布,定義設E：=，X1，X2，Xn是定義在上的n個隨機變量，稱隨機變量組（X1，X2，Xn）為定義在上的n維隨機向量。,e,X(e),Y(e),考慮最多的是二維隨機向量(X,Y),2、火箭在空中的飛行姿態(tài)，水平位置和高度，經(jīng)度（X），緯度（Y），高度（Z）是定義在上的三個隨機變量。即每一個點對應三個實數(shù)值，稱向量（X，Y，Z）為三維隨機向量。,1、體檢時每個人有身高和體重兩個指標,分別用X和Y表示。,隨機向量的例子,二維隨機向量的樣本空間,(1)二維隨機向量（X，Y）的一個可能值可以用平面上的一個點表示,D,(2)樣本空間是平面上的一些離散點或者平面區(qū)域D,一、二維隨機向量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù),1.定義：設（X，Y），x、y為兩個任意實數(shù)，則稱二元函數(shù),F（x,y）=PXx,Yy,為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,2.幾何意義：F（x,y）表示隨機點（X，Y）落在以（x,y）為頂點，且位于該點左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。,對于任意的x1x2，y1y2，Px1Xx2，y1Yy2F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),3矩形區(qū)域內(nèi)的概率計算：,4.F（x,y）的基本性質(zhì)：,（1）F(x,y)是x和y的單調(diào)不減函數(shù)。即對于任意固定的y，當x1x2時，F(xiàn)（x1,y）F（x2,y）；對于任意固定的x，當y1y2時，F(xiàn)（x,y1）F(x,y2)（2）0F（x,y）1,F(-，-)=0，F(xiàn)（+，+）=1對任意固定的y，F(xiàn)（-，y）=0對任意固定的x，F(xiàn)（x，-）=0（3）F（x,y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也是右連續(xù)的，即F（x+0,y）=F（x,y），F(xiàn)（x,y+0）=F（x,y）（4）對于任意的x1x2,y1y2有下列不等式F（x2,y2）-F（x2,y1）-F（x1,y2）+F（x1,y1）0,例1、設（X，Y）的分布函數(shù),求A,B,C的值及概率PX3,Y4,解:,由分布函數(shù)的性質(zhì),得,解得,二、離散型隨機向量的概率分布,1.定義若隨機向量（X，Y）所有可能取值只有有限對或可列對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機向量。,2.（X，Y）的聯(lián)合分布列若（X，Y）的所有可能取值為（xi,yj），i,j=1,2,；且取這些值時的概率表示為pij=PX=xi,Y=yj,(i,j=1,2,)，則稱這一列式子為（X，Y）的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律。,3.（X，Y）的聯(lián)合分布律pij的性質(zhì)：（1）pij0；i,j=1,2,;(2),（4）(X,Y)的聯(lián)合分布律可用下列形式的聯(lián)合分布表表示：,（5）（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為：,其中和式是對一切滿足xix，yjy的i,j來求和的。,例題3,設隨機變量X在1，2，3，4四個數(shù)中等可能地取一個數(shù)，另一個隨機變量Y在1X中等可能地取一個數(shù)，試求（X，Y）的分布律,x,y,1234,1234,1/4000,1/81/800,1/121/121/120,1/161/161/161/16,的分布列。,由乘法公式得,解,可能取值分別都為1，2，3,一袋中有四個球，,上面分別標有數(shù)字1，2，2，3,從袋中任取一球后不放回，,再從袋中任取一個球，以,分別表示第一、二次取得的球上標有的數(shù)字，,求,例4,同理可得,所以的分布列為,可見,三、二維連續(xù)型隨機向量的概率分布,1.定義設（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），如果存在非負函數(shù)f(x,y)，使得對于任意實數(shù)x,y有,則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機向量，f(x,y)為（X,Y）的（聯(lián)合）概率密度或（聯(lián)合）分布密度。,2.概率密度p(x,y)的性質(zhì),（1）f（x,y）0,（3）若f(x,y)在（x,y）處連續(xù)則有f(x,y)=,（4）點（X，Y）落在xoy的平面區(qū)域D內(nèi)的概率為:,例5已知二維連續(xù)型隨機向量（X，Y）的聯(lián)合概率密度，求(1)K;(2)F(x,y);(3)P0X1,00時：,（3）記D=（x,y）|0x1,0y1，則,（4）記D=（X，Y）|X+Y1，則有,例6、設（X，Y）的分布函數(shù),試求：(1)(X，Y)的分布密度,(2)P0X3,解、,四、兩個重要分布,1均勻分布,（1）設平面區(qū)域D的面積為A，若隨機向量（X，Y）的概率密度為,則稱隨機向量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布。,（2）若區(qū)域D內(nèi)任一部分區(qū)域D1，其面積為A1，則有,的二維正態(tài)分布，記為,若二維隨機變量,的概率密度為,其中,都是常數(shù),且,則稱,服從參數(shù)為,一、二維隨機向量（X，Y）的