第十一章 概率11.1 隨機(jī)事件的概率基礎(chǔ)自測(cè)1.下列說(shuō)法正確的是（ ）A.某事件發(fā)生的頻率為P(A)=1.1B.不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1C.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然發(fā)生的事件D.某事件發(fā)生的概率是隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化的答案 B2.從12個(gè)同類產(chǎn)品中（其中有10個(gè)正品，2個(gè)次品），任意抽取3個(gè)，下列事件是必然事件的是（ ）A.3個(gè)都是正品B.至少有一個(gè)是次品C.3個(gè)都是次品D.至少有一個(gè)是正品答案D3.袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任意摸出2個(gè)，則至少摸出1個(gè)黑球的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.一袋中裝有大小相同，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為（ ）A.B.C. D.答案D5.（2020全國(guó)理，6）從20名男同學(xué),10名女同學(xué)中任選3名參加體能測(cè)試,則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為（ ）A.B.C. D. 答案D例1 有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn)：用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試寫出：（1）試驗(yàn)的基本事件；（2）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”；（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”.解 （1）這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個(gè)基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（3）事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下4個(gè)基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 (12分)甲、乙兩人參加法律知識(shí)競(jìng)答，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙兩人依次各抽一題.（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解 甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題，先抽的有10種抽法，后抽的有9種抽法，故所有可能的抽法是109=90種，即基本事件總數(shù)是90. 3分（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，下面求事件A包含的基本事件數(shù)：甲抽選擇題有6種抽法，乙抽判斷題有4種抽法，所以事件A的基本事件數(shù)為64=24.6分P（A）=.7分（2）先考慮問(wèn)題的對(duì)立面：“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對(duì)立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”，即都抽到判斷題.記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B，“至少一人抽到選擇題”為事件C，則B含基本事件數(shù)為43=12.P（B）=,10分由對(duì)立事件的性質(zhì)可得P（C）=1-P（B）=1-.12分例3 設(shè)有5個(gè)人，每個(gè)人都被等可能地分到8個(gè)房間中任意一間去住，求下列事件的概率：（1）指定的5個(gè)房間各有1人?。唬?）恰好5個(gè)房間，其中各住1人；（3）某指定的房間中恰有3個(gè)人住.解 （1）記A為“指定的5個(gè)房間各住1人”，則A中有種分法，所以指定的5個(gè)房間各住1人的概率P（A）=.（2）記“恰好有5個(gè)房間其中各住1人”為事件B，則B中有種分法，所以P（B）=.（3）記“某指定房間恰有3人”為事件C，指定的房間住3人，有種分法，剩余2人中的每人可在7個(gè)房間中任選1間有72種選法，所以C中包含72種不同的選法，所以P（C）=.1.某口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球.（1）共有多少個(gè)基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解 （1）分別記白球?yàn)?，2，3號(hào)，黑球?yàn)?，5號(hào)，從中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2號(hào)球用（1，2）表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,4),(3,5),(4,5).因此，共有10個(gè)基本事件.（2）如下圖所示，上述10個(gè)基本事件的可能性相同，且只有3個(gè)基本事件是摸到2只白球（記為事件A），即（1，2），（1，3），（2，3），故P（A）=.故共有10個(gè)基本事件，摸出2只球都是白球的概率為.2.在箱子中裝有十張卡片，分別寫有1到10的十個(gè)整數(shù)；從箱子中任取出一張卡片，記下它的讀數(shù)x，然后再放回箱子中；第二次再?gòu)南渥又腥稳∫粡埧ㄆ?，記下它的讀數(shù)y，試求：（1）x+y是10的倍數(shù)的概率；（2）xy是3的倍數(shù)的概率.解 （1）先后兩次抽取卡片，每次都有110這10種結(jié)果，故形成有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）共有1010=100個(gè).因?yàn)閤+y是10的倍數(shù),它包含下列10個(gè)數(shù)對(duì):(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4)(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),故x+y是10的倍數(shù)的概率P(A)=.(2)符合x(chóng)y是3的倍數(shù)，只要x是3的倍數(shù)或y是3的倍數(shù)就可以.