第一章 集合一、 內(nèi)容小結(jié)1. 這一章學(xué)習(xí)了集合的概念、表示方法、集合的運算（并、交、差、補）；引入了集合列的上、下極限和極限的運算；對集合運算規(guī)則作了仔細的討論，特別是德摩根公式。2. 引入了集合對等的概念，證明了判別兩個集合對等的有力工具伯恩斯坦定理。3. 引入了集合基數(shù)的概念，深入地研究了可數(shù)基數(shù)和連續(xù)基數(shù)。二、 學(xué)習(xí)要點1. 準確熟練地掌握集合的運算法則，特別要注意集合運算既有和代數(shù)運算在形式上一許多類似的公式，但也有許多本質(zhì)。但是千萬不要不加證明地把代數(shù)恒等式搬到集合運算中來。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A卻不一定成立。條件為A,B不交。2. 可數(shù)集合是所有無限集中最小的無限集。若可數(shù)A去掉可數(shù)B后若還無限則C必可數(shù)。3. 存在不可數(shù)集。無最大基數(shù)集。以下介紹學(xué)習(xí)中應(yīng)掌握的方法4. 肯定方面與否定方面。5. 集合列的上、下限集是用集合運算來解決分析問題的基礎(chǔ)，應(yīng)很好地掌握。其中用交并表示很重要。對第四章的學(xué)習(xí)特別重要。6. 基數(shù)部分重點：集合對等、構(gòu)造集合的一一對應(yīng)；利用對等的傳遞性（伯恩斯坦定理）來進行相應(yīng)的證明。7. 集合可數(shù)性的證明方法很重要：可排列、與已知可數(shù)集對等、利用集合的運算得到可數(shù)、第四節(jié)定理6.8. 證明集合基數(shù)為C中常用到已知的基數(shù)為C的集合。三、 習(xí)題解答1. 證明：證明 ,得若且，得因此設(shè)當然有，若由且，可知且，所以同樣有因此，所以2. 證明證明 = 3. 證明：； 證明： 4.證明：證明 設(shè)，則，但，因此對任意，所以，因而設(shè)則任意， ，即，因此則，但，得，所以5.證明：;.證明 .6.設(shè)是一列集合，作,。證明是一列互不相交的集，而且 證明 若，不妨設(shè)，顯然設(shè)，若，則，若，令是最小的自然數(shù)使，即而，這樣,所以證畢。7.設(shè)，求出集列的上限集和下限集。 解 ；設(shè)，則存在N，使時，因此時，即，所以屬于下標比N 大的一切偶數(shù)指標集，從而屬于無限多，得，又顯然，所以。若有，則存在N，使對任意，有，因此若時， 即，令，得，此不可能，所以。8. 證明 證明 設(shè)則存在N，使對任意，有，所以，所以；設(shè)，則有，使，即對任意，有，所以，因此。9. 作出一個（-1，1）和的11對應(yīng)，并寫出這一一對應(yīng)的解析表達式 解 ，對任意，10. 證明：將球面去掉一點以后，余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對等的. 證明 只要證明球面S：去掉點后與平面M對等即可. 此可由球極投影來做到；對任意， ， 易驗證是11的，映上的，因此S與M是對等的，證畢。11. 證明：由直線上某些互不相交的開區(qū)間所謂集A的元素，則A至多為可數(shù)集. 證明 設(shè)，在每一中任取一點有理數(shù)使與對應(yīng).因為是互不相交的，因此這個對應(yīng)是11的，而G與有理數(shù)的子集對等，因此G至多可數(shù)。12. 證明：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可數(shù)集. 證明 ：次有理系數(shù)多項式全體所成的集合 ：所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式全體所成的集合 由+1個獨立記號所決定，（系數(shù)），每個記號（首位不取0）可獨立跑遍全體有理數(shù)（可數(shù)個） 因此由4定理6，又由4定理6，.13. 設(shè)A是平面上以有理點（即坐標都是有理數(shù)）為中心，有理數(shù)為半徑的圓的全體，則A是可數(shù)集. 證明 任意A中的圓，由三個獨立記號所決定；，其中是圓心的坐標，是圓半徑，各自跑遍有理數(shù)，跑遍大于0的有理數(shù)，因而都是可數(shù)集.所以.14. 證明：增函數(shù)的不連續(xù)點最多只有可數(shù)多個. 證明 設(shè)是上的增函數(shù)，記不連續(xù)點全體為E，由數(shù)學(xué)分析知： 任意，及都存在。 的充分必要條件為 任意，若，則因此每一，對應(yīng)于直線上的開區(qū)間，且由（3）可知E中點對應(yīng)的這樣的開區(qū)間是互不相交的，由11題知至多可數(shù)。15. 試找出使（0，1）和之間11對應(yīng)的一種方法.解 記（0，1）中有理數(shù)全體 令 顯然是（0，1）和之間的11映射。16. 設(shè)A是一可數(shù)集合，則A的所有有限子集所成的集合亦必可數(shù). 證明 設(shè)，A的有限子集的全體為,，的子集全體為，易計算中共有個元素，而，因此至多為可數(shù)的.又A中一個元素組成的集合是可數(shù)的，因而是可數(shù)的.17. 證明：上的全體無理數(shù)做成的集合其基數(shù)為C. 證明 記上的無理數(shù)全體為A，上的有理數(shù)全體為，顯然 令 , , , 則是A到的11對應(yīng)，由的基數(shù)為C，可知A的基數(shù)也是C。18. 若集A中每個元素，由互相獨立的可數(shù)個指標決定，即，而每個取遍一個基數(shù)為C的集，則A的基數(shù)也是C。 證明 設(shè)，因而有到實數(shù)集R的11映射.令是A到的 一映射，對任意。，下面證明是11映射. 若，則對任意，由于是一對一的，因此，所以，對任意，因為是映上的，必有，使，所以有，使，即是11映射.所以A與的基數(shù)相同，等于C。19. 若的基數(shù)為C，證明：存在使的基數(shù)也是C.證明 由于，我們不妨設(shè)，用反證法，若，設(shè)為到R中如下定義的映射：若則，令 ， 則，所以對每個，存在，于是.下證.事實上，若，則存在使，于是，這與矛盾，所以，這又與矛盾，因此至少存在某個使的基數(shù)也是C.20. 記每項取值為0或1的數(shù)列全