1.3晶列和晶面指數(shù)(crystalarrayandMillerindices),一、晶列和晶向指數(shù)(crystalarrayanddirectionindices)二、晶面和密勒指數(shù)（latticeplanesandMillerindices）本節(jié)思路：介紹晶列、晶面的概念以及它們的表示。,一、晶列和晶向指數(shù)(crystalarrayanddirectionindices)1晶列和晶向(crystalarrayandcrystaldirection)晶列(crystalarray)-由于晶體的周期性結構，布拉菲格子的格點可以看成分列在一系列相互平行的直線上，而無遺漏，這樣的直線系稱為晶列。,1.3晶列和晶面指數(shù)(crystalarrayandMillerindices),同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列的取向稱為晶向（crystaldirection）。,晶列的特點：晶列上的格點具有一定的周期性。晶列族如果一平行直線族把格點包括無遺，且每一直線上都布有格點，則稱這些直線為同一族晶列。一族晶列的特征：取向相同，晶列上格點的周期相同。,2晶向指數(shù)(directionindices)一組能表示晶列方向的數(shù)稱為晶向指數(shù)。晶向指數(shù)可根據(jù)晶列上格點的周期性，用如下的方法來表標志：取晶列直線上一格點為坐標原點，該晶列上另一格點相對該點的位矢為：將l1，l2，l3化為互質的整數(shù)l1，l2，l3，記作l1l2l3，即稱為該晶向的指數(shù)，又稱為晶列指數(shù)(crystalarrayindices)。遇到負數(shù)，負號記在數(shù)的上方。不同的基矢坐標，其晶向指數(shù)的表示不同。等價的方向用表示。,如圖所示為立方晶格的一些晶向：AB100AE001AF101BA00FB00BH11AD010AG111AC110DA00EA00可以看出，AB，AD，AE，BA，DA,EA六個晶向，其晶向指數(shù)的差異完全來自基矢方向的選擇。由于對稱性，它們在物理上是完全等價的，可以統(tǒng)一用表示。類似地，用表示與110等價的12個面對角線晶向；用表示與111等價的體對角線晶向。,簡單立方晶格的晶向標志,立方邊OA的晶向,立方邊共有6個不同的晶向,簡單立方晶格的晶向標志,面對角線OB的晶向,面對角線晶向共有12個,體對角線OC的晶向,體對角線晶向共有8個,簡單立方晶格的晶向標志,由于立方晶格的對稱性，以上3組晶向是等效的,簡單立方晶格的晶向標志,表示為,晶向指數(shù),晶向指數(shù),二、晶面和密勒指數(shù)（latticeplanesandMillerindices）1晶面和晶面族(latticeplanesandthefamily)晶面布拉菲格子的格點，也可以看成分列在相互平行、間距相等的平面上而無遺漏，這些包含格點的平面稱為晶面；晶面族-而那些相互平行、間距相等、格點分布情況相同的總體，稱為晶面族。,晶面的標志,晶體的晶面在布拉伐格子中作一簇平行的平面這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點包括無遺,這些相互平行的平面稱為晶體的晶面,同一個格子，兩組不同的晶面族,LatticePlanesandMillerIndices,Imaginerepresentingacrystalstructureonagrid(lattice)whichisa3Darrayofpoints(latticepoints).Canimaginedividingthegridintosetsof“planes”indifferentorientations,取某一原子為原點O，原胞的三個基矢,為坐標系的三個軸,晶格中一族的晶面不僅平行，并且等距,一族晶面必包含了所有格點而無遺漏,三個基矢末端格點必分別落在該族的不同晶面上,2晶面指數(shù)和密勒指數(shù)(indicesoflatticeplanesandMillerindices)晶面指數(shù):能夠標志晶面取向的一組數(shù)，稱為晶面指數(shù)(indicesoflatticeplane)。要描寫一個平面的方位，就是要找出一個坐標系中表示該平面的法線方向，或給出該平面在三個坐標軸上截距。顯然，根據(jù)基矢取坐標系時，晶面指數(shù)也有兩種標志方法。(1)固體物理學原胞(2)結晶學原胞,二、晶面和密勒指數(shù)（latticeplanesandMillerindices）,設某一族晶面的面間距為d，它的法線方向的單位矢量為,（1.3.1）,設此晶面與三個坐標軸的交點的位矢分別為,所以，晶面的法線方向與三個坐標軸（基矢）之間夾角的余弦之比等于晶面在三個坐標軸上的截距的倒數(shù)之比。說明用方向余弦和截距標志晶面是等價的。,可以證明，r、s、t必為有理數(shù),按照（1.3.1）式，對這三個晶面分別有,即晶面族的法線方向與三個基矢之間夾角的余弦之比等于三個整數(shù)之比。,比較（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t分別是兩個整數(shù)之比，必為有理數(shù)，這就是阿羽依的有理指數(shù)定律：任一晶面的截距r、s、t必是一組有理數(shù)。,（1.3.7）,令,為互質整數(shù)，這樣式（1.3.6）可以寫為,顯然，這組互質的整數(shù)可用來表示晶面的法線方向，就稱它們?yōu)樵撟寰娴拿嬷笖?shù)，習慣上用圓括號表示，記為,求晶面指數(shù)的方法：對于給定的晶面族，以基矢為坐標系，求出任意一個晶面在坐標軸上的截距，將截距取倒數(shù)并化為互質的整數(shù)，記為，就是該晶面族的晶面指數(shù)。,密勒指數(shù)(Millerindices)用結晶學原胞基矢構成坐標系,得到的晶面指數(shù),稱之為密勒指數(shù)，用（hkl）表示。同一族晶面，在不同坐標系中求得的指數(shù)往往是不同的。注意：（1）面指數(shù)可正可負，當晶面在基矢坐標軸正方向相截時，截距系數(shù)為正，在負方向相截時，截距系數(shù)為負。（2）同一晶體中面間距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏觀性質相同，所以稱為同族晶面族，并以大括號表示之。如立方晶系晶體的晶面族111包括（111）、和。,立方晶格的幾種主要晶面標記,面等效的晶面數(shù)分別為：3個,表示為,面等效的晶面數(shù)分別為：6個,表示為,面等效的晶面數(shù)分別為：4個,表示為,符號相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時才有意義,在晶體內部這些面都是等效的,如圖所示，以原胞基矢構成坐標系，晶面族在三個坐標軸上的截距分別是，截距的倒數(shù)是，化成互質數(shù)為2，3，3，所以晶面指數(shù)是（233）。,晶面指數(shù)為（233）的晶面族中的一個晶面,SummarycrystalarrayanddirectionindicescrystalarraycrystaldirectiondirectionindiceslatticeplanesandMillerindiceslatticeplanesMillerindices,Crystaldirections.AnylatticevectorcanbewrittenasthatgivenbyEq:,Thedirectionisthenspecifiedbythethreeintegersl1l2l3.Ifthenumbersl1l2l3haveacommonfactor,thisfactorisremoved.Forexample,111isusedratherthan222,or100,ratherthan400.Whenwespeakaboutdirections,wemeanaholesetofparallellines,whichareequivalentduetotransnationalsymmetry.Oppositeorientationisdenotedbythenegativesignoveranumber.,Crystalplanes.TheorientationofaplaneinalatticeisspecifiedbyMillerindices.Theyaredefinedasfollows.Wefindinterceptoftheplanewiththeaxesalongtheprimitivetranslationvectorsa1,a2anda3.Letstheseinterceptsbex,y,andz,sothatxisfractionalmultipleofa1,yisafractionalmultipleofa2andzisafractionalmultipleofa3.Thereforewecanmeasurex,y,andzinunitsa1,a2anda3respectively.Wehavethenatripletofintegers(xyz).Thenweinvertit(1/x1/y1/z)andreducethissettoasimilaro