其中x是3的倍數(shù)，y不是3的倍數(shù)與y是3的倍數(shù)，x不是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)（x，y）各有個(gè)；x，y都是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)有個(gè)，故xy是3的倍數(shù)的數(shù)對(duì)（x，y）有2+個(gè).因此所求的xy是3的倍數(shù)的概率P（A）=.3.（1）某醫(yī)院3位主任醫(yī)師，每人一周出診一天，出診時(shí)間可以在7天之中隨意安排，求3位主任醫(yī)師在不同的3天出診活動(dòng)的概率.（2）6位同學(xué)隨意到A、B、C三處參加社會(huì)實(shí)踐，求A處恰有3位同學(xué)的概率.解 （1）3位主任醫(yī)師在7天內(nèi)，每人隨意安排一天出診的方法數(shù)為73，記“3位主任醫(yī)師在不同三天出診”為事件A1，它們的結(jié)果數(shù)就是.P(A1)=.（2）6位同學(xué)隨意到A、B、C三處中的一處，參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的方法數(shù)為36，記“6人中有3人到A處”為事件A2，它的結(jié)果數(shù)為：23，事件A2的概率為P（A2）=.一、 選擇題1.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有n個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本，若個(gè)體a前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于個(gè)體a未被抽到的概率的倍，則個(gè)體a被抽到的概率為 （ ）A.B.C.D.答案A2.（2020遼寧理，7）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（ ）A.B.C.D.答案C3.有一個(gè)奇數(shù)列1，3，5，7，9，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個(gè)數(shù)為1，第二組有2個(gè)數(shù)為3、5，第三組有3個(gè)數(shù)為7、9、11，依此類推，則從第十組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為（ ）A.B.C.D.答案B4.有80個(gè)數(shù)，其中一半是奇數(shù)，一半是偶數(shù)，從中任取兩數(shù)，則所取的兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（ ）A.B.C. D.答案A5.從一副去掉了大、小王的52張撲克牌中任取5張，取得“四種花色齊全”的概率是 （ ）A. B.C.D.答案D6.同時(shí)擲兩枚骰子，則下列命題中正確的是 （ ）A.“兩枚點(diǎn)數(shù)都是5”的概率比“兩枚點(diǎn)數(shù)都是6”的概率小B.“兩枚點(diǎn)數(shù)相同”的概率是C.“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”的概率小于“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率D.“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率不大于“兩枚點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率答案B二、填空題7.（2020江蘇，2）一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率為 .答案 8.（2020上海文）在平面直角坐標(biāo)系中，從五個(gè)點(diǎn)：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是 （結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.答案 三、解答題9. 5張獎(jiǎng)券中有2張是中獎(jiǎng)的，首先由甲然后由乙各抽一張，求：（1）甲中獎(jiǎng)的概率；（2）甲、乙都中獎(jiǎng)的概率；（3）只有乙中獎(jiǎng)的概率；（4）乙中獎(jiǎng)的概率.解 （1）甲有5種抽法，即基本事件總數(shù)為5.中獎(jiǎng)的抽法只有2種，即事件“甲中獎(jiǎng)”包含的基本事件數(shù)為2，故甲中獎(jiǎng)的概率為P1=.（2）甲、乙各抽一張的事件中，甲有五種抽法，則乙有4種抽法，故所有可能的抽法共54=20種，甲、乙都中獎(jiǎng)的事件中包含的基本事件只有2種，故P2=.（3）由（2）知，甲、乙各抽一張獎(jiǎng)券，共有20種抽法，只有乙中獎(jiǎng)的事件包含“甲未中”和“乙中”兩種情況，故共有32=6種基本事件，P3=.（4）由（1）可知，總的基本事件數(shù)為5，中獎(jiǎng)的基本事件數(shù)為2，故P4=.10.箱中有a個(gè)正品，b個(gè)次品，從箱中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，在以下兩種抽樣方式下：（1）每次抽樣后不放回；（2）每次抽樣后放回.求取出的3個(gè)全是正品的概率.解 （1）若不放回抽樣3次看作有順序，則從a+b個(gè)產(chǎn)品中不放回抽樣3次共有種方法，從a個(gè)正品中不放回抽樣3次共有種方法，可以抽出3個(gè)正品的概率P=.若不放回抽樣3次看作無(wú)順序，則從a+b個(gè)產(chǎn)品中不放回抽樣3次共有種方法，從a個(gè)正品中不放回抽樣3次共有種方法，可以取出3個(gè)正品的概率P=.兩種方法結(jié)果一致.（2）從a+b個(gè)產(chǎn)品中有放回的抽取3次，每次都有a+b種方法，所以共有（a+b）3種不同的方法，而3個(gè)全是正品的抽法共有a3種，所以3個(gè)全是正品的概率P=11. (2020海南，寧夏文，19)為了了解中華人民共和國(guó)道路交通安全法在學(xué)生中的普及情況,調(diào)查部門對(duì)某校6名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,6人得分情況如下:5,6,7,8,9,10.把這6名學(xué)生的得分看成一個(gè)總體.(1)求該總體的平均數(shù);(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名,他們的得分組成一個(gè)樣本.求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.解 (1)總體平均數(shù)為(5+6+7+8+9+10)=7.5.(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5”.