2.1 函數(shù)及其表示核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一函數(shù)的定義域1.函數(shù)y=9-x2log2(x+1)的定義域是()a.(-1,3)b.(-1,3c.(-1,0)(0,3)d.(-1,0)(0,32.若函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2 020,則函數(shù)g(x)=f(x+1)(x1)的定義域是 ()a.-1,2 019b.-1,1)(1,2 019c.0,2 020d.-1,1)(1,2 0203.(2020撫州模擬)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,6,則函數(shù)f(2x)x-3的定義域?yàn)?()a.(0,3)b.1,3)(3,8c.1,3)d.0,3)4.函數(shù)f(x)=lgx2-5x+6x-3+(4-x)0的定義域?yàn)開(kāi).【解析】1.選d.由題意得9-x20,x+10,x+11,解得-10,解得x2且x3且x4,所以函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)(3,4)(4,+).答案:(2,3)(3,4)(4,+)題2中,若將“函數(shù)y=f(x)的定義域是0,2 020”改為“函數(shù)y=f(x-1)的定義域是0,2 020”,則函數(shù)g(x)=f(x+1)(x1)的定義域?yàn)開(kāi).【解析】由0x2 020,得-1x-12 019,再由-1x+12 019,解得-2x2 018,又因?yàn)閤1,所以函數(shù)g(x)的定義域是-2,1)(1,2 018.答案:-2,1)(1,2 0181.具體函數(shù)y=f(x)的定義域序號(hào)f(x)解析式定義域1整式r2分式分母03偶次根式被開(kāi)方數(shù)04奇次根式被開(kāi)方數(shù)r5指數(shù)式冪指數(shù)r6對(duì)數(shù)式真數(shù)0;底數(shù)0且17y=x0底數(shù)x02.抽象函數(shù)(沒(méi)有解析式的函數(shù))的定義域解題方法:精髓是“換元法”,即將括號(hào)內(nèi)看作整體,關(guān)鍵是看求x還是求整體的取值范圍.(1)已知y=f(x)的定義域是a,求y=f(g(x)的定義域:可由g(x)a,求出x的范圍,即為y=f(g(x)的定義域.(2)已知y=f(g(x)的定義域是a,求y=f(x)的定義域:可由xa求出g(x)的范圍,即為y=f(x)的定義域.【秒殺絕招】排除法解t1,可依據(jù)選項(xiàng)的特點(diǎn),將0,3代入驗(yàn)證.考點(diǎn)二求函數(shù)解析式【典例】1.已知f2x+1=ln x,則f(x)=_.2.已知fx+1x=x2+x-2,則f(x)=_.3.已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,則f(x)=_.4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),且f(x)=2f1xx-1,則f(x)=_.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由f2x+1,想到換元法2由fx+1x,想到配湊法3由f(x)是二次函數(shù),想到待定系數(shù)法4由f1x,想到消去(也稱解方程組)法【解析】1.設(shè)t=2x+1(t1),則x=2t-1,代入f2x+1=ln x得f(t)=ln2t-1,所以f(x)=ln 2x-1(x1).答案:ln2x-1(x1)2.因?yàn)閒x+1x=x2+x-2=x+1x2-2,又因?yàn)閤+1x-2或x+1x2,所以f(x)=x2-2(x-2或x2).答案:x2-2(x-2或x2) 3.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以2a=1,a+b=-1,即a=12,b=-32.所以f(x)=12x2-32x+2.答案:12x2-32x+24.在f(x)=2f1xx-1中,將x換成1x,則1x換成x,得f1x=2f(x)1x-1,由f(x)=2f1xx-1,f1x=2f(x)1x-1,解得f(x)=23x+13.答案:23x+13 函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法.(2)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)配湊法:由已知條件f(g(x)=f(x),可將f(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程組)法:已知f(x)與f1x或f(-x)之間的關(guān)系式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f(x).1.若函數(shù)f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),則g(x)的解析式為_(kāi).【解析】方法一(換元法):由題意知g(x+2)=2x+3,令t=x+2,則x=t-2,所以g(t)=2(t-2)+3=2t-1,所以g(x)=2x-1,答案:g(x)=2x-1方法二(配湊法):由題意知g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1.所以g(x)=2x-1.答案:g(x)=2x-12.