立體幾何中的向量方法命 題 報 告 難度及題號知識點容易題(題號)中等題(題號)稍難題(題號)利用空間向量證明 平行、垂直問題111利用空間向量求異面 直線所成角、線面角.2、34、6、78利用空間向量求二面角510、129一、選擇題1若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0) Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1) Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：若l，則an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D選項中an330.答案：D2若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a與b的夾角余弦值為，則等于()A2B2 C2或 D2或解析：cosa，b，2或.答案：C3在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角是 ()A. B. C. D.解析：(特殊位置法)將P點取為A1，作OEAD于E，連接A1E，則A1E為OA1在平面AD1內(nèi)的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM與OP成90角或建系利用向量法 答案：D4(2020全國卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為 ()A. B. C. D. 解析：如圖連結A1B，則有A1BCD1， A1BE就是異面直線BE與CD1所成角，設AB=1，則A1E=AE=1，BE=，A1B=.由余弦定理可知：cosA1BE=答案：C5(2020濱州模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 ()A. B. C. D.解析：以A為原點建系，設棱長為1.則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)， (1,0，)，設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)則n1(1,2,2)，平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2.即所成的銳二面角的余弦值為.答案：B6(2020浙江高考)在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 ()A30 B45 C60 D90 解析：如圖，取BC中點E，連結DE、AE、AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AE平面BB1C1C，故ADE為AD與平面BB1C1C所成的角設各棱長為1，則AE，DE，tanADE，ADE60.答案：C二、填空題7長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析：建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)， (1,0,2)，(1,2,1)，cos.答案：8正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側棱SD的中點，且SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是_解析：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz.設OD=SO=OA=OB=OC=a， 則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0，)，則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，設平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n，n60，直線BC與平面PAC所成的角為906030 答案：309正三棱錐的一個側面的面積與底面積之比為23，則這個三棱錐的側面和底面所成二面角的度數(shù)為_解析：設一個側面面積為S1，底面面積為S，則這個側面在底面上射影的面積為，由題設得，設側面與底面所成二面角為，則cos， 60.答案：60三、解答題10(2020包頭模擬)如圖，四棱錐PABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD底面ABCD，E為側棱PD的中點 (1)求證：PB平面EAC；(2)若ADAB，試求二面角APCD的正切值解：法一：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接OE，在PDB中，OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，故PB平面AEC.(2)設AD=AB=PD=PA=a，側面PAD底面ABCD，又CDAD，CD側面PAD，AEDC，又PAD為正三角形，且E為PD中點，AEPD，故AE平面PDC 在等腰PDC中，作DMPC，則M為PC的中點，再作ENDM交PC于點N，則ENPC，連接AN，則ANE為二面角A-PC-D的平面角，在RtPDC中，DM=a，所以EN=a，在等邊PAD中，AE=a，所以tanANE=法二：(1)證明：如圖建立空間直角坐標系O-xyz，其中O為AD的中點設PA=AD=PD=a，AB=b，則P(0,0，a)，D(，0,0)，E(，0，a)，B(，b,0)，連接BD交AC于點F，則F(0，0)(，a)，(，b，a)2，又EF平面AEC，且PB平面AEC，PB平面EAC.(2)設PAADPDABa，則P(0,0，a)，A (，0,0)，C(，a,0)，D(，0,0) (a，a,0)，(，a，a)， (，0，a)，設n1(x1，y1，z1)是平面PAC的法向量，則即令z11，解得x1y1，n1(，1)，設n2(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量， 則即令z21，解得x2，y20，n2(，0,1)，cosn1，n2，設所求二面角的平面角為，則cos，sin，tan.11(2020江蘇蘇北三市模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABCD，BAD90，PA平面ABCD，AB1，AD2，PACD4.(1)求證：BDPC；(2)求二面角BPCA的余弦值解析：(1)證明：以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則B(0,1,0)，C(-2,4,0)，D(-2,0,0)，P(0,0,4)， (2,4，4)，(2，1,0)，440，所以PCBD (2)易證為平面PAC的法向量，(2，1,0)設平面PBC的法向量n(a，b，c)，(0,1，4)，(2,3,0)，所以所以平面PBC的法向量n(6,4,1)，cos.因為平面PAC和平面PBC所成的角為銳角，所以二面角BPCA的余弦值為12(2020湖北五市調(diào)研)如圖甲，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB，點M、N分別在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙)(1)求證：AB平面DNC； (2)當DN的長為何值時，二面角DBCN的大小為30？ 解：法一：(1)證明：MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMB=M，且MA、MBAB平面DNC.(2)過N作NHBC交BC延長線于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MBCN，從而DHBC，DHN為二面角D-BC-N的平面角由MB=4，BC=2，MCB=90知MBC=60，CN=4-2cos60=3，NH=3sin60=.由條件知：tanNHD=DN=NH法二：如圖，以點N為坐標原點，以NM，NC，ND所在直線分別作為x軸，y軸和z 軸，建立空間直角坐標系N-xyz，易得NC=3，MN=，設DN=a，則D(0,0，a)，C(0,3,0)，B(,4,0)，M(,0,0)，A(,0，a) (1)證明：(0,0，a)，(0,3,0)，(0,4，