第13章結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定，13-1概括，13-2靜力法確定臨界載荷，13-3彈性支撐桿穩(wěn)定，13-4能量法確定臨界載荷，13-5截面支撐桿穩(wěn)定，13-6剪切力對(duì)臨界載荷的影響，13-7復(fù)合支撐桿穩(wěn)定，13-8彈性介質(zhì)支撐桿穩(wěn)定，13-9圓環(huán)和拱穩(wěn)定， 13-10細(xì)梁穩(wěn)定，13-11矩陣位移法計(jì)算剛架穩(wěn)定，13-1概況，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象分為第一類(lèi)，圖a顯示理想的中心受壓直桿。 當(dāng)f -數(shù)達(dá)到某個(gè)特定值時(shí)，會(huì)在干擾桿上產(chǎn)生微小的彎曲。因而當(dāng)消除干擾時(shí)，桿將停留在彎曲位置，并且不能如圖b所示返回至原始直線位置。 此時(shí)，壓桿本來(lái)只有軸向力的直線平衡形式，具有新的同時(shí)受壓和彎曲的彎曲平衡形式。 這種現(xiàn)象是壓桿失去了第一類(lèi)的穩(wěn)定性。分支點(diǎn)失穩(wěn)，13-1的概要，圖a所示的受到平均分布?jí)毫Φ膱A環(huán)，在壓力達(dá)到閾值qcr時(shí)，出現(xiàn)了新的非圓的平衡形式。圖b顯示的是承受平均分布載荷的拋物線拱，圖c顯示的是剛架，載荷達(dá)到閾值之前處于壓迫狀態(tài)，出現(xiàn)了載荷達(dá)到閾值時(shí)同時(shí)具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。 另外，圖c所示的工字梁在載荷達(dá)到閾值之前僅在板面內(nèi)彎曲，在載荷達(dá)到閾值時(shí)發(fā)生傾斜彎曲和扭曲。 13-1概括，第一類(lèi)失去穩(wěn)定性的特征：結(jié)構(gòu)平衡形式和內(nèi)力與變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)突變，原平衡形式不穩(wěn)定，同時(shí)出現(xiàn)了新的質(zhì)量不同的平衡形式。 用圖a所示的塑性材料制成的偏心受壓直桿，從一開(kāi)始就處于同時(shí)受壓和彎曲的狀態(tài)。 當(dāng)f達(dá)到閾值Fcr時(shí)，負(fù)載未增加或減小，且撓曲繼續(xù)增加，如圖b中所示，第二類(lèi)穩(wěn)定性丟失。 極值點(diǎn)失穩(wěn)、工程結(jié)構(gòu)實(shí)際上是第二類(lèi)穩(wěn)定問(wèn)題。 可以將此簡(jiǎn)化為穩(wěn)定的問(wèn)題來(lái)處理。 13-1概述，確定臨界載荷的方法靜力法-應(yīng)用靜力平衡條件求解的能量法-應(yīng)用表示為能量的平衡條件。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度：確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形狀態(tài)所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)量。 此外，由圖a所示的抗旋轉(zhuǎn)彈簧支撐的剛性桿在彎曲時(shí)的用于確定變形狀態(tài)的獨(dú)立參數(shù)是1并且只有一個(gè)自由度。 圖b中示出的結(jié)構(gòu)需要兩個(gè)獨(dú)立的參數(shù)并且具有兩個(gè)自由度。 而且，圖c所示的彈性桿需要無(wú)限的獨(dú)立參數(shù)而具有無(wú)限的自由度。 用13-2靜力法確定臨界載荷，根據(jù)靜力法結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的平衡二重性，應(yīng)用靜力平衡條件，求出結(jié)構(gòu)能以新形式保持平衡的載荷，其最小值為臨界載荷。 另外，在圖a所示的單自由度結(jié)構(gòu)中，即使在桿從垂直位置移位的情況下，桿也處于平衡狀態(tài)。 另外，MA=0，滿足當(dāng)時(shí)的公式，與原來(lái)的平衡形式相對(duì)應(yīng)，位移較小，因此有穩(wěn)定方程式和特征方程式，在新的平衡形式中，用13-2靜力法確定臨界負(fù)荷，從穩(wěn)定方程式中求解，結(jié)構(gòu)處于偶然平衡狀態(tài)，處于圖c中的AB段。 如果采用正確的方程式，只求臨界負(fù)荷的話，可以用近似方程式求解。 當(dāng)時(shí)，與f的數(shù)值還是一一對(duì)應(yīng)的圖c的AC段。 