第三節(jié)冪級(jí)數(shù),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念,1.定義:,前面講過常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),其各項(xiàng)均為一個(gè)常數(shù).若講各項(xiàng)改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù),便為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。,2.收斂點(diǎn)與收斂域:,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和,余項(xiàng),(x在收斂域上),注意,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.,3.和函數(shù):,(定義域是?),例如,等比級(jí)數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或,有和函數(shù),解,由達(dá)朗貝爾判別法,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,原級(jí)數(shù)發(fā)散.,收斂;,發(fā)散;,1、定義:,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,下面著重討論,的情形,即,2、收斂性,對(duì)于冪級(jí)數(shù),要解決兩個(gè)問題：(1)如何求出它的收斂域？(2)如何求出收斂域內(nèi)的和函數(shù)？,從冪級(jí)數(shù)的形式不難看出,任何冪級(jí)數(shù)在x=0處總是收斂的.而對(duì)的點(diǎn)處,冪級(jí)數(shù)的斂散性如何呢?先看下列定理.,幾何說明,收斂區(qū)域,發(fā)散區(qū)域,發(fā)散區(qū)域,證明,由(1)結(jié)論,幾何說明,收斂區(qū)域,發(fā)散區(qū)域,發(fā)散區(qū)域,推論,規(guī)定,問題,如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?,開區(qū)間叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.,定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.,收斂域可能是,收斂區(qū)間是含在收斂域內(nèi)的最大開區(qū)間。,冪級(jí)數(shù)的收斂域？,冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，,證明,（1）由比值審斂法,定理證畢.,例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:,解,該級(jí)數(shù)收斂,該級(jí)數(shù)發(fā)散,解,缺少奇次冪的項(xiàng),級(jí)數(shù)收斂,例2求冪級(jí)數(shù),的收斂半徑。,級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂半徑為,另解,前者收斂,后者發(fā)散,所以收斂半徑為R=1/2,收斂區(qū)間為(0.5，0.5),解,缺少偶次冪的項(xiàng),級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散,原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,例3求冪級(jí)數(shù),的收斂區(qū)間.,解：令t=(x1),考慮,即|x1|2,1x2時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散,在端點(diǎn)處,x=1,x=3,故收斂區(qū)間為1,3),另解利用比值判別法,故收斂區(qū)間為1,3)，收斂半徑為2,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,1、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì),加減法,(其中,（2）乘法,(其中,柯西乘積,（3）除法,(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì),即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.,即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.,解,兩邊積分得,解,解,設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則,在例5