從總體中抽取2個(gè)個(gè)體全部可能的基本結(jié)果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15個(gè)基本結(jié)果.事件A包括的基本結(jié)果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7個(gè)基本結(jié)果.所以所求的概率為P（A）=12.有6個(gè)房間安排4個(gè)人居住，每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住房間是等可能的，試求下列各事件的概率:（1）事件A：指定的4個(gè)房間中各有一人；（2）事件B：恰有4個(gè)房間各有一人；（3）事件C：指定的某個(gè)房間中有兩人；（4）事件D：第一號(hào)房間有一人，第二號(hào)房間有三人.解 由于每個(gè)人可以進(jìn)住任一房間，則4個(gè)人進(jìn)住6個(gè)房間共有64種方法.（1）指定的4個(gè)房間中各有一人，有種方法，P（A）=.（2）恰有4個(gè)房間各有一人的進(jìn)住方法有種，P（B）=.（3）從4個(gè)人中選出2人去指定的某個(gè)房間，有種方法，其余2人各有5種進(jìn)住方法，總共有55種進(jìn)住方法，P（C）=.（4）選一人進(jìn)住一號(hào)房間，有種方法，余下三人進(jìn)住第二號(hào)房間，只有一種方法，共有=4種方法,P（D）=.11.2 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率基礎(chǔ)自測(cè)1.下列說(shuō)法正確的是（ ）A.事件A、B中至少一個(gè)發(fā)生的概率一定比A、B恰有一個(gè)發(fā)生的概率大B.事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率一定比事件A、B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小C.互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件答案D2.如果事件A、B互斥，那么（ ）A.A+B是必然事件B.是必然事件C.與一定不互斥D.與一定互斥答案B3.（2020佛山調(diào)研）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（ ）A.B.C.D.答案D4.某商場(chǎng)開(kāi)展促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，搖獎(jiǎng)器搖出的一組中獎(jiǎng)號(hào)碼是6，5，2，9，0，4，參加抽獎(jiǎng)的每位顧客從0，1，9這十個(gè)號(hào)碼中抽出六個(gè)組成一組，如果顧客抽出的六個(gè)號(hào)碼中至少有5個(gè)與搖獎(jiǎng)?chuàng)u出的號(hào)碼相同（不計(jì)順序）就可以得獎(jiǎng)，某位顧客可能獲獎(jiǎng)的概率為（ ）A.B.C.D.答案D5.從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（ ）A.B.C.D.答案C例1 （12分）國(guó)家射擊隊(duì)的某隊(duì)員射擊一次，命中710環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次（1）射中9環(huán)或10環(huán)的概率；（2）至少命中8環(huán)的概率；（3）命中不足8環(huán)的概率.解 記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak（kN，k10），則事件Ak彼此互斥. 2分（1）記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生.由互斥 事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B：“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件：即表 示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22.12分例2 盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的卡片各2張，從盒中任意抽取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：（1）抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；（2）抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率；（3）抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.解 （1）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意P（A）=.（2）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則P（B）=.（3）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對(duì)立事件，因?yàn)镻（D）=，所以P（C）=1-P（D）=1-.例3 某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”則該課程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9、0.8、0.7；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響.（1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；（2）求這三人該課程考核都合格的概率（結(jié)果保留三位小數(shù)）.解 記“甲理論考核合格”為事件A1；“乙理論考核合格”為事件A2；“丙理論考核合格”為事件A3；記事件為事件Ai的對(duì)立事件，i=1，2，3.記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B1；“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B2；“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件B3.（1）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，記為事件C的對(duì)立事件.方法一 P（C）=P（A1A2+A1A3+A2A3+A1A2A3）=P（A1A2）+P（A1A3）+P（A2A3）+P（A1A2A3）=0.90.80.3+0.90.20.7+0.10.80.7+0.90.80.7=0.902.