n個(gè)自由度的構(gòu)造針對(duì)新的平衡形式列舉了n個(gè)平衡方程式，確立了n個(gè)獨(dú)立參數(shù)的齊次方程式、系數(shù)行列式D=0的條件、穩(wěn)定方程式，n個(gè)根中的最小值為臨界載荷，13-2用靜力法確定臨界載荷，例13-1求出了圖a所示構(gòu)造的臨界載荷。 兩抗移動(dòng)彈性支撐臺(tái)的剛度均為k。 解：構(gòu)造有兩個(gè)自由度，壓曲時(shí)a、b點(diǎn)的位移如圖b所示。 另外，位移為微小，如果MB=0、MC=0、即y1、y2全部不為零，則當(dāng)然可以用靜力法確定展開(kāi)、解、臨界負(fù)荷、13-2的臨界負(fù)荷，可以從(a )式求出y1、y2的確定解，但可以求出兩者的比。 對(duì)應(yīng)的位移圖如圖c所示。 對(duì)應(yīng)的位移圖在圖d中示出。 實(shí)際結(jié)構(gòu)首先必須以圖d的形式壓曲，圖c僅在理論上存在。在已經(jīng)采用13-2靜態(tài)方法確定臨界載荷且圖a中所示的一端被樞軸支撐在另一端的等截面中心受壓彈性直桿已經(jīng)采用新的曲線平衡形式時(shí)，可以通過(guò)代入解獲得任何截面的彎矩，代替指令，代替微分方程的解，并且方程(b )針對(duì)a、b和FS/F獲得任何截面的彎矩新的平衡形式中三者不完全為零，方程(b )的系數(shù)矩陣必須為零。 穩(wěn)定方程用13-2靜力法確定臨界載荷，展開(kāi)，超過(guò)方程解法求解。 和，交點(diǎn)的橫軸是方程式的根。 最小根nl在3/24.7左側(cè)附近，求得正確的解。 臨界載荷值的計(jì)算是，持有13-3彈性支撐臺(tái)的桿穩(wěn)定，圖a所示的剛架，AB桿上端鉸鏈下端不能移動(dòng)，但是可旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)受BC桿的彈性限制，如圖b所示，可以用抗旋轉(zhuǎn)彈簧表示。 扭簧剛性k1:在梁BC的b端產(chǎn)生單位旋轉(zhuǎn)角所需的力矩。 如從圖c顯而易見(jiàn)，當(dāng)圖b所示的桿彎曲時(shí)，可以從MB=0而獲得具有13-3個(gè)彈性支撐臺(tái)的桿是穩(wěn)定的，所述桿彎曲曲線的平衡微分方程式可以由指令求解，公式中的三個(gè)未知常數(shù)a、b，邊界條件分別為、a、b均不為零的穩(wěn)定方程式、k1預(yù)定nl最小正根fc k1=0時(shí)sinnl=0:兩端鉸鏈k1=時(shí)tannl=nl :一端被固定，13-3具有彈性支承臺(tái)的桿穩(wěn)定，穩(wěn)定方程式為，一端具有彈性支承臺(tái)的桿被固定，13-3具有彈性支承臺(tái)的桿穩(wěn)定，兩端分別具有初級(jí)螺旋彈簧， 上端具有初級(jí)螺旋彈簧的桿如圖c所示可以用靜力推導(dǎo)出穩(wěn)定方程，彈性支撐桿的穩(wěn)定方程的一般形式可以從各種其他特殊情況下的穩(wěn)定方程求出。 具有13-3彈性支撐臺(tái)的桿穩(wěn)定，例13-2求出圖a所示的門(mén)形架的臨界負(fù)荷。 解：這是對(duì)稱(chēng)剛架承受正對(duì)稱(chēng)載荷，其壓曲形式為正對(duì)稱(chēng)的圖b或反對(duì)稱(chēng)的圖c。 13-3當(dāng)持有彈性支撐臺(tái)的杠桿穩(wěn)定、正對(duì)稱(chēng)地壓曲時(shí)，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖d所示。 柱是下端鉸鏈上端彈性固定的桿，彈性固定的桿的耐旋轉(zhuǎn)剛性，用試驗(yàn)算法求出最小正根為nl=3.83，求出穩(wěn)定方程式，臨界負(fù)荷為13-3具有彈性支撐臺(tái)的桿穩(wěn)定，相反在彎曲的情況下，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖e所示。 另外，立柱的上端彈性固定，上下兩端向相反側(cè)移動(dòng)，具有無(wú)水平反作用力。 關(guān)于彈性固定端的抗旋剛度，通過(guò)求出穩(wěn)定方程，試制算法將最小正根以nl=1.45，臨界載荷以結(jié)構(gòu)相反對(duì)稱(chēng)的形式壓曲，臨界載荷以13-4能量法確定臨界載荷，電勢(shì)的額定原理：對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支撐條件和位移連續(xù)條件的所有虛位移中， 同時(shí)，滿足平衡條件的位移(即真實(shí)位移)使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能EP為額定值，即v-結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能的v-外力勢(shì)能。 