遼寧省沈陽(yáng)市第十五中學(xué)2020年高中數(shù)學(xué)論文 圖形計(jì)算器應(yīng)用能力測(cè)試活動(dòng)學(xué)生 對(duì)“萬(wàn)箭穿心”圖像的探究引言廊橋遺夢(mèng)里有一句經(jīng)典對(duì)白愛(ài)情并不遵從我們的想象，愛(ài)情的神秘在于它的純潔與純粹。這是一個(gè)以數(shù)學(xué)作為紐帶的愛(ài)情、悲情。1956年，斯德哥爾摩的街頭，一個(gè)窮苦的數(shù)學(xué)家邂逅了一位公主，由于兩個(gè)人對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)， 相愛(ài)了。這原本是一段浪漫的由理性而帶來(lái)的感性之愛(ài)，但由于兩人身份懸殊，事情不久就傳到國(guó)王耳中，國(guó)王氣急敗壞，斷絕兩人的來(lái)往。這位男子痛苦不已，給公主寫了12封信，卻都被國(guó)王截下了。時(shí)值黑死病橫掃歐洲，這位數(shù)學(xué)家不幸染上了重病，在彌留之際，寫下了第13封情書，也是最后一封信。這最后一封信上沒(méi)有寫一句話，只有一個(gè)方程：。 國(guó)王看不懂，把全城的數(shù)學(xué)家召集到皇宮，但是沒(méi)有人能解開(kāi)這個(gè)函數(shù)式。他不忍看著心愛(ài)的女兒每天悶悶不樂(lè)，便把這封信給了她。拿到信的公主激動(dòng)地找來(lái)紙和筆，著手把方程圖形畫了出來(lái)，一顆心形圖案出現(xiàn)在眼前，公主不禁流下感動(dòng)的淚水，這條曲線就是著名的“心形線”。 可惜斯人已去，只留下了一段遺憾。那位數(shù)學(xué)家是笛卡爾，這位公主是瑞典王室的克里斯丁。在心中充滿了對(duì)兩人的同情的同時(shí)，一個(gè)想法躍然心中，為何不做一個(gè)有關(guān)心形線的課題呢？正文 首先要借此普及一個(gè)概念，很多人都將此圖像稱為函數(shù)，這是不正確的，函數(shù)反映的是x與y的映射，換言之，一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y值，而心形圖像實(shí)質(zhì)上是由兩個(gè)函數(shù)組成的，因此嚴(yán)格意義上來(lái)講，它并不是一個(gè)函數(shù)。 現(xiàn)在要正式繪制這個(gè)圖像了，經(jīng)過(guò)資料的查詢發(fā)現(xiàn)，其方程為x+(y-x)=1,經(jīng)過(guò)一定的變化就可以轉(zhuǎn)換成我所想要的兩個(gè)函數(shù)了： 于是我便開(kāi)始了初步的繪制，首先按鍵5進(jìn)入圖形模塊，在其中輸入兩個(gè)函數(shù)，再按鍵EXE（由于原圖過(guò)大，所以通過(guò)縮放的功能將原圖進(jìn)行了一定的縮小處理，縮放組圖如下）：縮放功能的具體操作：第一步SHIFTF2F3第二步“左右鍵移動(dòng)，確定縮小的程度第三步EXE（確定完成，就搞定了圖形計(jì)算器中縮放的功能） 接著我又想到如何能將圖形的縮放在函數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)，我們高一的時(shí)候?qū)W過(guò)三角函數(shù)，任意的正弦函數(shù)都可以表示為：,其中具有縮放圖像的功能，而且越小，整個(gè)圖像就會(huì)在x軸上延伸，于是為何不嘗試將x替換為（x/k），而且既然圖像能在x軸上進(jìn)行放縮，于y軸亦然，y亦可由（y/k）代替。由于計(jì)算器中本身設(shè)置的應(yīng)變量為y，所以直接將K乘到右面，即可替代（y/k）（其實(shí)應(yīng)變量完全可以由其他變量來(lái)代替，但由于計(jì)算器GIF對(duì)可控變量個(gè)數(shù)僅一個(gè)的限制，只能全用K來(lái)均勻體現(xiàn)圖像放縮的過(guò)程）。