方法二 P（C）=1-P（）=1-P（）=1-P（）+P（A1）+P（）+P（）=1-(0.10.20.3+0.90.20.3+0.10.80.3+0.10.20.7)=1-0.098=0.902.所以，理論考查中至少有兩個(gè)合格的概率為0.902.（2）記“三人該課程都合格”為事件D.P（D）=P（A1B1）（A2B2）（A3B3）=P（A1B1）P（A2B2）P（A3B3）=P（A1）P（B1）P（A2）P（B2）P（A3）P（B3）=0.90.80.80.70.70.9=0.254 0160.254.所以，這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.1.玻璃球盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球，求：（1）紅或黑的概率；（2）紅或黑或白的概率.解 記事件A1：從12只球中任取1球得紅球；A2：從12只球中任取1球得黑球；A3：從12只球中任取1球得白球；A4：從12只球中任取1球得綠球，則P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.根據(jù)題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出紅球或黑球的概率為P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+.（2）取出紅或黑或白球的概率為P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=.2.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21、0.23、0.25、0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：（1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）不夠7環(huán)的概率.解 （1）設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中9環(huán)”為事件B，由于A，B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.23=0.44.（2）設(shè)“少于7環(huán)”為事件C，則P（C）=1-P（）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.3.口袋里放了12個(gè)大小完全一樣的球，其中3個(gè)是紅色的，4個(gè)是白色的，5個(gè)是藍(lán)色的，在袋中任意取出4個(gè)球.試求：（1）取出的球的顏色至少是兩種的概率；（2）取出的球的顏色是三種的概率.解 （1）設(shè)從12個(gè)球中取出4個(gè)球至少是兩種顏色的事件為A，A的對(duì)立事件為，其中全為白色的有1種，全為藍(lán)色的有5種，則P（）=.所以P（A）=1-P（）=1-.（2）設(shè)取出4球中，1個(gè)紅色，1個(gè)白色，2個(gè)藍(lán)色的事件為A1；1個(gè)紅色，2個(gè)白色，1個(gè)藍(lán)色的事件為A2；2個(gè)紅色，1個(gè)白色，1個(gè)藍(lán)色的事件為A3，且A1、A2、A3彼此互斥，所求的概率為：P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=.一、選擇題1.某入伍新兵的打靶練習(xí)中，連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（ ）A.至多有1次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有1次中靶答案C2.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對(duì)立事件，那么（ ）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件答案B3.一輛班車送職工下班，有10個(gè)站，車上有30個(gè)人，如果某站無(wú)人下車，則班車在此站不停，則班車停車次數(shù)不少于2次的概率為（ ）A.1-B.C.1-D. 答案A4.一個(gè)口袋內(nèi)裝有一些大小和形狀都相同的白球、黑球和紅球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，則摸出黑球的概率是（ ）A.0.8B.0.2C.0.5D.0.3答案B5.一個(gè)盒子中裝有相同大小的紅球32個(gè)，白球4個(gè)，從中任取兩個(gè)，則概率為的事件是（ ）A.沒(méi)有白球B.至少有一個(gè)是紅球C.至少有一個(gè)是白球D.至多有一個(gè)是白球答案C6.某省舉行的一次民歌大賽中，全省六個(gè)地區(qū)各選送一對(duì)歌手參賽，現(xiàn)從這12名歌手中選出4名優(yōu)勝者，則選出的4名優(yōu)勝者中恰有兩人是同一地區(qū)送來(lái)的歌手的概率是（ ）A.B.C.D.答案C二、填空題7.中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為 .答案 8.甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率是40%，甲不輸?shù)母怕适?0%，則甲、乙二人下成和棋的概率為 .答案 50%三、解答題9.甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知每局甲獲勝的概率為0.6，比賽是采用五局三勝制.（保留三位有效數(shù)字）（1）在前兩局乙隊(duì)以20領(lǐng)先的條件下，求最后甲、乙隊(duì)各自獲勝的概率；（2）求甲隊(duì)獲勝的概率.解 （1）設(shè)最后甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，P（A）=0.63=0.216，P（B）=1-P（A）=0.784.（2）設(shè)甲獲勝為事件C，其比分可能為30，31，32.P（C）=0.63+0.620.40.6+0.620.420.60.683.10.某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：（1）派出醫(yī)生至多2人的概率；（2）派出醫(yī)生至少2人的概率.解 記事件A：“不派出醫(yī)生”，事件B：“派出1名醫(yī)生”，事件C：“派出2名醫(yī)生”，事件D：“派出3名醫(yī)生”，事件E：“派出4名醫(yī)生”，事件F：“派出不少于5名醫(yī)生”.事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥，且P（A）=0.1，P（B）=0.16，P（C）=0.3，P（D）=0.2，P（E）=0.2，P（F）=0.04.