高中知識(shí)要點(diǎn)重溫（2）函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)1.一條曲線是函數(shù)圖象的必要條件是：圖象與平行于y軸的直線至多只有一個(gè)交點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域須一一對應(yīng)，反應(yīng)在圖象上平行于X軸的直線與圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)。單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？（是的,任何函數(shù)在它的一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)總有反函數(shù)）；舉例函數(shù)f(x)=x2-tx+2在1,2上有反函數(shù)，則t的一切可取值的范圍是_解析：對于“連續(xù)”函數(shù)而言，函數(shù)有反函數(shù)即單調(diào)；f(x)=x2-tx+2在1,2上單調(diào)即區(qū)間 1,2在對稱軸x=的一側(cè)，2或1，即t2或t4。2.求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)必須標(biāo)明反函數(shù)的定義域，即要求出原函數(shù)的值域。求反函數(shù)的表達(dá)式的過程就是解（關(guān)于x的）方程的過程。注意：x=f-1(y)一定是唯一的。 舉例 函數(shù)的反函數(shù)為（A） （B）（C） （D）解析：，=1+1（關(guān)注分離常數(shù)），（0，+）又由得=，不難解出，互換后得（互換是“全面”的，表達(dá)式上換，定義域、值域也要換）故選B。3.原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱；若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，aA,bC,f f-1(b)=b; f-1f(a)=a 舉例1 已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象的對稱中心是（0，2），則a=_ 解析：原函數(shù)是有反比例函數(shù)（奇函數(shù)）平移而來，其圖象關(guān)于（a,0）對稱，它的反函數(shù)的圖象應(yīng)關(guān)于（0，a）對稱，即a=2舉例2已知f(x)=x2+2x+3,(x-1),則f-1(3)= 。解析：此題不宜求反函數(shù)（麻煩），注意到3是反函數(shù)y=f-1(x)的自變量，就是原函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值，令x2+2x+3=3，得x=0或x=-2,又 x-1，x=0，此即反函數(shù)的函數(shù)值f-1(3)（原函數(shù)的自變量）。遷移已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x-,x,求f-1(1)的值。4.奇函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x滿足f(-x)+f(x)=0;偶函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x滿足f(-x)-f(x)=0;注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時(shí)，得到的是關(guān)于 x的恒等式而不是方程。若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則f(x)定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱；反之，函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。若f(x)是奇函數(shù)且f(0)存在，則f(0)=0；反之不然。舉例函數(shù)f(x)= loga|x-b|是偶函數(shù)的充要條件為 解析：思路一：函數(shù)f(x)=loga|x-b|是由偶函數(shù)y=loga|x|平移所得，函數(shù)f(x)=loga|x-b|的圖象關(guān)于直線x=b對稱，而它自身又是偶函數(shù)，圖象又關(guān)于y軸(x=0)對稱，b=0。思路二：f(x)=loga|x-b|是偶函數(shù)則loga|-x-b|= loga|x-b|恒成立,即|x+b|=|x-b|恒成立，b=0。鞏固 設(shè)f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函數(shù),g(x)=是奇函數(shù),那么a+b的值為（ ） A.1 B.-1 C.- D. 5. 偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，推廣：函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都有f(a-x)=f(a+x) 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱，再推廣： 函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都有f(a+x)=f(b-x)，f(x)的圖象關(guān)于x=對稱。奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,關(guān)推廣：函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x都有f(a-x)=-f(a+x) 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于（a,0）對稱。注意：兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對稱問題不同于函數(shù)自身的對稱問題。