二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)線形微分方程的概念 形如 (1) 的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程.其中、均為實(shí)數(shù),為已知的連續(xù)函數(shù).如果,則方程式 (1)變成 (2) 我們把方程(2)叫做二階常系數(shù)齊次線性方程,把方程式(1)叫做二階常系數(shù)非齊次線性方程. 本節(jié)我們將討論其解法.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程1解的疊加性定理1 如果函數(shù)與是式(2)的兩個(gè)解, 則也是式(2)的解,其中是任意常數(shù).證明 因?yàn)榕c是方程(2)的解,所以有 將代入方程(2)的左邊,得 =所以是方程(2)的解. 定理1說(shuō)明齊次線性方程的解具有疊加性.疊加起來(lái)的解從形式看含有兩個(gè)任意常數(shù),但它不一定是方程式(2)的通解. 2.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I內(nèi)的n個(gè)函數(shù),若存在不全為零的常數(shù)使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有, 則稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān),否則稱線性無(wú)關(guān).例如 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是線性相關(guān)的,因?yàn)?又如在任何區(qū)間(a,b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的,因?yàn)樵谠搮^(qū)間內(nèi)要使必須.對(duì)兩個(gè)函數(shù)的情形,若常數(shù), 則,線性相關(guān),若常數(shù), 則,線性無(wú)關(guān).3.二階常系數(shù)齊次微分方程的解法定理2 如果與是方程式(2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則為任意常數(shù))是方程式(2)的通解.例如, 是二階齊次線性方程,是它的兩個(gè)解,且常數(shù),即,線性無(wú)關(guān), 所以 ( 是任意常數(shù))是方程的通解. 由于指數(shù)函數(shù)(r為常數(shù))和它的各階導(dǎo)數(shù)都只差一個(gè)常數(shù)因子, 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的這個(gè)特點(diǎn),我們用來(lái)試著看能否選取適當(dāng)?shù)某?shù),使?jié)M足方程(2).將求導(dǎo),得把代入方程(2),得 因?yàn)? 所以只有 (3) 只要滿足方程式(3),就是方程式(2)的解.我們把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一個(gè)代數(shù)方程,其中的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好依次是方程(2)的系數(shù). 特征方程(3)的兩個(gè)根為 , 因此方程式(2)的通解有下列三種不同的情形.(1) 當(dāng)時(shí)，是兩個(gè)不相等的實(shí)根. ,是方程(2)的兩個(gè)特解,并且常數(shù),即與線性無(wú)關(guān).根據(jù)定理2,得方程(2)的通解為 (2) 當(dāng)時(shí), 是兩個(gè)相等的實(shí)根.,這時(shí)只能得到方程(2)的一個(gè)特解,還需求出另一個(gè)解,且常數(shù),設(shè), 即.將代入方程(2), 得 整理,得 由于, 所以 因?yàn)槭翘卣鞣匠?3)的二重根, 所以從而有 因?yàn)槲覀冎恍枰粋€(gè)不為常數(shù)的解,不妨取,可得到方程(2)的另一個(gè)解.那么,方程(2)的通解為 即 .(3) 當(dāng)時(shí),特征方程(3)有一對(duì)共軛復(fù)根 ()于是 利用歐拉公式 把改寫為 之間成共軛關(guān)系,取=,方程(2)的解具有疊加性,所以,還是方程(2)的解,并且常數(shù),所以方程(2)的通解為 綜上所述,求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟如下:(1)寫出方程(2)的特征方程 (2)求特征方程的兩個(gè)根(3)根據(jù)的不同情形,按下表寫出方程(2)的通解.特征方程的兩個(gè)根 方程 的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根 兩個(gè)相等的實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根 例1求方程的通解.解: 所給方程的特征方程為 所求通解為 .例2 求方程滿足初始條件的特解.解 所給方程的特征方程為 通解為 將初始條件代入,得 ,于是,對(duì)其求導(dǎo)得 將初始條件代入上式,得所求特解為 例3求方程的通解.解 所給方程的特征方程為 其根為 所以原方程的通解為 二、二階常系數(shù)非齊次方程的解法1.解的結(jié)構(gòu)定理3 設(shè)是方程(1)的一個(gè)特解,是式(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程式(2)的通解,則是方程式(1)的通解.證明 把代入方程(1)的左端: = =使方程(1)的兩端恒等,所以是方程(1)的解.定理4 設(shè)二階非齊次線性方程(1)的右端是幾個(gè)函數(shù)之和,如 (4) 而與分別是方程 與 的特解,那么就是方程(4)的特解, 非齊次線性方程(1)的特解有時(shí)可用上述定理來(lái)幫助求出.2.型的解法,其中為常數(shù),是關(guān)于的一個(gè)次多項(xiàng)式. 方程(1)的右端是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍為同一類型函數(shù),因此方程(1)的特解可能為,其中是某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù). 把 代入方程(1)并消去,得 (5) 以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)的確定方法: (1) 若不是方程式(2)的特征方程的根, 即,要使式(5)的兩端恒等,可令為另一個(gè)次多項(xiàng)式:代入(5)式,并比較兩端關(guān)于同次冪的系數(shù),就得到關(guān)于未知數(shù)的個(gè)方程.聯(lián)立解方程組可以確定出.從而得到所求方程的特解為(2) 若是特征方程的單根, 即,要使式(5)成立, 則必須要是次多項(xiàng)式函數(shù),于是令用同樣的方法來(lái)確定的系數(shù). (3) 若是特征方程的重根,即 .要使(5)式成立,則必須是一個(gè)次多項(xiàng)式，可令 用同樣的方法來(lái)確定的系數(shù). 綜上所述,若方程式(1)中的,則式(1)的特解為 其中是與同次多項(xiàng)式,按不是特征方程的根,是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一個(gè)特解.解 是型, 且對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ,特征根根為.=-2是特征方程的單根, 令,代入原方程解得故所求特解為 .例5 求方程的通解.解 先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.特征方程為 , 齊次方程的通解為 . 再求所給方程的特解 由于是特征方程的二重根,所以把它代入所給方程,并約去得 比較系數(shù),得 于是 所給方程的通解為 3.型的解法其中、均為常數(shù). 此時(shí),方程式(1)成為 (7) 這種類型的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),仍屬同一類型,因此方程式(7)的特解也應(yīng)屬同一類型,可以證明式(7)的特解形式為 其中為待定常數(shù).為一個(gè)整數(shù).當(dāng)不是特征方程的根, 取0;當(dāng)不是特征方程的根, 取1;例6 求方程的一個(gè)特解.解 ，不是特征方程為的根，.因此原方程的特解形式為 于是 將代入原方程，得 解得 原方程的特解為: 例7 求方程的通解. 解 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解.對(duì)應(yīng)的齊