（1）“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P（C+D+E+F）=P（C）+P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.或1-P（A+B）=1-0.1-0.16=0.74.11.拋擲一個(gè)均勻的正方體玩具（各面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B）.解 方法一 因?yàn)锳+B的意義是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，所以一次試驗(yàn)中只要出現(xiàn)1、2、3、5四個(gè)可能結(jié)果之一時(shí)，A+B就發(fā)生，而一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為6個(gè)，所以P（A+B）=.方法二 記事件C為“朝上一面的數(shù)為2”，則A+B=A+C，且A與C互斥.又因?yàn)镻（C）=，P（A）=，所以P（A+B）=P（A+C）=P（A）+P（C）=.12.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率是，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？解 分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球?yàn)槭录嗀、B、C、D.由于事件A、B、C、D為互斥事件，根據(jù)已知得到解得所以得到黑球、黃球、綠球的概率各是.11.3 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率基礎(chǔ)自測(cè)1.甲、乙兩人獨(dú)立的解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是P1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是P2，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是（ ）A.P1P2B.P1（1-P2）+P2（1-P1）C.1-P1P2D.1-（1-P1）（1-P2）答案B2.打靶時(shí)甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則它們都中靶的概率是（ ）A.B.C.D.答案D3.一個(gè)電路如圖所示，A、B、C、D、E、F為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.（2020福建理，5）某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是（ ）A.B.C.D.答案B5.甲、乙兩個(gè)袋中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同.其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的兩球都是紅球的概率為 .（答案用分?jǐn)?shù)表示）答案 例1 甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，計(jì)算：（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.解 記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.“兩人都擊中目標(biāo)”是事件AB；“恰有1人擊中目標(biāo)”是A或B；“至少有1人擊中目標(biāo)”是AB或A或B.（1）顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件AB，又由于事件A與B相互獨(dú)立，P（AB）=P（A）P（B）=0.80.8=0.64.（2）“兩人各射擊一次，恰好有一次擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即A），另一種是甲未擊中，乙擊中（即B），根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件A與B是互斥的，所以所求概率為：P=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）方法一 “兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為P=P（AB）+P（A）+P（B）=0.64+0.32=0.96.方法二 人都未擊中目標(biāo)”的概率是P（）=P（）P（）=（1-0.8）（1-0.8）=0.20.2=0.04.至少有一人擊中目標(biāo)的概率為P=1-P（）=1-0.04=0.96.例2 設(shè)一射手平均每射擊10次中靶4次,求在5次射擊中:(1)恰擊中1次的概率;(2)第二次擊中的概率;(3)恰擊中2次的概率;(4)第二、三兩次擊中的概率；（5）至少擊中1次的概率.解 由題設(shè)，此射手射擊1次，中靶的概率為0.4，此射手射擊5次，是一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可用公式Pn（k）=Pk（1-P）n-k.（1）n=5，k=1，得P5（1）=P（1-P）4=0.259 2.（2）事件“第二次擊中”表示第一、三、四、五次擊中或擊不中都可，它不同于“擊中一次”，也不同于“第二次擊中，其他各次都不中”，不能用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，其實(shí)，“第二次擊中”的概率，就是此射手“射擊一次擊中”的概率，為0.4.（3）n=5，k=2，得P5（2）=P2（1-P）3=0.345 6.（4）“第二、三兩次擊中”表示第一次、第四次及第五次擊中或擊不中，所以概率為0.40.4=0.16.（5）設(shè)“至少擊中一次”為事件B，則B包括“擊中一次”、“擊中兩次”、“擊中三次”、“擊中四次”、“擊中五次”，所以概率為P（B）=P5（1）+P5（2）+P5（3）+P5（4）+P5（5）因?yàn)槭录﨎是用“至少”表述的，可以考慮它的對(duì)立事件.B的對(duì)立事件是“一次也沒(méi)有擊中”，所以P（B）=1-P（）=1-P5（0）=1-（1-0.4）5=0.922 24.例3 （12分）某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡(jiǎn)稱安檢）.若安檢不合格，則必須整改，若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)制關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計(jì)算（結(jié)果精確到0.01）：（1）恰好有兩家煤礦必須整改的概率；（2）至少關(guān)閉一家煤礦的概率.