計(jì)算流體力學(xué)講義2015第二講雙曲型方程組及間斷解李新亮lixl；力學(xué)所主樓214；82543801,知識(shí)點(diǎn)：雙曲型方程的特征方程雙曲型方程的弱解及熵條件Riemann間斷解精確解、近似解初步,1,課件下載：,2,課件下載：,參考數(shù)目：朱自強(qiáng)等：應(yīng)用計(jì)算流體力學(xué)傅德薰等：計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)李新亮：OpenCFD-EC理論手冊(cè)任玉新等：計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)閻超：計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用J.Blazek:ComputationalFluidDynamics:PrinciplesandApplicationsE.F.Toro:RiemannSolversandnumericalmethodsforfluiddynamics,CopyrightbyLiXinliang,3,知識(shí)回顧,1.流體力學(xué)基本方程,概念：連續(xù)介質(zhì)假設(shè)；Euler描述/Lagrange描述,N-S方程描述質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒的方程組流通量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過垂直于x/y/z軸單位面積的質(zhì)量、動(dòng)量、能量,無量綱量：物理量與參考量（特征量）之比,2.偏微分方程（組）及其類型,解耦成N個(gè)獨(dú)立的方程雙曲型,有N個(gè)實(shí)特征根（含重根）N個(gè)獨(dú)立特征向量,全部為復(fù)特征根,有1個(gè)N重特征根獨(dú)立特征變量數(shù)0,則在左端給定vj的邊界條件如果lj0,則在右端給定vj的邊界條件,CopyrightbyLiXinliang,4,一維Euler方程,4,變系數(shù)方程組的情況,令：,令,（行向量）,在x-t空間引入特征線：,1.雙曲型方程組的特征方程,CopyrightbyLiXinliang,5,（變系數(shù)情況）雖然不能解耦，但能轉(zhuǎn)換成常微方程組,2.1雙曲型方程組,x,t,特征線,沿特征線,CopyrightbyLiXinliang,6,若不考慮粘性，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)過程中熵不變；如果來流熵均勻分布，則全流場(chǎng)熵均勻分布,例：一維等（均）熵運(yùn)動(dòng),預(yù)備知識(shí)：完全氣體中的熱力學(xué)量,密度、壓力、溫度、熵、焓,內(nèi)能、聲速,只有兩個(gè)獨(dú)立變量,（完全氣體）僅與溫度有關(guān),小常識(shí)：等熵（絕熱）關(guān)系,與等溫相比，絕熱氣體更難壓縮,等熵情況下，僅有一個(gè)獨(dú)立的熱力學(xué)變量；給定任何一個(gè)都意味著給定全部熱力學(xué)量；,矩陣A的特征值,若不考慮粘性，流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)過程中熵不變；如果來流熵均勻分布，則全流場(chǎng)熵均勻分布,均熵運(yùn)動(dòng)情況下，能量方程可用熵為常數(shù)替代,一維均熵流動(dòng)控制方程（Euler方程簡(jiǎn)化版）,沿特征線1：,有：,沿特征線1：R不變,（1）轉(zhuǎn)化為,x,t,特征線,積分因子,定義：,注意：聲速c是溫度的函數(shù)，可不是常數(shù)！c2T(c2就是溫度啊?。?絕熱關(guān)系式,特征相容關(guān)系,9,知識(shí)點(diǎn)，牢記！,一維均熵流動(dòng)沿特征線Riemann不變量保持不變,x,t,特征線1,特征線2,同理推導(dǎo)，,沿特征線2：,在（x,t）空間：,沿特征線1：,沿特征線2：,A,B,C,擾動(dòng)源擾動(dòng)向兩側(cè)傳播,擾動(dòng)波以當(dāng)?shù)芈曀傧騼蓚?cè)傳播,觀測(cè)者,感受到兩側(cè)的擾動(dòng),例2.1：有限區(qū)域內(nèi)擾動(dòng)波的傳播問題,考慮一維無粘流動(dòng)（Euler方程），初始時(shí)刻（t=0）流動(dòng)狀態(tài)如下：,試分析t=t0時(shí)刻的流動(dòng)狀態(tài)（假設(shè)流場(chǎng)不出現(xiàn)間斷）,不同時(shí)刻的速度分布（A=1）,不同時(shí)刻的速度分布（A=0.01）,思考題：小擾動(dòng)的傳播情況？