函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a的對稱曲線是函數(shù)y=f(2a-x)的圖象，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ a ，0）的對稱曲線是函數(shù)y=-f(2a-x)的圖象。，舉例1 若函數(shù)y=f(x-1)是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖象關(guān)于 對稱解析：思路一：y=f(x-1)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，向左平移1個(gè)單位后得到函數(shù)y=f(x)的圖象，對稱軸也隨之平移至x=-1，即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=-1對稱；思路二：y=f(x-1)是偶函數(shù)，則有f(-x-1)=f(x-1),由軸對稱的等價(jià)定義知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=-1對稱。舉例2若函數(shù)f(x)=(x-a)3滿足f(1+x)=-f(1-x),則f(2)= .解析：由f(1+x)=-f(1-x)知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于（1，0）對稱，事實(shí)上函數(shù)f(x)=(x-a)3的圖象關(guān)于（a，0）對稱，a=1，于是f(x)=(x-1)3，f(2)=1。鞏固函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象A.關(guān)于y軸對稱 B.關(guān)于直線x=a對稱C.關(guān)于點(diǎn)M（a，0）對稱 D. 關(guān)于點(diǎn)M（-a，0）對稱6. 若函數(shù)f(x)滿足：f(x+a)= f(x-a), 則f(x)是以2a為周期的函數(shù)。注意：不要和對稱性相混淆。若函數(shù)f(x)滿足：f(a+x)=-f(x)(a0)，則f(x)是以2a為周期的函數(shù)。類似的條件還有等。舉例已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ） 來源:K A、2 B、3 C、4 D、5yxO1-115解析：由知函數(shù)的周期為2，作出其圖象如右，當(dāng)x=5時(shí)，f(x)=1,log5x=1;當(dāng)x5時(shí)，f(x)=10，1，log5x1, 與的圖象不再有交點(diǎn)，故選C。鞏固設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對任意實(shí)數(shù)x滿足f(x+1)= -f(x)，若當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=2x-1,則f()= .7.判斷函數(shù)的單調(diào)性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”法則），研究三次或三次以上的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性多用導(dǎo)數(shù)；證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義或?qū)?shù)，不能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì)，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式分解。記住并會(huì)證明：函數(shù)的單調(diào)性。了解單調(diào)性定義的變形：對區(qū)間a,b內(nèi)的任意x,y都有，則函數(shù)f(x)在a,b遞增（小于0則遞減）。舉例1證明函數(shù)在（0，上遞減，在，）上遞增。解析：記=，思路一：用定義證明，任取0,)=-+-=(-)(1-),01,來源:高考資源網(wǎng)ZXXK(-)(1-)0,即),函數(shù)在（0，上遞減.在，）上遞增的證明留給讀者自己完成。思路二：用導(dǎo)數(shù)，=1-，若（0，則1，=1-0，函數(shù)在（0，上遞減.舉例2函數(shù)在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為Aa10 B1a10 Ca4 D1a0)個(gè)單位，則方程（表達(dá)式）中的y(x)應(yīng)變?yōu)閥-m(x-m); 曲線（函數(shù)圖象）橫（縱）坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膎倍，則方程（表達(dá)式）中的x(y)應(yīng)變?yōu)?()。對稱（翻折）變換，如函數(shù)y=f(-x)的圖象是由y=f(x)的圖象沿y軸翻折得到，y=-f(x)的圖象是由y=f(x)的圖象沿x軸翻折得到, y=|f(x)| 的圖象是由y=f(x)的圖象保留x軸上方的部分并翻折x軸下方的部分得到，y=f(|x|)是由y=f(x)的圖象保留y軸右側(cè)的部分，擦去左側(cè)部分并將右側(cè)的部分沿y軸翻折得到。記住兩個(gè)函數(shù)圖象：y=|x-a|的圖象是“V字形”，“尖頂”是（a,0）；的圖象是由一個(gè)反比例函數(shù)平移（分離常數(shù)）而來。 舉例奇函數(shù)y=f(x) (x0 ) ,當(dāng)x(0,+)時(shí)，f (x)=x1，則函數(shù)f(x-1)的圖象是（）XYOXY11XY1XOY112OO1ABCD解析：函數(shù)y=f(x)的圖象為C圖，將y=f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位即得到函數(shù)f(x-1)的圖象，故選D。鞏固 函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x的