例談中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中習(xí)題的演變策略及其應(yīng)用新課程下的數(shù)學(xué)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)的是教師的“教研付出”，以實(shí)現(xiàn)花最經(jīng)濟(jì)的教學(xué)代價(jià)獲取最大化的教學(xué)效益。處于緊要關(guān)頭的中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，則更應(yīng)強(qiáng)調(diào)教師的教研付出和教研實(shí)效，以便在短短的兩三個(gè)月的時(shí)間內(nèi)達(dá)成中考復(fù)習(xí)的各項(xiàng)目標(biāo)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的全面掌握、解題技能和能力的強(qiáng)化提高、數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用等。其中，教師的核心工作則是要在鉆研數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、中考說(shuō)明及各地的中考數(shù)學(xué)試題的基礎(chǔ)上，精選并研究教學(xué)例、習(xí)題，強(qiáng)調(diào)對(duì)所選例、習(xí)題作必要的演變與拓展，以“題鏈”的形式實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué)。本文擬以一道極其常見(jiàn)而又簡(jiǎn)單的習(xí)題為例，談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中幾何問(wèn)題所常用的演變策略，并配以各地的中考數(shù)學(xué)試題具體說(shuō)明對(duì)問(wèn)題的演變及應(yīng)用，以期拋磚引玉，給中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)以啟示。題目 已知：如圖1，在和中，AC=CE，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，且。求證：。 圖1一、思考拓展從學(xué)生熟悉而又簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)不斷演變，逐漸深入研究，不僅有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的畏難情緒，讓學(xué)生積極、主動(dòng)地投入到中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中去，而且有利于幫助學(xué)生全面而系統(tǒng)地復(fù)習(xí)已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，有利于提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。一般地說(shuō)，幾何問(wèn)題的演變策略通常有以下六種：（1） 條件的弱化或強(qiáng)化；（2） 結(jié)論的延伸與拓展；（3） 基本圖形的變化拓展；（4） 條件、結(jié)論的互逆變換（即建立并討論原命題的逆命題）；（5） 基本圖形的構(gòu)造與應(yīng)用；（6） 綜合演變。二、演變應(yīng)用針對(duì)這道習(xí)題的條件“AC=CE（線段相等）”、“（三個(gè)角都為直角）”和特殊結(jié)論“（三角形全等）”，以及所具有的簡(jiǎn)單而特殊的圖形，可對(duì)本習(xí)題作以上各種常用的演變。下面分別舉例說(shuō)明此問(wèn)題的前五種演變及其應(yīng)用，第六種綜合演變策略將穿插在前五種演變所舉例子中。（一） 弱化條件當(dāng)一個(gè)命題成立的條件較為豐富時(shí)，可考慮減少其中一兩個(gè)條件，或?qū)⑵渲械囊粌蓷l件“一般化”，并確定相應(yīng)的命題結(jié)論，從而加工概括成新命題以求拓展應(yīng)用。針對(duì)上述習(xí)題中的關(guān)鍵條件“AC=CE”和“”，可分別弱化或同時(shí)弱化。1、弱化條件“AC=CE（線段相等）”，則結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似演變命題1：如圖2，在和中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，且。求證：。 圖2例1 如圖3，正方形ABCD的連長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長(zhǎng)為cm, CQ的長(zhǎng)為cm。圖3（1） 求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的最大值；（2） 當(dāng) cm時(shí)，求的值。例2 如圖4,邊長(zhǎng)為1的正方形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)C在軸的正半軸上。動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），連接OD，過(guò)點(diǎn)D作，交邊AB于點(diǎn)E，連接OE。記CD的長(zhǎng)為. 圖4（1）當(dāng) 時(shí),求直線DE的函數(shù)表達(dá)式。（2）如果記梯形COEB的面積為S，那么S是否存在最大值？若存在，試求出這個(gè)最大值及此時(shí)的值；若不存在，試說(shuō)明理由。（3）當(dāng)?shù)乃阈g(shù)平方根取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。說(shuō)明以上兩例，一道是中等難度的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，一道是中考?jí)狠S題，都巧妙地運(yùn)用了正方形的特殊性，弱化了條件，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的演變命題1及其圖形，并能正確運(yùn)用其具有的相似結(jié)論，成了解決此類問(wèn)題的突破口。