第2講空間中的平行與垂直的證明問題一、選擇題1.(2020長沙模擬)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面.下列說法正確的是()A.若m，n，則mnB.若m，n，則mnC.若m，mn，則nD.若m，mn，則n解析法一若m，n，則m、n可能平行、相交或異面，A錯(cuò)；若m，n，則mn，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m，mn，則n或n，C錯(cuò)；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，D錯(cuò).法二如圖，在正方體ABCDABCD中，用平面ABCD表示.A項(xiàng)中，若m為AB，n為BC，滿足m，n，但m與n是相交直線，故A錯(cuò).B項(xiàng)中，m，n，滿足mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確.C項(xiàng)中，若m為AA，n為AB，滿足m，mn，但n，故C錯(cuò).D項(xiàng)中，若m為AB，n為BC，滿足m，mn，但n，故D錯(cuò).答案B2.(2020浙江卷)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m()A.若l，則 B.若，則lmC.若l，則 D.若，則lm解析對(duì)于面面垂直的判定，主要是兩個(gè)條件，即l，l，如果這兩個(gè)條件存在，則.答案A3.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1l4 B.l1l4C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，記l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，滿足l1l2，l2l3，l3l4，此時(shí)l1l4，可以排除選項(xiàng)A和C，若l4DC1，也滿足條件，可以排除選項(xiàng)B.故選D.答案D4.已知ABCDA1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.BD平面CB1D1 B.A1CBDC.AC1平面CB1D1 D.AC1BD1解析因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體，所以DD1BB1且DD1BB1，所以四邊形DD1B1B為平行四邊形，所以BDB1D1，因?yàn)锽D面CB1D1，B1D1面CB1D1，所以BD平面CB1D1，故A正確；因?yàn)锳A1面ABCD，BD面ABCD，所以AA1BD，因?yàn)锳BCD為正方形，所以ACBD，因?yàn)锳CAA1A，所以BD面A1ACC1，因?yàn)锳1C面A1ACC1，所以BDA1C，故B正確.同理可證得B1D1面A1ACC1，因?yàn)锳C1面A1ACC1，所以B1D1AC1，同理可證CB1AC1，因?yàn)锽1D1CB1B1，所以AC1平面CB1D1，故C正確，排除法應(yīng)選D.答案D5.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BDCC.平面ABC平面BDC D.平面ADC平面ABC解析在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故選D.答案D二、填空題6.一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60；EF與MN是異面直線；MNCD.則正確結(jié)論的序號(hào)是_.解析把正方體的平面展開圖還原成正方體，如圖所示，則ABEF，EF與MN是異面直線，ABCM，MNCD，只有正確.答案7.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個(gè)命題：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號(hào)).解析錯(cuò)誤，PA平面MOB；正確；錯(cuò)誤，否則，有OCAC，這與BCAC矛盾；正確，因?yàn)锽C平面PAC.答案8.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，ACEFG，現(xiàn)在沿AE、EF、FA把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，則在四面體PAEF中必有_.APPEF所在平面；AGPEF所在平面；EPAEF所在平面；PGAEF所在平面.解析在折疊過程中，ABBE，ADDF保持不變. AP面PEF.答案三、解答題9.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.10.(2020秦皇島模擬)如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.(1)求證：AEBE；(2)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN平面DAE.(1)證明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AE平面ABE，AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.BCBFB，AE平面BCE.又BE平面BCE，AEBE.(2)解在ABE中過M點(diǎn)作MGAE交BE于G點(diǎn)，在BEC中過G點(diǎn)作GNBC交EC于N點(diǎn)，連接MN，則由比例關(guān)系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).11.(2020四川卷)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論.(3)證明：直線DF平面BEG.(1)解點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.(2)解平面BEG平面ACH，證明如下：因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE為平行四邊形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH