數(shù)列的概念按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列（sequence of number）。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項。所以，數(shù)列的一般形式可以寫成 a1，a2，a3，an， 簡記為an，項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”（finite sequence），項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”（infinite sequence）。 從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如：1,2,3，4,5,6,7 從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8,7,6,5,4,3,2,1, 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列； 各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列（如三角函數(shù)）； 各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列。如：2,2,2,2,2,2,2,2,2,。 通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 遞推公式：如果數(shù)列an的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。 數(shù)列中數(shù)的總數(shù)為數(shù)列的項數(shù)。特別地，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，n）為定義域的函數(shù)an=f(n)。 如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a(n)=f(n). 表示方法如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。如an=(-1)(n+1)+1 如果數(shù)列an的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1 (n1) 等差數(shù)列【定義】一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmetic sequence），這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。 【縮寫】等差數(shù)列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。 【等差中項】由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。 有關(guān)系：A（ab）/2 【通項公式】an=a1+(n-1)d an=Sn-S(n-1) (n2) 【前n項和】Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 【性質(zhì)】且任意兩項am，an的關(guān)系為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。 從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,n 若m，n，p，qN*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k成等差數(shù)列，等等。 和（首項末項）項數(shù)2 項數(shù)（末項-首項）公差1 首項=2和項數(shù)-末項 末項=2和項數(shù)-首項 設(shè)a1,a2,a3為等差數(shù)列。則a2為等差中項,則2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。 【應(yīng)用】日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別 時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級。 若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)0。 等比數(shù)列【定義】一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列（geometric sequence）。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。 【縮寫】等比數(shù)列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。 【等比中項】如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。 有關(guān)系：G2ab；G(ab)(1/2) 注：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，所以G2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。 【通項公式】an=a1q(n-1) an=Sn-S(n-1) (n2) 【前n項和】當q1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為 Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q1) 【性質(zhì)】任意兩項am，an的關(guān)系為an=amq(n-m) （3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中項：aqap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。 記n=a1a2an，則有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。 性質(zhì)： 若 m、n、p、qN*，且mn=pq，則aman=apaq； 在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列. “G是a、b的等比中項”“G2=ab（G0）”. (5) 等比數(shù)列前n項之和Sn=A1(1-qn)/(1-q) 在等比數(shù)列中，首項A1與公比q都不為零. 注意：上述公式中An表示A的n次方。 【應(yīng)用】等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。 如：銀行有一種支付利息的方式-復(fù)利。 即把前一期的利息和本金價在一起算作本金， 再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 按照復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q0)。 （1）等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q（n1） 若通項公式變形為an=a1/q*qn(nN*),當q0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*qx上的一群孤立的點。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-qn)/(1-q) =(a1-a1qn)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即A-Aqn) (前提：q不等于 1) 任意兩項am，an的關(guān)系為an=amq(n-m) （3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,n （4）等比中項：aqap=ar2，ar則為ap，aq等比中項。 記n=a1a2an，則有2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。 一般數(shù)列的通項求法一般有： an=Sn-Sn-1 （n2） 累和法（an-an-1=. an-1 - an-2=. a2-a1=.將以上各項相加可得an）。 逐商全乘法（對于后一項與前一項商中含有未知數(shù)的數(shù)列）。 化歸法（將數(shù)列變形，使原數(shù)列的倒數(shù)或與某同一常數(shù)的和成等差或等比數(shù)列）。 特別的： 在等差數(shù)列中，總有Sn S2n-Sn S3n-S2n 2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 即三者是等差數(shù)列,同樣在等比數(shù)列中。三者成等比數(shù)列 不動點法（常用于分式的通項遞推關(guān)系） 不動點法求數(shù)列通項 對于某些特定形式的數(shù)列遞推式可用不動點法來求 特殊數(shù)列的通項的寫法1,2,3,4,5,6,7,8. -an=n 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8.-an=1/n 2，4，6，8，10，12，14.-an=2n 1,3,5,7,9,11,13,15.-an=2n-1 -1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)n 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1.-an=(-1)(n+1) 1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1.-an=(-1)(n+1)+1/2 1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0.-an=cos(n-1)/2=sinn/2 9,99,999,9999,99999,. -an=（10n)-1 1,11,111,1111,11111.-an=（10n)-1/9 衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn.-an=（10n)-1*n/9,n為1-9的整數(shù) 1，4，9，16，25，36，49，.-an=n2 1,2,4,8,16,32.-an=2(n-1) 數(shù)列前N項和公式的求法(一)1.等差數(shù)列: 通項公式an=a1+(n-1)d 首項a1,公差d, an第n項數(shù) an=ak+(n-k)d ak為第k項數(shù) 若a,A,b構(gòu)成等差數(shù)列 則 A=(a+b)/2 2.等差數(shù)列前n項和: 設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn 即 Sn=a1+a2+.+an; 那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 =dn2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法 (二)1.等比數(shù)列: 通項公式 an=a1*q(n-1)(即q的n-1次方) a1為首項,an為第n項 an=a1*q(n-1),am=a1*q(m-1) 則an/am=q(n-m) (1)an=am*q(n-m) (2)a,G,b 若構(gòu)成等比中項,則G2=ab (a,b,G不等于0) (3)若m+n=p+q 則 aman=apaq 2.等比數(shù)列前n項和 設(shè) a1,a2,a3.an構(gòu)成等比數(shù)列 前n項和Sn=a1+a2+a3.an Sn=a1+a1*q+a1*q2+.a1*q(n-2)+a1*q(n-1)(這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導(dǎo)的,這時可能要直接從基本公式推導(dǎo)過去,所以希望這個公式也要理解) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 注: q不等于1; Sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法（即數(shù)學(xué)歸納法） 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法 著名的數(shù)列等差數(shù)列典型例題： 1/(1x(1+1)+1/(2x(2+1)+1/(3x(3+1)+1/(4x(4+1)+1/(5x(5+1).1/(n(n+1) 求Sn 解析： Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).1/n-1/(n+1) =1-1/(n+