第六章晶體中電子的輸運(yùn)性質(zhì),6.1用緊束縛方法可以導(dǎo)出體心立方晶體s態(tài)電子的能帶為,（1）試求能帶頂部和底部的電子有效質(zhì)量；,（2）試畫出沿方向，和的曲線。,解：,（1）由能帶的表示式及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，,當(dāng),時(shí)，,取最小值，即,是能帶底，,電子有效質(zhì)量為,同理可得,其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零。,而在布里淵區(qū)邊界上的,處是能帶頂，,電子的有效質(zhì)量為,其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)也全為零。,（2）,它們的曲線如圖所示。,解：,（1）,能帶寬度為,由極值條件,得,上式的唯一解是的解，,此式在第一布里淵區(qū)內(nèi)的,解為,當(dāng)時(shí)，取極小值，,且有,當(dāng)時(shí)，取極大值，,且有,由以上可得能帶寬度為,（2）,由,（3）,由,式，可得電子的速度,可求得帶頂和帶底電子的有效質(zhì)量,分別為,式，,因?yàn)?證明：,為電子的動(dòng)量，,另一方面，加速度,(1),(2),而速度,代入(2)式，并應(yīng)用關(guān)系式,所以有,可得,(3),式中,為電子的有效質(zhì)量。,聯(lián)合(1)(3)兩式，即得,態(tài)的電子速度為,證明：,(1),于是,(2),即,代入(2)式，有,因此,對(duì)比(1)式，即得,電子占有某個(gè)狀態(tài)的幾率只同該狀態(tài)的能量有關(guān)。,而由,知道，這兩個(gè)狀態(tài)的電子電流互相抵消，,因此，無(wú)外場(chǎng)時(shí)，晶體中總電流為零。,證明：,結(jié)果可寫成,(1),（1）在一維情況下，用緊束縛近似討論晶體電子的能量，,式中,和,分別代表參考原子及其最近鄰的位矢。,在一維原,子鏈中，只有兩個(gè)最近鄰。,選取參考原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，,，,則兩個(gè)最近鄰的位矢可分別記為,，此處a為原子間距。,由于交迭積分,對(duì)兩個(gè)最近鄰是相等的，記為,，,便得,(2),式中,代表能帶底的數(shù)值。,（2）從上式可知，當(dāng),時(shí)，能量取最大值,這就是能帶頂?shù)臄?shù)值，,故能帶寬度,在能帶底附近，k值很小，,，,(2)式可寫成,此處,為能帶底部電子的有效質(zhì)量。,顯然，,，即能帶底部電子的有效質(zhì)量為正值。,在能帶頂附近，,，代入(2)式，并應(yīng)用泰,勒級(jí)數(shù)公式展開，,得,式中,為能帶頂部電子的有效質(zhì)量，,因?yàn)?，故,，即能帶頂部電子的有效質(zhì)量為負(fù)值。,若只計(jì)及最近鄰的相互作用，用緊束縛近似法處理晶體中,解：,s態(tài)電子的能量，其結(jié)果是,式中,和,分別是參考原子及其各個(gè)最近鄰的位矢。,在二維,正三角形晶格中，有6個(gè)最近鄰(如圖)。,如選取參考原子為坐標(biāo),原點(diǎn)，,即,，,6個(gè)最近鄰,的坐標(biāo)分別為,對(duì)于s態(tài)電子，各個(gè)最近鄰,的交迭積分皆相等，,至于速度,，可按如下方法求得,所以,其次，由公式,可求得有效質(zhì)量各分量為,6.7試根據(jù)5.10題的結(jié)果，求面心立方晶格中能帶底附近電子的有效質(zhì)量。,解：,能帶底即的最小值對(duì)應(yīng)的為，,可得在能帶,底處電子的有效質(zhì)量為,同理可得,其他交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零。,解：,一、假定A大于0,（1）,對(duì)于能帶為,簡(jiǎn)單立方晶體中的電子，其能帶頂在布里淵區(qū)中心。,在布里淵區(qū)中心，電子的有效質(zhì)量為,由此可知A=2。,（2）,電子能帶,的能帶底在,處。,由帶頂和帶底的能量得知能帶寬度為4。,（3）,在布里淵區(qū)中心附近，,令,，,則上式化為,可見在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面。,因此，能量和能量?jī)傻饶苊骈g的波矢空間體積為,相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目,能態(tài)密度,二、假定A小于0,（1）,對(duì)于能帶為,簡(jiǎn)單立方晶體中的電子，其能帶頂在第一布里淵區(qū)8個(gè)角頂處,在這些點(diǎn)，電子的有效質(zhì)量為,由此可知A=-2。,（2）,電子在能帶頂?shù)哪芰?。,在布里淵區(qū)中心能帶底的能量,。,可見能帶寬度為4。,（3）,在布里淵區(qū)中心附近，,令,，,則上式化為,可見在布里淵區(qū)中心附近，等能面是球面。,因此，能量和能量?jī)傻饶苊骈g的波矢空間體積為,相應(yīng)的量子態(tài)數(shù)目,能態(tài)密度,因?yàn)殡娮拥倪\(yùn)動(dòng)速度,解：,加速度,(1),（1）,由于單位時(shí)間內(nèi)電子能量的增加，等于力在單位時(shí)間內(nèi)所作的,功，設(shè)外力為恒力,，,代入(1)式得,把上式寫成分量形式：,則有,(2),同理，,(3),式中,按題給:,容易求得,同理，,而,同理，,因此，(2)(3)式所給出的運(yùn)動(dòng)方程便化為,(4),（2）,電子受到洛倫茲力,的作用。,(4)式的運(yùn)動(dòng)方程,可寫成,(5),且,由于電子將作周期性的運(yùn)動(dòng)，設(shè)試探解為,代入(5)式中得,由不全為零的解的條件是,解此行列式得,所以,此處,因?yàn)?證明：,（1）,由公式,得,當(dāng)存在磁場(chǎng),時(shí)，,電子受到洛倫茲力,則,式中,代表電子的準(zhǔn)動(dòng)量。,若以,表示,相對(duì)于橢球主軸的方向余弦，,寫成如下分量式：,稍加整理即為,則可把上式,由于電子應(yīng)作周期性運(yùn)動(dòng)，故取試探解為,代入前面方程得,有非零解的條件是,解之便得電子的回旋頻率,當(dāng)磁場(chǎng),在平面,上時(shí)，,從上式得,當(dāng)磁場(chǎng)在,(2),平面上并與,軸成,角時(shí)，,于是,，,，,6.11體心立方晶格，原子總數(shù)為N。假設(shè)電子等能面為球面，試求：當(dāng)費(fèi)密面正好與第一布里淵區(qū)的界面相切時(shí)，第一布里淵區(qū)實(shí)際填充的電子數(shù)。,解：,因此，在第一布里淵區(qū)內(nèi)實(shí)際填充的電子數(shù)應(yīng)等于同布里淵區(qū)的邊界面相切的費(fèi)米球內(nèi)所容納的電子數(shù)。,設(shè)體心立方的晶格常數(shù)為a，則其倒格子是基矢為2/a的面心立,量相當(dāng)于等能面和布里淵區(qū)的邊界面相切處的能量。,在電子等能面是球面的情況下，第一布里淵區(qū)內(nèi)的最高能,相切的費(fèi)米球的半徑R將等于布里淵區(qū)中心到最近鄰面心的距離,方格子，,第一布里淵區(qū)是一個(gè)十二面體，同布里淵區(qū)的邊界面,之半，即等于面心立方格子的面對(duì)角線的1/4，,因而,另一方面，在體心立方晶格中，每個(gè)晶胞包含兩個(gè)原子，,每個(gè)原子平均占有體積,，,包含N個(gè)原子的晶體的總體積,因?yàn)?空間中狀態(tài)密度為2V，,那么，費(fèi)米球內(nèi)容納的電子數(shù),6.12假設(shè)平衡時(shí)電子服從波耳茲曼統(tǒng)計(jì)分布，試應(yīng)用波耳茲曼方程，推導(dǎo)金屬的電導(dǎo)率。,解：,由波耳茲曼方程可知電子的,分布函數(shù)可寫成,由于式中和偏差不大，可近似用代替。,所以,根據(jù)泰勒定理，上式可以看成式,泰勒展開的結(jié)果。,由于只是能量的函數(shù)，而是波矢的函數(shù)，,故,設(shè)金屬的體積為單位體積。電流密度可用垂直于電流方向單位時(shí)間單位面積所通過的電子數(shù)來(lái)算出，即,所以上式積分,由于是波矢的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，,中的第一部分為零，所以,體積元,所以電流密度化成,附近，,這樣上述積分簡(jiǎn)化為在費(fèi)米面上的面積分,因?yàn)?所以積分的貢獻(xiàn)主要來(lái)自,如果外電場(chǎng)沿x軸方向，則上式變?yōu)?將上式與立方晶系金屬中電流與電場(chǎng)的關(guān)系式,比較可得到立方結(jié)構(gòu)金屬的電導(dǎo)率,6.13應(yīng)用上題結(jié)果，求各向同性晶體的電導(dǎo)率的表示式。,解：,如果金屬電子的等能面是球面，即各向同性，則,又知,可得,各向同性立方晶系金屬的電導(dǎo)率則為,(1)證明其s態(tài)電子的能帶為:,6.14應(yīng)用緊束縛近似法于一維單原子鏈,如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用,(2)求能帶寬度及能帶頂部和能帶底部附近電子的有效質(zhì)量.(P2725),解:,一維:,只有兩個(gè)最近鄰:,(2),6.15,設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a,只計(jì)及最近鄰原子間相互作用,試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果,求出能量的表達(dá)式,并計(jì)算相應(yīng)的電子速度和有效質(zhì)量各個(gè)分量,解:,有6個(gè)最近鄰原子,其坐標(biāo)為:,6.16證明二維正方格子第一布里淵區(qū)角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)側(cè)面中心點(diǎn)處的電子動(dòng)能大1倍.對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方晶格,其相應(yīng)的倍數(shù)是多少?,二維正方格子邊長(zhǎng)為a,則其倒格子邊長(zhǎng)為,6.17半導(dǎo)體材料的價(jià)帶基本上填滿了電子(近滿帶)，價(jià)帶中電子能量表示式E(k)=-1.01610-34k2(J)，其中能量頂點(diǎn)取在價(jià)帶頂,這時(shí)若k=1106/cm處電子被激發(fā)到更高的能帶(導(dǎo)帶)，而在該處產(chǎn)生一個(gè)空穴，試求出此空穴的有效質(zhì)量、波矢、準(zhǔn)動(dòng)量、共有化運(yùn)動(dòng)速度和能量。,解:,(2)準(zhǔn)動(dòng)量：,(3),(4),(5),6.18晶格常量為a的一維晶格，其價(jià)帶頂附近的色散關(guān)為,其中,，在導(dǎo)帶底附近的色散,關(guān)系為,求：,(1)禁帶寬度；,(2)導(dǎo)帶底電子的有效質(zhì)量和價(jià)帶頂空穴的有效質(zhì)量；,(3)電子由價(jià)帶頂激發(fā)到導(dǎo)帶底時(shí)，準(zhǔn)動(dòng)量的變