先進(jìn)入計(jì)算機(jī)動(dòng)態(tài)圖模塊，將帶有可控變量K融于原先函數(shù)之中，輸入完函數(shù)后在按鍵EXE，便會(huì)出現(xiàn)以下這個(gè)畫面： 就如上面組圖所示，要對(duì)K（動(dòng)態(tài)變量）設(shè)定，讓我們拿起計(jì)算器，按鍵F2（START表示初始值，END表示終止值，STEP表示步長(zhǎng)）。出于計(jì)算器屏幕的限制,為了能清晰地繪制出圖像，經(jīng)過(guò)多次嘗試之后發(fā)現(xiàn)，初始值取1，終止值取4，步長(zhǎng)取1，能較好顯示圖像。（GIF，即動(dòng)態(tài)圖模塊，繪制圖像的大小其實(shí)是與圖像模塊息息相關(guān)的，因此除非返回圖像模塊對(duì)圖像的大小進(jìn)行重設(shè)，一般而言，可以通過(guò)對(duì)控制變量K的設(shè)定，或是函數(shù)截距的控制。）接下來(lái)就是對(duì)速度控制功能的介紹。按鍵F3可得為了探究的方便，一般選擇單步執(zhí)行，當(dāng)然也可根據(jù)個(gè)人的喜好選擇慢速、常速抑或快速?，F(xiàn)在可以正式繪制圖像了，按鍵EXIT回到原先界面，F(xiàn)6 鍵以及幾分鐘的等待之后，拭目以待的圖像就躍然屏幕了： 若探究就此結(jié)束，本身也沒(méi)有多少意義，只不過(guò)是花點(diǎn)時(shí)間，空手嘗試著計(jì)算器的各項(xiàng)功能的操作，于是我在想怎么能讓其充滿樂(lè)趣，讓我能夠更能享受整個(gè)過(guò)程呢？探究的本身就是要不斷地提出問(wèn)題，不斷地思考，哪怕是再小的想法，也要勇于嘗試，哪怕別人看上去再幼稚，但是探究得到的結(jié)果，哪怕小的可憐，也會(huì)讓自己欣喜萬(wàn)分。更何況，探究過(guò)程中的各種滋味遠(yuǎn)比結(jié)果重要得多！享受著這漂亮的圖像，我又開(kāi)始了進(jìn)一步的思考：愛(ài)往往和愛(ài)神丘比特相系，若是能將丘比特之箭賦予此心，不是更貼切這個(gè)圖像祖先笛卡爾對(duì)公主用數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)的愛(ài)嗎？可以確定的是，一個(gè)箭頭至少要三個(gè)函數(shù)組成，一個(gè)函數(shù)是箭桿，另兩個(gè)是箭頭，而且這個(gè)函數(shù)都要有定義域，為了加快探究的效率，把變量K通過(guò)一定的計(jì)算后放入“箭頭圖像”的定義域中，即可使箭頭能隨“心形圖像”的放縮而同步放縮。 再配上“心形圖像” 由于一開(kāi)始并沒(méi)有找到影響繪圖原點(diǎn)位置的因素，因此對(duì)構(gòu)成“心形圖像”的兩個(gè)函數(shù)以及構(gòu)成“箭頭圖像”的三個(gè)函數(shù)都進(jìn)行一定的調(diào)整，函數(shù)表達(dá)式如下： 而且由于“一箭穿心”圖像顯得似乎不是很勻稱，于是何不來(lái)個(gè)雙箭乃至多箭穿心圖呢？最簡(jiǎn)單的方法就是將箭頭調(diào)轉(zhuǎn)一個(gè)方向，做出一個(gè)軸對(duì)稱的圖像，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得出另一箭頭的三個(gè)函數(shù)解析式分別為：得出來(lái)的“雙箭穿心綿綿愛(ài)意圖”便如下所示： 設(shè)計(jì)箭頭的時(shí)候，考慮到美觀及對(duì)稱，我經(jīng)過(guò)大量的計(jì)算及反復(fù)試驗(yàn)，最后得出兩個(gè)函數(shù)解析式，相對(duì)于其他的幾個(gè)函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)圖像放上去更和諧一些。