因而，在平時(shí)的復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)通過(guò)簡(jiǎn)單問(wèn)題的演變，給學(xué)生創(chuàng)造解答綜合性問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的演變技巧和解答技巧，切忌平時(shí)不滲透綜合性問(wèn)題教學(xué)，而等到臨近中考的最后階段再來(lái)集中復(fù)習(xí)綜合題。2、弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立演變命題2：如圖5，在和中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，AC=CE，且。則：。 圖5例3 如圖6，為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且也為等邊三角形。 圖6（1）除已知等邊三角形的邊相等以外，請(qǐng)你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；（2）你所證明相等的線段，可以通過(guò)怎樣的變換相互得到？寫出變換過(guò)程。說(shuō)明此題將原題中的“3個(gè)直角”弱化為“3個(gè)角”，運(yùn)用相同的方法和相同的結(jié)論（三角形等）便可解決問(wèn)題。3、同時(shí)弱化條件“線段相等”和“直角”，則結(jié)論由全等弱化為相似。演變命題3：如圖7，在和中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，。則：。 圖7這里的條件為三個(gè)角相等，至于等于多少度，并無(wú)要求，可以是下面例題中的、或等特殊的度數(shù)，也可以是一個(gè)一般的度數(shù)。因而，演變命題3在中考命題中的拓展與應(yīng)用更為廣泛。例4 如圖8，在等邊中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且，BP=1，CD= ，則的邊長(zhǎng)為（ ）。A、3 B、4C、5 D、6 圖8例5 如圖9，在中，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過(guò)點(diǎn)D作，DE交AC于點(diǎn)E。 圖9（1） 求證：；（2） 設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。例6 在等腰中，AB=AC=8，P為BC的中點(diǎn)。小惠拿著含角的透明三角板，使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)。（1）如圖10(1)，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，求證：（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖10(2)情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長(zhǎng)線、邊AC于點(diǎn)E，F(xiàn)。 圖101) 探究1、與還相似嗎？2) 探究2、連接EF，與 是否相似？試說(shuō)明理由。3) 設(shè)EF=m，的面積為，試用含m的代數(shù)式表示。說(shuō)明以上三例分別結(jié)合學(xué)生熟悉的等邊三角形、等腰直角三角形和三角板，創(chuàng)設(shè)了“3個(gè)角相等”的條件，因而三例都要運(yùn)用三角形相似解決問(wèn)題。通過(guò)這一系列問(wèn)題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷了問(wèn)題的變化、解決的過(guò)程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)蘊(yùn)含在這些變化中的共同點(diǎn)和規(guī)律，有助于提高學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題及其解決策略的認(rèn)識(shí)、理解與掌握。例7 如圖11，已知在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB=10，BC=3。（1）如圖11(1)，如果M為AB上一點(diǎn)，且滿足，求AM的長(zhǎng)。（2）如圖11(2)，如果點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與A，B不重合），且滿足，MN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，設(shè)AM=，CN=，求關(guān)于的函數(shù)解析式。 圖11說(shuō)明此題借助等腰梯形的特性,創(chuàng)設(shè)了滿足演變命題3的條件“”，因而，仍可用三角形相似解決問(wèn)題。（二）強(qiáng)化條件針對(duì)基本問(wèn)題及演變問(wèn)題中的線段、角等幾何元素，通過(guò)給定其已知數(shù)據(jù)（長(zhǎng)度、角度等），或設(shè)計(jì)成實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等手段強(qiáng)化問(wèn)題的條件，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。例8 如圖12，在筆直的公路的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，已知A，B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km。 圖12（1）現(xiàn)要在公路上建一個(gè)汽車站P，使該車站到A，B兩村的距離相等，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點(diǎn)P（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若連接AP，BP，測(cè)得，求A村到車站P的距離。說(shuō)明此題是一道幾何實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，題中給出了AC，BD的長(zhǎng)度，強(qiáng)化了基本問(wèn)題的條件，學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，則能很快運(yùn)用三角形全等和勾股定理解決問(wèn)題。例9 如圖13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10。