,數(shù)值解,利用特征線，分析不同區(qū)域的差異,等（均）熵情況下，同族特征線不會(huì)相交,CopyrightbyLiXinliang,10,目的：學(xué)會(huì)如何運(yùn)用Riemann不變量解題,CopyrightbyLiXinliang,11,一維擾動(dòng)波的傳播（上：A=1;下：A=0.01）,大擾動(dòng)，非線性波,小擾動(dòng)，線性波,基本解題思路：利用特征關(guān)系,1,2,3,x,t,解出x1,x2,利用Riemann不變量得：,解出,區(qū)域（2），（4）未擾動(dòng),區(qū)域（1）內(nèi)的流動(dòng)使用基本方法計(jì)算,區(qū)域（3）內(nèi)的計(jì)算可簡(jiǎn)化,AB,D,C,E,F,G,(3)區(qū)內(nèi)的波傳播速度為常數(shù)，且在傳播過程中物理量保持不變簡(jiǎn)單波特征線為直線,因而方程是非線性的,給定x3,t3利用,CopyrightbyLiXinliang,12,（假設(shè)t3充分小）,解出t3時(shí)刻的流場(chǎng)，繼續(xù)推進(jìn)下個(gè)時(shí)刻,概念：簡(jiǎn)單波,區(qū)域（3）內(nèi)擾動(dòng)波的傳播特點(diǎn),考慮（3）區(qū)內(nèi)的,同屬一條特征線M上的任意兩個(gè)點(diǎn)4和5：,由于點(diǎn)1和點(diǎn)3均在未擾動(dòng)區(qū)：,在（3）區(qū)內(nèi)，所有物理量（u,c）沿特征線M不變特征保持直線，特征波傳播速度不變,簡(jiǎn)單波,CopyrightbyLiXinliang,13,CopyrightbyLiXinliang,14,各區(qū)物理含義,x,t,（1）,（2）,（3）,（4）,x,擾動(dòng)區(qū),t=0時(shí)刻,t=t1時(shí)刻,右行波,左行波,區(qū)域（1），感受到左、右波的影響,區(qū)域（3），僅感受到左行波的影響簡(jiǎn)單波,區(qū)域（2），尚未感受到波,x,t=t2時(shí)刻,區(qū)域（4），波已傳播過去，恢復(fù)平靜,波型、波速不變,3.雙曲型方程的間斷解（弱解）,雙曲方程的特點(diǎn)：擾動(dòng)波傳播速度有限可能產(chǎn)生間斷,弱間斷：函數(shù)連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)間斷（如稀疏波的波頭、波尾）強(qiáng)間斷：函數(shù)本身間斷（如激波、接觸間斷）,流體力學(xué)控制方程：積分型（假設(shè)函數(shù)連續(xù)、光滑）微分型,CopyrightbyLiXinliang,15,1）弱解,連續(xù)處滿足微分方法；非連續(xù)處滿足積分方程,積分方程,（1）,（2）,連續(xù)區(qū)滿足方程（1）；包含非連續(xù)的區(qū)域V內(nèi)滿足方程(2),若u(x,t)在除有限條間斷外連續(xù)可微且滿足方程（1）；且在間斷線滿足：,CopyrightbyLiXinliang,16,則稱u(x,t)是方程（1）的弱解,“間斷處滿足積分方程”,任意控制體,Green公式,充分小的積分路線,兩側(cè)均視為常值,間斷傳播的速度,快速記憶法：,等價(jià)描述：,初始條件：,物理解：,概念：雙曲型方程（1）的“物理解”,當(dāng)：時(shí)收斂到的解,CopyrightbyLiXinliang,17,2）熵條件,定理：若u(x,t)是（1）的弱解，且在間斷處滿足：,其中w是介于u+及u-之間的任意值。則u(x,t)是唯一的物理解。