河南省鄭州市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)試題 理注意事項(xiàng)：1. 答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚。2. 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試題卷上作答無(wú)效。3. 考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。1、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)為A.2B.4C.8D.16答案：B2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D3. 鄭州市某一景區(qū)為了了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.月接待游客逐月增加B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)答案：A4. 定義在R上的函數(shù)為偶函數(shù)，則A.B. C.D.答案：C5. “紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣，為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個(gè)點(diǎn)，己知恰有800個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是A.B.C.D.答案：B6. 已知向量與夾角為，且，則A.B.C.D.答案：C7. 宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生的問(wèn)題，松長(zhǎng)三尺，竹長(zhǎng)一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸人的，分別為3，1，則輸出的等于.5B.4C.3D.2答案：B8. 函數(shù)的圖象大致是答案：C9. 第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)在河南鄭州舉行，某項(xiàng)目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項(xiàng)工作，每人至少完成一項(xiàng)，每項(xiàng)工作由一人完成，則不同的安排方式共有多少種A.60B.90C.120D.150答案：D10. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，是上一點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則=A.B.C.D.答案：B11. 已知三棱錐內(nèi)接于球O，平面ABC，為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，球的表面積為，則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為A.B.C.D.答案：D12. ,，若有9個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A.B.C.D.答案：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.答案：14. 若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_.答案：15. 已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，6為半徑做圓，圓A與雙曲線C的一條漸近線相交于M，N兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為_.答案：16. 已知數(shù)列滿足：對(duì)任意均有（p為常數(shù)，且），若，則的所有可能取值的集合是_.答案：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17. （12分）已知ABC外接圓半徑為R，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè).（1）求角B；（）若b=12，c=8，求sinA的值【解析】(I)即： 3分因?yàn)樗?分(II)若，由正弦定理，, ,由，故為銳角，9分12分18. （12分）已知三棱錐M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在校BC上，且.（1）證明：BO平面AMC；（2）求二面角N-AM-C的正弦值.【解析】（I）如圖所示：連接，在中：，則，.2分在中：，為的中點(diǎn)，則，且 4分在中：，滿足：根據(jù)勾股定理逆定理得到 相交于 ，故平面.6分（）因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示因?yàn)?則8分由所以，設(shè)平面的法向量為，則令，得10分因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量，所以與所成角的余弦為所以二面角的正弦值為.12分19. （12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的任意直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求證，恒有.【解析】（I）由題意知，.1分又因?yàn)榻獾茫? 3分所以橢圓方程為. 4分（） 設(shè)過(guò)點(diǎn)直線為，設(shè)，由得，且.則 又因?yàn)椋?，10分所以.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以.12分20. （12）水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān)，某工廠深人貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過(guò)A系統(tǒng)處理，處理后的污水（A級(jí)水）達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)稱達(dá)標(biāo)）的概率為p（0p1）.經(jīng)化驗(yàn)檢測(cè)，若確認(rèn)達(dá)標(biāo)便可直接排放；若不達(dá)標(biāo)則必須進(jìn)行B系統(tǒng)處理后直接排放.某廠現(xiàn)有4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水量的A級(jí)水池，分別取樣、檢測(cè)，多個(gè)污水樣本檢測(cè)時(shí)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有樣本不達(dá)標(biāo)，則混合樣本的化驗(yàn)結(jié)果必不達(dá)標(biāo)，若混合樣本不達(dá)標(biāo)，則該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本達(dá)標(biāo)，則原水池的污水直接排放現(xiàn)有以下四種方案：方案一：逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：平均分成兩組化驗(yàn)；方案三；三個(gè)樣本混在一起化驗(yàn)，剩下的一個(gè)單獨(dú)化驗(yàn)；方案四：四個(gè)樣本混在一起化驗(yàn).化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu).（1）若，求2個(gè)A級(jí)水樣本混合化驗(yàn)結(jié)果不達(dá)標(biāo)的概率；（2）若，現(xiàn)有4個(gè)A級(jí)水樣本需要化驗(yàn)，請(qǐng)問(wèn)：方案一、二、四中哪個(gè)最“優(yōu)？若“方案三”比“方案四更“優(yōu)”，求p的取值范圍.【解析】(I)該混合樣本達(dá)標(biāo)的概率是，2分所以根據(jù)對(duì)立事件原理，不達(dá)標(biāo)的概率為.4分(II)（i）方案一：逐個(gè)檢測(cè)，檢測(cè)次數(shù)為4.方案二：由(1)知，每組兩個(gè)樣本檢測(cè)時(shí)，若達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為1，概率為；若不達(dá)標(biāo)則檢測(cè)次數(shù)為3，概率為.故方案二的檢測(cè)次數(shù)記為2，2的可能取值為2,4,6.其分布列如下，可求得方案二的期望為方案四：混在一起檢測(cè)，記檢測(cè)次數(shù)為4，4可取1,5.其分布列如下，可求得方案四的期望為.比較可得，故選擇方案四最“優(yōu)”9分(ii)方案三：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，可取2,5.；方案四：設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，可?。挥深}意得.故當(dāng)時(shí)，方案三比方案四更“優(yōu)”12分21. （12分）已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【解析】(I)，定義域，由，在增，在減，4分(II) 6分令，令，在單調(diào)遞增，在存在零點(diǎn)，即9分由于在單調(diào)遞增，故即在減，在增，所以.12分（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第題記分.22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線E經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，其參數(shù)方程（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線E的極坐標(biāo)方程；（2）若直線交E于點(diǎn)A，B，且OAOB，求證：為定值，并求出這個(gè)定值.【解析】(I)將點(diǎn)代入曲線E的方程，得解得，2分所以曲線的普通方程為,極坐標(biāo)方程為.5分()不妨設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為則即8分,即10分