但是這兩個(gè)函數(shù)解析式通過(guò)不斷實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)的結(jié)果中，憑著個(gè)人對(duì)美的一種理解來(lái)判斷的，所以設(shè)計(jì)的函數(shù)難免帶有一些不精確或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜毕?，尤其思考的時(shí)候基本是脫離“箭桿”這個(gè)因素。實(shí)際上，我已經(jīng)通過(guò)fx-CG20圖形計(jì)算器已經(jīng)完成了所要探究的問(wèn)題，完成了這幅圖像，但是我總覺(jué)得還可以做點(diǎn)什么，來(lái)彌補(bǔ)這份不完美。所以接下來(lái)我探討了構(gòu)成“箭桿圖像”的函數(shù)與構(gòu)成“箭頭圖像”的兩個(gè)函數(shù)之間存在著什么樣的關(guān)系時(shí)，兩個(gè)“箭頭”偏離“箭桿”的角度相等，使之成為一個(gè)有著勻稱美的丘比特之箭。對(duì)這幾個(gè)函數(shù)關(guān)系的研究所獲得的結(jié)論可以給感興趣的讀者提供一些小幫助，即利用我探究得到的關(guān)系，選擇一個(gè)讀者們認(rèn)為和諧的箭頭，修改這個(gè)圖像。探究結(jié)果如下：當(dāng)時(shí)，由圖可知 令三個(gè)函數(shù)在時(shí)交于一點(diǎn)則此點(diǎn)為，,解得故最后只要通過(guò)定義域的控制,即可當(dāng)時(shí)，綜上所述：當(dāng)時(shí) 草稿后記這篇論文的完成還是頗費(fèi)了些心血的，從對(duì)圖形計(jì)算器的陌生到熟悉，從對(duì)各種想法的產(chǎn)生、否定及認(rèn)可，從各種方案的產(chǎn)生及變化、修改，到現(xiàn)在的成文，讓我收獲很大。我還依稀記得當(dāng)時(shí)由于操作不嫻熟，一次又一次將函數(shù)輸入，一次又一次不小心按了退出鍵，不得不重新再來(lái)；“箭桿”圖像與“箭頭”圖像不能在GIF模塊中合在一起，不得不花大量時(shí)間進(jìn)行重新的演算，找出自己所犯的錯(cuò)誤；通過(guò)對(duì)函數(shù)不斷的調(diào)整使“丘比特之箭”終能射中心的正中心。歸結(jié)到底，還是自己所知的數(shù)學(xué)知識(shí)比較單薄，不會(huì)借助于數(shù)學(xué)工具轉(zhuǎn)化我的各類想法，好多構(gòu)思由于我單薄的理論基礎(chǔ)止步于探究之路。在現(xiàn)有的探究過(guò)程中，我已經(jīng)努力使探究過(guò)程簡(jiǎn)化，在過(guò)程的表述中 盡量做到通俗易懂，而不用長(zhǎng)篇累牘地累了讀者。這份成果在別人眼里不一定是完美的，可能還有這樣那樣的問(wèn)題，但是這份成果是對(duì)我努力的肯定！完成這份小論文，有很多要感謝的人，首先是我的潘靜紅老師，她為我提供了一個(gè)自己動(dòng)手操作探索的機(jī)會(huì)，并在我對(duì)于一些操作有疑問(wèn)的情況下給予輔導(dǎo)，助我渡過(guò)難關(guān)；并在此論文完成后，通讀了整篇論文，并對(duì)其進(jìn)行修改并提出了很多很有價(jià)值的建議。若不是潘老師的鼓勵(lì)、督促，我想，這篇論文也是很難破殼而出的。接下來(lái)是我的好友陸家晟、李森豊同學(xué)。陸家晟在我承受巨大壓力的情況下，對(duì)我的成果是贊賞有加，讓我不懼怕未知的困難，勇往直前。而李森豊同學(xué)在數(shù)學(xué)的美感上給予了我很多靈感，他看到“一箭穿心”的圖像后，提出是否能做出一個(gè)更勻稱的軸對(duì)稱圖形，并鼓勵(lì)我予以運(yùn)算、嘗試、實(shí)踐，使之能真正呈現(xiàn)在讀