,物理含義：特征線匯聚間斷,特征線(斜率u),不滿足熵條件，非物理,特性線向間斷處匯聚滿足熵條件,特征線,特性線從間斷處發(fā)散不滿足熵條件,間斷處雖然無法滿足微分型方程，但積分型方程（三大守恒律）仍然滿足,例：激波兩側(cè)關(guān)系,原則：連續(xù)區(qū)需滿足微分方程（Euler方程）間斷兩側(cè)必須滿足上述積分關(guān)系,CopyrightbyLiXinliang,18,z,例：一維Euler方程對(duì)應(yīng)的積分條件（間斷兩側(cè)關(guān)系式）,特殊間斷接觸間斷（密度間斷）,2.2Riemann間斷解,1.Riemann問題,定義：一維無粘流動(dòng)初始間斷的演化問題,例子：激波管問題,間斷條件：,質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒,CopyrightbyLiXinliang,19,Sod激波管問題密度（上）、壓力（中）及速度（下）分布,CopyrightbyLiXinliang,20,Riemann問題對(duì)CFD的意義,A,1,2,3,4,有限體積法示意圖,目的：計(jì)算A點(diǎn)所在界面的通量（以便獲知控制體內(nèi)物理量的變化）,1）利用數(shù)值方法（“插值”），用（偏）左側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出用（偏）右側(cè)點(diǎn)的值計(jì)算出,A點(diǎn)物理量有兩個(gè)值，如何處理？當(dāng)做Riemann問題處理！,2）求解Riemann問題（界面左側(cè)為右側(cè)為）獲得穿過界面的通量,Riemann問題求解思路：a)精確解：利用空氣動(dòng)力學(xué)（積分關(guān)系式+特征線）b)近似解：積分近似、微分近似,流場(chǎng)中可能出現(xiàn)的三種波：激波：密度、速度、壓力突變；滿足R-H關(guān)系式接觸間斷：僅密度突變（兩側(cè)速度、壓力相同）膨脹波：等熵波,間斷條件：R-H關(guān)系式,質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒,初始值不滿足間斷關(guān)系，會(huì)分解成三個(gè)波獨(dú)立傳播,CopyrightbyLiXinliang,21,質(zhì)量通量守恒,動(dòng)量通量守恒,能量通量守恒,隨激波運(yùn)動(dòng)，厚度充分小的控制體,如果，R-H關(guān)系顯然成立,膨脹波接觸間斷激波,Sod激波管起動(dòng)后氣流演化過程示意圖,膨脹波接觸間斷激波,示意圖,一般情況：五種可能,x,t,激波接觸間斷激波,膨脹波接觸間斷激波,激波接觸間斷膨脹波,膨脹波接觸間斷膨脹波,膨脹波膨脹波,（1）（2）,（3）（4）,（5）,分析,CopyrightbyLiXinliang,22,動(dòng)畫演示：密度的演化,2.求解方法針對(duì)每種情況分別考慮；利用積分關(guān)系，將微分方程化成代數(shù)方程計(jì)算,激波接觸間斷激波,Zone:1342,積分關(guān)系式（RH關(guān)系）：1-3兩區(qū),2-4兩區(qū),6個(gè)方程，6個(gè)未知數(shù)。可解！,其中：,1)情況（1）：左、右激波,CopyrightbyLiXinliang,23,1-3兩區(qū)關(guān)系式,2-4兩區(qū)關(guān)系式,求解思路：消元法,3個(gè)方程，4個(gè)未知數(shù),設(shè)壓力已知，解出速度,聯(lián)立方程，得：,1方程，1未知數(shù)，可解；例如：Newton法,x,y,Newton法示意圖,解出p*后，代入原方程，求出其余未知數(shù),左行激波,右行激波,CopyrightbyLiXinliang,25,情況2：右激波、左膨脹波Sod激波管問題屬于該情況,預(yù)備知識(shí)：膨脹波（稀疏波）,高壓,低壓,Sod激波管問題，t=0.14時(shí)刻壓力分布,波頭,波尾,膨脹波,膨脹波,膨脹波接觸間斷激波,x,t,膨脹波：內(nèi)部物理量連續(xù)、光滑頭、尾物理量連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)（弱間斷）,膨脹波兩側(cè)物理量的關(guān)系式：,1）熵不變2）Riemann不變量不變,CopyrightbyLiXinliang,26,方法：先計(jì)算（3），（4）兩區(qū)的值；再計(jì)算膨脹波內(nèi)部（5）區(qū)的值,膨脹波區(qū)接觸間斷激波,（1）,（2）,（5）,（3）,（4）,2-4兩區(qū)關(guān)系式（激波RH關(guān)系）：,1-3兩區(qū)關(guān)系式（等熵關(guān)系式）：,5個(gè)方程，5個(gè)未知數(shù)，方程可解！,為什么未知數(shù)個(gè)數(shù)比雙激波的情況少1個(gè)？