函數(shù)的連續(xù)性一、教學(xué)目標(biāo)：1了解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義及函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件。2理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、教學(xué)重點(diǎn)： 三、教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1連續(xù)函數(shù)的定義： ；2初等函數(shù)的連續(xù)性： ；3連續(xù)函數(shù)具有以下性質(zhì)（最大值最小值定理）： 。（二）知識(shí)點(diǎn)詳析1連續(xù)函數(shù)的定義：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處及其附近有定義，而且，就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)連續(xù)。這個(gè)定義包含三層含義：f(x)在點(diǎn)處及其附近有定義；存在；。以上三個(gè)條件只要缺少其中的任意一個(gè)，f(x)在處都不連續(xù)。在函數(shù)于處連續(xù)的定義的基礎(chǔ)上，我們可以定義函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在x=a處有，在x=b處有，就說(shuō)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，這種環(huán)環(huán)相扣、層層推進(jìn)的定義方式能很好地培養(yǎng)我們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。2關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，課本中借助于函數(shù)的幾何圖像只給出一個(gè)性質(zhì)：最大值最小值定理。因?yàn)殚]區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)f(x)的圖像是坐標(biāo)平面內(nèi)的一條有始點(diǎn)(a，f(a)和終點(diǎn)(b，f(b)的連續(xù)曲線，所以函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的函數(shù)值必存在最大值和最小值。（三）例題分析：例1.討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)或區(qū)間上的連續(xù)性：，點(diǎn)x=0； ，區(qū)間0，2；，點(diǎn)x=-1。分析 對(duì)于函數(shù)f(x)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性，關(guān)鍵是判斷函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限是否等于；對(duì)于函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的連續(xù)性，則要看它在給定區(qū)間上任一點(diǎn)是否都有定義，是否都連續(xù)，特別要注意端點(diǎn)處的情形。解 當(dāng)時(shí)，則， ，又，從而f(x)在x=0處極限不存在，因此f(x)在x=0處不連續(xù)。，f(x)在x=2處無(wú)定義，從而f(x)在x=2處不連續(xù)，因此f(x)在0，2上不連續(xù)，（但f(x)在區(qū)間0，2內(nèi)是連續(xù)的）， 又，因此。所以函數(shù)f(x)在x=-1處連續(xù)。說(shuō)明 對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限，一定要注意它的左、右極限是否存在，是否相等，對(duì)于分式函數(shù)，要注意如果分子、分母約去一個(gè)或幾個(gè)因式后，所得函數(shù)與原來(lái)的函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)。例2函數(shù)， 求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖像；求f(x)的不連續(xù)點(diǎn)；對(duì)f(x)補(bǔ)充定義，使其在R上是連續(xù)函數(shù)。分析 函數(shù)f(x)是一個(gè)分式函數(shù)，它的定義域是使分母不為零的自變量x的取值范圍。給函數(shù)f(x)補(bǔ)充定義，使其在R上是連續(xù)函數(shù)，一般是先求，再讓即可。解：函數(shù)f(x)的定義域是x|xR且x-1。當(dāng)x-1時(shí)，圖象如圖25所示。由定義可知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)是。因?yàn)楫?dāng)x-1時(shí)，f(x)=x-1，所以。因此，將函數(shù)f(x)的表達(dá)式改寫(xiě)為，則函數(shù)f(x)在R上連續(xù)。說(shuō)明 要作分式函數(shù)圖像，首先應(yīng)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再作函數(shù)的圖像，別要注意化簡(jiǎn)前后的函數(shù)定義域不能發(fā)生變化。例3 求a的值，使處處連續(xù)。分析：由函數(shù)解析式可以看出，f(x)在x0時(shí)均連續(xù)。因此只需要考慮x=0時(shí)的情形。解： 。而，要使f(x)在x=0處連續(xù)，必須取，則，且此時(shí)。 時(shí)，f(x)處處連續(xù)。說(shuō)明：分段函數(shù)的連續(xù)性關(guān)鍵在于分?jǐn)帱c(diǎn)處是否連續(xù)。如果不連續(xù)，要補(bǔ)充定義的則補(bǔ)充定義；若是含參數(shù)的，使參數(shù)取適當(dāng)?shù)亩ㄖ凳沟煤瘮?shù)在此處連續(xù)。例4設(shè)y=f(x)是一個(gè)分段函數(shù)找出一個(gè)函數(shù)g(x)使函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=-1，x=1處都連續(xù)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=-3，x=4處是否連續(xù)？若不連續(xù)，如何改變?cè)瓉?lái)函數(shù)的部分表達(dá)式，使之連續(xù)？分析：在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出已知函數(shù)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=-3，4處是間斷的，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)是“空白的”。為了使函數(shù)在R上連續(xù)，可以求出當(dāng)x=-3，-1，1，4時(shí)的函數(shù)值或函數(shù)的極限值，再構(gòu)造函數(shù)使之滿足函數(shù)連續(xù)的條件。解：當(dāng)x=-1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+41-2=1，于是所求函數(shù)g(x)滿足：當(dāng)x（-1，1）時(shí)，g（x）（-1，1），且，在x（-1，1）上連續(xù)。于是可設(shè)g(x)=x，x（-1，1）.又由于x=-3時(shí)，y=-1；而對(duì)于y=x+3當(dāng)x=-3時(shí)，y=0。于是只要將y=x+3的圖像向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，即可使函數(shù)在x=-3處連續(xù)。由于x=4時(shí)，y=0；而對(duì)于，當(dāng)x=4時(shí)y=-2。于是只要將y=4-x的圖像向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度，即可使函數(shù)在點(diǎn)x=4處連續(xù)。這樣我們就得到R上的連續(xù)函數(shù)說(shuō)明：滿足條件的g(x)不是惟一的，例如，x（-1，1）；，x（-1，1）都滿足題意。（四）鞏固練習(xí)：1“函數(shù)f(x)在點(diǎn)處有定義且極限存在”是“f(x)在點(diǎn)處連續(xù)”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件2設(shè)函數(shù)在區(qū)間0，+上連續(xù)，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）A1 B2 C3 D03函數(shù)在x（-3，3）上不連續(xù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（ ）A1 B2 C6 D54函數(shù)在（-