2.2.2反證法,路邊苦李,王戎7歲時(shí),與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動(dòng).伙伴問他為什么不去摘？,王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下,果然是苦李.,王戎是怎么知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?,王戎的推理方法是:假設(shè)李子不苦,則因樹在“道”邊,李子早就被別人采摘而沒有了,這與“多李”產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立,李為苦李.,1.反證法的定義.2.反證法的一般步驟.（重點(diǎn)）3.運(yùn)用反證法的注意事項(xiàng).（難點(diǎn)）,探究點(diǎn)1反證法的定義,引例：,證明：在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不小于60.,已知：A，B，C是ABC的內(nèi)角.求證：A，B，C中至少有一個(gè)不小于60.,證明：,假設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C都小于60，,則有A60，B60，C60,所以A+B+C180,所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立.,先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的，然后通過邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾，說明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確.,這種證明方法就是反證法,把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明.,注：反證法是最常見的間接證法.,一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾.因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.,反證法,否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論即分三個(gè)步驟：反設(shè)歸謬存真,反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；,歸謬從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；,反證法的證明過程,存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立.,歸謬矛盾：（1）與已知條件矛盾.（2）與假設(shè)矛盾或自相矛盾.（3）與已有公理、定理、定義、事實(shí)矛盾.,反證法的思維方法：正難則反.,你能說出下列結(jié)論的反面嗎?,ab2.d是正數(shù)3.a04.ab,a不垂直于b,d不是正數(shù),即d0,a0,a不平行b,萬事開頭難，讓我們走好第一步！,探究點(diǎn)2反證法的應(yīng)用,常用的互為否定的表述方式：,至少有三個(gè)最多有一個(gè),至多有兩個(gè),至少有兩個(gè),準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見的結(jié)論的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一個(gè)也沒有,至少有兩個(gè),至多有（n-1)個(gè),至少有（n+1)個(gè),存在某x，不成立,存在某x,成立,不等于,某個(gè),證明：因?yàn)閍b所以經(jīng)過直線a,b確定一個(gè)平面.,因?yàn)?而，所以與是兩個(gè)不同的平面.,例1已知直線a，b和平面,如果,且,求證:.,下面用反證法證明直線a與平面沒有公共點(diǎn)，假設(shè)直線a與平面有公共點(diǎn)P，則P，即點(diǎn)P是直線a與b的公共點(diǎn)，這與ab矛盾，所以a.,分析：直接證明一個(gè)數(shù)是無理數(shù)比較困難，我們采用反證法.假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù).我們知道，任一有理數(shù)都可以寫成形如（m,n互質(zhì)，mZ,nN*)的形式.下面我們看看能否由此推出矛盾.,反證法的一般步驟,先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理,得出矛盾,否定假設(shè),肯定原命題,分清條件和結(jié)論,【總結(jié)提升】,宜用反證法證明的題型,（1）以否定性判斷作為結(jié)論的命題.,（2）某些定理的逆命題.,（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題.,（4）關(guān)于“唯一性”結(jié)論的命題.,（8）涉及各種“無限”結(jié)論的命題等.,（7）有些基本定理或某一知識體系的初始階段.,（6）一些不等量命題的證明.,（5）解決整除性問題.,1.如圖，在ABC中,若C是直角，那么B一定是銳角.,證明：假設(shè)結(jié)論不成立,則B是直角或鈍角.,當(dāng)B是直角時(shí)，則B+C=180，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180矛盾；,當(dāng)B是鈍角時(shí)，則B+C180，這與三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180矛盾；,綜上所述,假設(shè)不成立.,所以B一定是銳角.,分析:假設(shè)C沒有撒謊,則C真.那么A假且B假;,由A假,知B真.這與B假矛盾.,那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;,則C必定是在撒謊.,2.A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A,B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？,1.反證法的一般步驟:,假設(shè)命題不成立,引出矛盾,假設(shè)不成立,求證的命題正確,假設(shè),歸謬,結(jié)論,從假設(shè)出發(fā),得出結(jié)論,與假設(shè)、已知、定義、定理、公理或者事實(shí)矛盾等,2.用反證法證題時(shí),應(yīng)注意的事項(xiàng):（1）周密考察原命題結(jié)論的否定事項(xiàng)，防止否定不當(dāng)或有所遺漏.（2）推理過程必須完整，否則不能說