直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），一直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E。我們知道，結(jié)論“”成立。（1）當(dāng)時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使的周長(zhǎng)等于周長(zhǎng)的2倍？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由。（三）結(jié)論的延伸拓展考慮到習(xí)慣中的結(jié)論是兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等性質(zhì)，可對(duì)問(wèn)題的結(jié)論做進(jìn)一步的延伸與拓展。例10 在中，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，垂足為D，垂足為E。（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(1)的位置時(shí)，求證：1) ；2)DE=AD+BE（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖14(2)的位置時(shí)，試問(wèn)：DE，AD，BE具有怎樣的等量關(guān)系？試寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。 圖14（四）圖形的變式延伸結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習(xí)題中的和相向移動(dòng)交叉重疊，如圖15所示。圖15例11 問(wèn)題背景 某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個(gè)命題：1）如圖16(1)，在正中，M，N分別是AC，AB上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若，則BM=CN；2）如圖16(2)，在正方形ABCD中，M，N分別是CD，AD上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若，則BM=CN；然后運(yùn)用類比的思想提出了如下命題；3）如圖16(3)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是CD，DE上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若，則BM=CN。任務(wù)要求（1）請(qǐng)你從1）、2）、3）三個(gè)命題中選擇一個(gè)進(jìn)行證明；（2）請(qǐng)你繼續(xù)完成下面的探索；1）、試在圖16(3)中畫出一條與CN相等的線段DH，使點(diǎn)H在正五邊形的邊上，且與CN相交所成的一個(gè)角是，這樣的線段有幾條？2）、如圖16(4)，在正五邊形ABCDE中，M，N分別是DE，DA上的點(diǎn)，BM與CN相交于點(diǎn)O，若，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論BM=CN是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說(shuō)明理由。 圖16（五）條件與結(jié)論的互換（建立原命題的逆命題）建立并討論研究幾何命題的逆命題，是幾何命題數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的一種演變方法。例12 如圖17(1)、圖17(2)、圖17(3)中，點(diǎn)E，D分別是正、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于點(diǎn)P。（1）求圖17(1)中，的度數(shù)；（2）圖17(2)中，的度數(shù)為 ，圖17(3)中，的度數(shù)為 ；（3）根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況。若能，寫出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，試說(shuō)明理由。 圖17說(shuō)明很顯然，本例與例11是一種互逆關(guān)系，要求學(xué)生能通過(guò)運(yùn)用正多邊形性質(zhì)與三角形全等等知識(shí)“正”、“逆”解決問(wèn)題。（六）基本圖形的構(gòu)造應(yīng)用幾何綜合性問(wèn)題通常是由若干個(gè)基本問(wèn)題組合而成，其圖形也是由若干個(gè)基本圖形組合而成，因而，學(xué)生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時(shí)，還應(yīng)具備必需的添加輔助線構(gòu)造基本圖形的技能。例13 如圖18，在梯形ABCD中，ADBC，AD=9，BC=12，AB=a，在線段BC上任取一點(diǎn)P，連接DP，作射線，PE與直線AB交于點(diǎn)E。（1）若設(shè)CP=，BE=，試寫出關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系式。（2）若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的聚會(huì)范圍。 圖18說(shuō)明觀察圖形，針對(duì)條件“，試作，則有與相似，如圖19、圖20，從而運(yùn)用相似的性質(zhì)，建立函數(shù)關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)P在BF上時(shí)， ；當(dāng)點(diǎn)P在CF上時(shí)， 。例14 如圖21，在的內(nèi)部有一正方形AOCD，點(diǎn)A，C分別在射線OM，ON上，點(diǎn)B1是ON上的任意一點(diǎn)，在的內(nèi)部作正方形AB1C1D1。（1）連接D1D，求證：（2）連接CC1，猜一猜，的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論。（3）在ON上再任取一點(diǎn)B2，以AB2為邊，在的內(nèi)部作出正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，請(qǐng)你再作出一個(gè)合理的判斷。說(shuō)明觀察圖形，針對(duì)條件“”和所求“的度數(shù)”，試作，運(yùn)用與全等和與全等求得。點(diǎn)評(píng)根據(jù)條件特點(diǎn)及圖形特征，發(fā)