對應(yīng)學(xué)生書P241一、選擇題1已知點M(，0)，橢圓y21與直線yk(x)交于點A、B，則ABM的周長為()A4B8C12D16解析：直線yk(x)過定點N(，0)，而M、N恰為橢圓y21的兩個焦點，由橢圓定義知ABM的周長為4a428.答案：B2已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線解析：點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|PN|，又AM是圓的半徑，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由橢圓定義，知點P的軌跡是橢圓答案：B3(2020廣東)若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.解析：由題意，知2bac.又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20，5c22ac3a20.5e22e30，e，或e1(舍去)答案：B4(2020福建)若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為()A2 B3 C6 D8解析：由橢圓方程，得F(1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則(x0，y0)(x01，y0)xx0y.P為橢圓上一點，1.xx03x03(x02)22.2x02，的最大值在x02時取得，且最大值等于6.答案：C5已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若ABF2是等腰直角三角形，則這個橢圓的離心率是()A. B. C.1 D.解析：ABF2是等腰直角三角形，|AF1|F1F2|.將xc代入橢圓方程1，得A(c，)從而2c，即a2c22ac.整理，得e22e10，解得e1.由e(0,1)，得e1.答案：C6(2020浙江溫州中學(xué)期末)設(shè)橢圓1(ab0)的離心率為e，右焦點F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則點P(x1，x2)()A必在圓x2y21外B必在圓x2y21上C必在圓x2y21內(nèi)D與x2y21的位置關(guān)系及e有關(guān)解析：xx(x1x2)22x1x221，c0,2ac0，故上式大于1，即xx1，P(x1，x2)必在圓x2y21外答案：A7P是橢圓y21上的一點，F(xiàn)為一個焦點，且POF為等腰三角形(O為原點)，則點P的個數(shù)為()A2 B4 C6 D8解析：使POF為等腰三角形，包括|PF|PO|，|FP|FO|，|OF|OP|三種情形分別為：作線段OF的中垂線與橢圓交于兩點；以F為圓心，為半徑畫弧，與橢圓交于兩點；以O(shè)為圓心，為半徑畫弧，與橢圓交于四點，共有8個點答案：D8(2020遼寧沈陽二中期末)過橢圓C：1(ab0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若k，則橢圓離心率的取值范圍是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)解析：點B的橫坐標(biāo)是c，故B的坐標(biāo)(c，)已知k(，)，B(c，)斜率k.由k，解得e.答案：C二、填空題9(2020全國)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，若線段BF的延長線交C于點D，且2，則C的離心率為_解析：方法一：設(shè)橢圓C的焦點在x軸上，如圖，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，D(xD，yD)，則(c，b)，(xDc，yD)2，1.即e2，e.方法二：設(shè)橢圓C的焦點在x軸上，如圖，B(0，b)，F(xiàn)(c,0)，D(xD，yD)，則|BF|a.作DD1y軸于點D1，則由2，得.于是|DD1|OF|c，即xD.由橢圓的第二定義，得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，整理，得.即e2，得e.答案：10(2020江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓1(ab0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為_解析：A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，A1B2的方程為yxb，B1F的方程為yxb，聯(lián)立解得交點T.又中點M在橢圓上，則13a2c210ac0.即e210e30，e25.答案：2511(2020北京)橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上若|PF1|4，則|PF2|_；F1PF2的大小為_解析：由|PF1|PF2|6，且|PF1|4，知|PF2|2.PF1F2中，cosF1PF2.F1PF2120.答案：212012(2020遼寧沈陽二中模擬)如圖所示，底面直徑為12 cm的圓柱被與底面成30的平面所截，截口是一個橢圓，則這個橢圓的長軸長_，短軸長_，離心率為_解析：作出經(jīng)過橢圓長軸的圓柱的軸截面，易得2a8 cm，短軸長即為底面圓直徑12 cm.c2，e.答案：8 cm12 cm三、解答題13(2020山東臨沂一模)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，點P(，1)在橢圓上，線段PF2與y軸的交點M滿足0.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C上任一動點M(x0，y0)關(guān)于直線y2x的對稱點為M1(x1，y1)，求3x14y1的取值范圍解析：(1)由已知，點P(，1)在橢圓上，有1.又0，M在y軸上，M為PF2的中點c0，c.a2b22.解，得b22(b21舍去)a24.故所求橢圓C的方程為1.(2)點M(x0，y0)關(guān)于直線y2x的對稱點為M1(x1，y1)，解得3x14y15x0.點P(x0，y0)在橢圓C：1上，2x02.105x010.即3x14y1的取值范圍為10,1014(2020福建)已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l？使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解析：方法一：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又因為a2b2c2，所以b212.故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0.解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4.解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在方法二：(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且有解得b212，b213(舍去)從而a216.故橢圓C的方程為1.(2)同方法一15(2020全國)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率；(2)設(shè)點P(0，1)滿足|PA|PB|，求E的方程解析：(1)由橢圓定義，知|AF2|BF2|AB|4a.又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程為yxc，其中c.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡，得(a2