,求解方法與雙激波情況相同，先解出（3），（4）區(qū)速度對(duì)壓力的依賴關(guān)系,CopyrightbyLiXinliang,27,激波、膨脹波前后速度-壓力的依賴關(guān)系可寫成統(tǒng)一的形式：,左波（激波或膨脹波）：,右波（激波或膨脹波）,（表示（3）（4）區(qū)的速度和壓力）,其中：,激波,膨脹波,得到方程：,(*),1個(gè)方程，1個(gè)未知數(shù)，可解,求解(*)得到3,4兩區(qū)的壓力,然后，解出速度和密度,膨脹波內(nèi)部物理量的計(jì)算,x,t,x,t,波頭,波尾,處理方法：1）計(jì)算膨脹波的范圍波頭傳播速度波尾傳播速度,（1）,（2）,（5）,(3),(4),2）在膨脹波區(qū)內(nèi)，利用特征相容關(guān)系計(jì)算利用簡(jiǎn)單波的特性，簡(jiǎn)化計(jì)算,簡(jiǎn)單波,x=0,特征線由x=0發(fā)出,再利用另一條特征線的信息：,解出,再利用等熵關(guān)系，計(jì)算,CopyrightbyLiXinliang,28,膨脹波接觸間斷激波,CopyrightbyLiXinliang,29,求解步驟,step1.求解方程(*)，解出3，4區(qū)的壓力單未知數(shù)代數(shù)方程；數(shù)值方法求解,其中：,step2.求出3，4區(qū)的速度、密度、激波移動(dòng)速度,step3.計(jì)算出稀疏波區(qū)的量,針對(duì)情況1，求解完成；對(duì)于情況2繼續(xù)step3,其中各區(qū)的范圍如下（以情況2討論）：,1區(qū)：5區(qū)：3區(qū)：4區(qū)：2區(qū)：,以上步驟完全適用于情況3，4，5（因?yàn)?式同時(shí)適用于激波和稀疏波）,Riemann問題五種可能情況,x,t,激波接觸間斷激波,膨脹波接觸間斷激波,激波接觸間斷膨脹波,膨脹波接觸間斷膨脹波,膨脹波膨脹波,（1）（2）,（3）（4）,（5）,如何區(qū)分這5種情況？,CopyrightbyLiXinliang,30,假設(shè),準(zhǔn)則如下：,情況1,情況3,情況4,利用函數(shù)（由*式定義）,函數(shù)性質(zhì)很好單調(diào)連續(xù),情況5,情況5,情況4,情況3,情況1,Riemann求解總步驟：1）根據(jù)上述判決區(qū)分情況2）按照上一頁(yè)的步驟求解,真空區(qū),CopyrightbyLiXinliang,31,Riemann問題的具體計(jì)算步驟,1.判斷可能會(huì)出現(xiàn)的情況（五種情形之一）,a.定義函數(shù),b.進(jìn)行判斷,情況5,情況4,情況3,情況1,情況5,情況4,情況2,情況1,單調(diào)增函數(shù)，性質(zhì)很好,計(jì)算出，根據(jù)的大小進(jìn)行判斷，具體見下圖：,CopyrightbyLiXinliang,32,2.求解中心區(qū)的壓力和速度,單未知數(shù)的代數(shù)方程，迭代求解（例如Newton法，F(xiàn)(p)性質(zhì)好，求解不困難）,3.確定中心區(qū)接觸間斷兩側(cè)的密度以及左、右波傳播的速度a.左波為激波的情況（情況1,3）,b.左波為稀疏波的情況（情況2，4，5）,中心區(qū)接觸間斷左側(cè)的物理量,膨脹波的波頭及波尾速度,激波的傳播速度,對(duì)于情況（5），波尾速度為：,中心區(qū)為真空，音速無定義，改由該式計(jì)算,CopyrightbyLiXinliang,33,c.右波為激波的情況（情況1，2）,中心區(qū)接觸間斷右側(cè)的物理量,b.右波為稀疏波的情況（情況2，4，5）,4.計(jì)算稀疏波區(qū)域的值（如果有稀疏波的話）,a.左稀疏波b.右稀疏波,情況2，4,情況5：,CopyrightbyLiXinliang,34,4近似Riemann解初步,精確Riemann解計(jì)算量較大；近似Riemann解：積分型（HLL,HLLC）、微分型（Roe）,4.1HLL近似Riemann解（Harten,Lax激波右側(cè)壓力為，試計(jì)算激波右側(cè)的速度。,（2）有一扇膨脹波從左向右傳播。膨脹波左側(cè)物理量為；膨脹波右側(cè)壓力為，試計(jì)算膨脹波右側(cè)的速度。,膨脹波,要求：務(wù)必寫出詳細(xì)的步驟推導(dǎo)（越詳細(xì)越好）。切忌照抄書上的公式。,作業(yè)：（大作業(yè)選作題1）,2.2如下Sod激波管問題:,求出理論解，并分別畫出t=0.14時(shí)刻的分布曲線。,Cop