解 （1）每家煤礦必須整改的概率是1-0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的.所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是P1=（1-0.5）20.53=0.31.6分（2）某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是P2=（1-0.5）（1-0.8）=0.1.從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的.故至少關(guān)閉一家煤礦的概率是P3=1-0.950.41.12分1.甲、乙兩人參加一次考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中6題，乙能答對(duì)其中8題.若規(guī)定每次考試分別都從這10題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題算合格.（1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；（2）求甲、乙兩人至少有一人合格的概率.解 （1）設(shè)甲、乙考試合格分別為事件A、B，甲考試合格的概率為P（A）=乙考試合格的概率為P（B）=.（2）A與B相互獨(dú)立，且P（A）=，P（B）=,則甲、乙兩人至少有一人合格的概率為P（AB+B+A）=.2.袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為P.（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次.求：恰好有3次摸到紅球的概率；第一次、第三次、第五次均摸到紅球的概率.（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求P的值.解 （1）.（2）設(shè)袋子A中有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)球.由得P=3. 2020年6月南方地區(qū)經(jīng)歷了一個(gè)38以上的高溫期，導(dǎo)致用電極其緊張，為了限制用電，某地區(qū)規(guī)定該地區(qū)5個(gè)用電量最大的工廠必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的）.各個(gè)工廠之間的選擇互不影響，求：（1）5個(gè)工廠均在星期日停電的概率是多少？（2）至少有兩個(gè)工廠選擇在同一天停電的概率是多少？解 （1）設(shè)5個(gè)工廠均選擇星期日停電的事件為A，則P（A）=.（2）設(shè)5個(gè)工廠選擇的停電時(shí)間各不相同的事件為B，則P（B）=.因?yàn)橹辽儆袃蓚€(gè)工廠選擇同一天停電的事件為，所以P（）=1-P（B）=1-.一、選擇題1.從應(yīng)屆高中生中選出飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn) 合格的概率為，從中任選一學(xué)生，則該學(xué)生三項(xiàng)均合格的概率為（假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響） （ ） A.B.C.D.答案B2.如圖所示，在兩個(gè)圓盤中，指針落在本圓盤每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是（ ）A.B.C.D. 答案A3.甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為（ ）A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88答案D4.若每名學(xué)生測(cè)試達(dá)標(biāo)的概率都是（相互獨(dú)立），測(cè)試后k個(gè)人達(dá)標(biāo)，經(jīng)計(jì)算5人中恰有k人同時(shí)達(dá)標(biāo)的概率是，則k的值為（ ）A.3或4B.4或5C.3D.4答案A5.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3）的概率是（ ）A.B.C.D.答案B6.一臺(tái)X型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工廠照看的概率為0.800 0，有四臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床需要工人照看的概率是（ ）A.0.153 6B.0.180 8C.0.563 2D.0.972 8答案D二、填空題7.某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.有下列結(jié)論：他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.930.1；他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.答案 8.有一批書共100本，其中文科書40本，理科書60本，按裝潢可分精裝、平裝兩種，精裝書70本，某人從這100本書中任取一書，恰是文科書，放回后再任取1本，恰是精裝書，這一事件的概率是 .答案 三、解答題9.某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后2位）：（1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；（3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.解 （1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率為P5（2）=0.82（1-0.8）5-2=100.820.230.05.（2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率為1-P5（0）-P5（1）=1-0.80(1-0.8)5-0-0.81(1-0.8)5-1=1-0.000 32-0.006 40.99.（3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為0.80.8(1-0.8)4-1=40.820.230.02.10.已知某種從太空飛船中帶回的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所分兩個(gè)小組分別獨(dú)立開(kāi)展該種子的發(fā)芽試驗(yàn),每次試驗(yàn)種一粒種子,假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽,則稱該次試驗(yàn)是成功的,如果種子沒(méi)有發(fā)芽,則稱該次試驗(yàn)是失敗的.