已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)=_.【解析】設(shè)f(x)=ax+b(a0),則3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b,所以ax+5a+b=2x+17對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立,所以a=2,5a+b=17,解得a=2,b=7.所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考點(diǎn)三分段函數(shù)及其應(yīng)用命題精解讀1.考什么:(1)考查求函數(shù)值、解方程、解不等式等問(wèn)題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).2.怎么考:基本初等函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式交匯考查函數(shù)的概念、圖像等知識(shí).3.新趨勢(shì):以基本初等函數(shù)為載體,與其他知識(shí)交匯考查為主.學(xué)霸好方法1.求值問(wèn)題的解題思路(1)求函數(shù)值:當(dāng)出現(xiàn)f(f(x)的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值:依據(jù)題設(shè)條件,在各段上得出關(guān)于自變量的方程,然后求出相應(yīng)自變量的值.2.交匯問(wèn)題:與方程、不等式交匯時(shí),要依據(jù)“分段問(wèn)題,分段解決”進(jìn)行討論,最后將結(jié)果并起來(lái).分段函數(shù)的求值問(wèn)題【典例】已知f(x)=cosx,x1,f(x-1)+1,x1,則f43+f-43的值為 ()a.12b.-12 c.-1d.1【解析】選d.f43+f-43=f13+1+f-43=cos3+1+cos-43=1.如何求分段函數(shù)的函數(shù)值?提示:分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí),要根據(jù)自變量選取函數(shù)解析式,然后再代入.分段函數(shù)與方程問(wèn)題【典例】已知函數(shù)f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,則f(6-a)= ()a.-74b.-54c.-34d.-14【解析】選a.當(dāng)a1時(shí)不符合題意,所以a1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.求分段函數(shù)含有參數(shù)的函數(shù)值,如何列方程?提示:列方程時(shí),若自變量的范圍確定時(shí),則直接代入;若不確定,則需要分類討論.分段函數(shù)與不等式問(wèn)題【典例】(2017全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1,x0,2x,x0,則滿足f(x)+fx-121的x的取值范圍是_.【解析】令g(x)=f(x)+fx-12,當(dāng)x0時(shí),g(x)=f(x)+fx-12=2x+32;當(dāng)012時(shí),g(x)=f(x)+fx-12=2+22x-1,寫(xiě)成分段函數(shù)的形式:g(x)=f(x)+fx-12=2x+32,x0,2x+x+12,012.函數(shù)g(x)在區(qū)間(-,0,0,12,12,+三段區(qū)間內(nèi)均連續(xù)單調(diào)遞增,且g-14=1,20+0+121,(2+2)20-11,可知x的取值范圍是-14,+.答案:-14,+如何求解由分段函數(shù)構(gòu)成的不等式?提示:求解分段函數(shù)構(gòu)成的不等式,關(guān)鍵是確定自變量在分段函數(shù)的哪一段,用對(duì)解析式.1.設(shè)函數(shù)f(x)=1+log2(2-x),x1,2x-1,x1,則f(-2)+f(log212)=()a.3b.6c.9d.12【解析】選c.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1+log2(2-x),x1,2-x,x1,那么f(f(-3)=_.【解析】由已知得f(-3)=2-(-3)=5,從而f(f(-3)=f(5)=52=25.答案:251.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,+),如果f(x+2 020)=2sinx,x0,lg(-x),x0,那么f2 020+4f-7 980=()a.2 020b.14c.4d.12 016【解析】選c.當(dāng)x0時(shí),有fx+2 020=2sin x,所以f2 020+4=2sin 4=1,當(dāng)x0時(shí),fx+2 020=lg(-x),所以f(-7 980)=f(-10 000+2 020)=lg10 000=4,f2 020+4f-7 980=14=4.2.在一個(gè)展現(xiàn)人腦智力的綜藝節(jié)目中,一位參加節(jié)目的少年能將圓周率準(zhǔn)確地記憶到小數(shù)點(diǎn)后面200位,更神奇的是當(dāng)主持人說(shuō)出小數(shù)點(diǎn)后面的位數(shù)時(shí),這位少年都能準(zhǔn)確地說(shuō)出該數(shù)位上的數(shù)字.如果記圓周率小數(shù)點(diǎn)后第n位上的