(1)第一個(gè)小組做了三次試驗(yàn),求至少兩次試驗(yàn)成功的概率;(2)第二個(gè)小組進(jìn)行試驗(yàn),到成功了4次為止,求在第四次成功之前共有三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗的概率.解 (1)第一個(gè)小組做了三次試驗(yàn),至少兩次試驗(yàn)成功的概率是P(A)=.(2)第二個(gè)小組在第4次成功前,共進(jìn)行了6次試驗(yàn),其中三次成功三次失敗,且恰有兩次連續(xù)失敗,其中各種可能的情況種數(shù)為=12.因此所求的概率為P(B)=.11.設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為和，且各次射擊相互獨(dú)立.（1）若甲、乙各射擊一次，求甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率；（2）若甲、乙各射擊兩次，求兩人命中目標(biāo)的次數(shù)相等的概率.解 （1）設(shè)A表示甲命中目標(biāo)，B表示乙命中目標(biāo)，則A、B相互獨(dú)立，且P（A）=，P（B）=.從而甲命中但乙未命中目標(biāo)的概率為P（A）=P（A）P（）=.（2）設(shè)Ak表示甲在兩次射擊中恰好命中k次，Bt表示乙在兩次射擊中恰好命中t次.依題意，有P（Ak）=k=0，1，2.P（Bt）=，t=0，1，2.由獨(dú)立性知兩人命中次數(shù)相等的概率為P（A0B0）+P（A1B1）+P（A2B2）=P（A0）P（B0）+P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）=12.甲、乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投3球，誰(shuí)投進(jìn)的球數(shù)多誰(shuí)獲勝，已知每次投籃甲投進(jìn)的概率為，乙投進(jìn)的概率為，求：（1）甲投進(jìn)2球且乙投進(jìn)1球的概率；（2）在甲第一次投籃未投進(jìn)的條件下，甲最終獲勝的概率.解 （1）甲投進(jìn)2球的概率為，乙投進(jìn)1球的概率為，甲投進(jìn)2球且乙投進(jìn)1球的概率為.(2)在甲第一次投籃未進(jìn)的條件下,甲獲勝指甲后兩投兩進(jìn)且乙三投一進(jìn)或零進(jìn)(記為A),或甲后兩投一進(jìn)且乙三投零進(jìn)(記為B),P(A)=,P(B)=,故所求概率為P(A+B)=.章末檢測(cè)十一一、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.甲射手擊中靶心的概率為，乙射手擊中靶心的概率為，甲、乙兩人各射一次，那么等于（ ） A.甲、乙都擊中靶心的概率B.甲、乙恰好有一個(gè)擊中靶心的概率C.甲、乙至少有一人擊中靶心的概率D.甲、乙不全擊中靶心的概率答案D2.現(xiàn)有男生4人，女生4人，將他們?nèi)我馀懦梢慌?，左?人全是女生的概率是（ ）A.B.C.D.答案A3.某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是（ ）A.B.C.D.答案B4.已知kZ, =(k,1), =(2,4),若|4，則ABC是直角三角形的概率是（ ）A.B.C.D.答案C5.一袋中裝有大小相同，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為（ ）A.B.C.D.答案D6.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生一次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P的取值范圍是（ ）A.0.4，1）B.（0，0.4C.（0，0.6D.0.6，1）答案A7.（2020安徽皖南八校聯(lián)考）某校A班有學(xué)生40名，其中男生24人，B班有學(xué)生50名，其中女生30人，現(xiàn)從A、B兩班各找一名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則找出的學(xué)生是一男一女的概率為（ ）A.B.C.D.答案B8.從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)數(shù)不能被3整除的概率為（ ）A.B.C.D.答案B9.從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則是（ ）A.2個(gè)球不都是紅球的概率B.2個(gè)球都是紅球的概率C.至少有1個(gè)紅球的概率D.2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率答案C10.甲射擊命中目標(biāo)的概率為0.75，乙射擊命中目標(biāo)的概率為，當(dāng)兩人同時(shí)射擊同一目標(biāo)時(shí)，該目標(biāo)被擊中的概率為（ ）A.B.1C.D.答案C11.口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列an：an=如果Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，那么S7=3的概率為 （ ）A.B.C.D.答案B12.箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為（ ）A. B.C. D.答案B二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13.（2020浙江溫州十校聯(lián)考）甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8和0.75，在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為 .答案 0.9514.某中學(xué)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組共有10名同學(xué)，其中男生n名（2n9），現(xiàn)從中選出2人參加一項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，若至少有一名女生去參加的概率為，則n= .答案 615.有兩個(gè)相互獨(dú)立事件A和B，若事件A發(fā)生的概率為P，事件B發(fā)生的概率為1-P，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率的最大值為 .答案 16.（2020上海理，7）在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形