另外，將外力電勢(shì)定義為有限自由度結(jié)構(gòu)所有可能的位移狀態(tài)均可以僅由有限數(shù)量的獨(dú)立參數(shù)a1，a2，an表示，并且EP僅僅是該有限數(shù)量的獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。 另外，單自由度結(jié)構(gòu)EP僅是參數(shù)a-1的一元函數(shù)，電勢(shì)的變化在結(jié)構(gòu)平衡時(shí)是任意的，因此，13-4應(yīng)用能量法來(lái)確定臨界載荷，并且多自由度結(jié)構(gòu)電勢(shì)的變化必須是EP=0和a1、a2、an的任意性，因此，a1、a2、 確定包括an的一組線性代數(shù)方程，以使得a1，a2，an不為零，方程的系數(shù)矩陣為零建立穩(wěn)定方程臨界載荷。 用13-4能量法確定臨界負(fù)荷，例13-3圖a所示的桿EI無(wú)限大，上端水平彈簧的剛性為k，嘗試確定臨界負(fù)荷。 解：?jiǎn)巫杂啥冉Y(jié)構(gòu)壓曲時(shí)發(fā)生的微小偏差如圖b所示。 另外，關(guān)于彈簧的應(yīng)變能，關(guān)于外力電勢(shì)，關(guān)于結(jié)構(gòu)電勢(shì)，由于如果圖b的結(jié)構(gòu)能夠維持平衡，則y10，所以臨界載荷用13-4或能量法確定臨界載荷，例如13-4用能量法求出圖a所示的結(jié)構(gòu)的臨界載荷。 解：構(gòu)造有2個(gè)自由度，壓曲時(shí)發(fā)生圖b所示的位移。結(jié)構(gòu)平衡時(shí)，結(jié)構(gòu)勢(shì)y1、y2均不為零，13-4用能量法確定臨界載荷，展開(kāi)整理，顯示最小值為臨界載荷，彈性桿為無(wú)限自由度結(jié)構(gòu)，壓曲時(shí)發(fā)生彎矩變形， 應(yīng)變能量：任何微段ds與其投影dx之間的差可以沿桿長(zhǎng)度l對(duì)該方程進(jìn)行積分，13-4用能量法確定臨界載荷，并且外力電勢(shì)可以認(rèn)為是結(jié)構(gòu)電勢(shì)但撓曲線y是未知的無(wú)限獨(dú)立參數(shù)。 EP是撓度曲線函數(shù)y的函數(shù)，是泛函，EP=0是求泛函極值的問(wèn)題即變分問(wèn)題。 瑞利-利茲法：將無(wú)限自由度近似簡(jiǎn)化為有限自由度。 的雙曲馀弦值。 滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，-任何參數(shù)和結(jié)構(gòu)的所有變形狀態(tài)都由a1、a2、an確定，并簡(jiǎn)化為n自由度。 用13-4能量法確定臨界負(fù)荷，通常將某橫向負(fù)荷的撓曲曲線作為壓曲時(shí)的近似撓曲曲線，例13-5求出圖a所示的兩端鉸鏈等截面桿的臨界負(fù)荷。 解：撓曲曲線函數(shù)只有一個(gè)，簡(jiǎn)化為單自由度結(jié)構(gòu)的計(jì)算。 (1)如果撓曲曲線為正弦曲線，則y滿足位移邊界條件，結(jié)構(gòu)的電勢(shì)為13-4，用能量法確定臨界載荷，a0，因此得到，與精確解相同，可能有特殊情況。 (2)撓曲曲線為拋物線，滿足-位移邊界條件，-誤差達(dá)到21.6%。 用13-4能量法決定臨界負(fù)荷，(3)把圖b所示的撓曲曲線作為近似曲線，誤差只有1.3%。 采用13-4能量法確定臨界負(fù)荷，例13-6求出圖示的桿的臨界負(fù)荷。 解：用兩個(gè)自由度計(jì)算，查表取級(jí)數(shù)前兩個(gè)，a1、a2均不為零，整理，比、精確解大3.6%。 用13-4能量法確定臨界負(fù)荷，例13-7求出圖a所示的截面垂直棒的自重引起的臨界負(fù)荷。 解：操縱桿承受著平均布荷載。 圖b、微段ds的角部為y(x )、微段以上的部分的垂直位移中，微段以上的部分載荷FS=q(l-x )作用于該位移，由此，外力電勢(shì)在檢針表中具有三角級(jí)數(shù)的前兩個(gè)項(xiàng)目，13-4通過(guò)能量法決定臨界載荷， 13-4用能量法確定臨界載荷，a1、a2全部不為零，整理了方程式的最小根為臨界載荷，這個(gè)問(wèn)題的精確解決方法是： 13-5變截面推桿穩(wěn)定，工程中變截面推桿的類(lèi)型：階梯桿，a2全部不為零，圖a是桿彎曲時(shí)上下兩個(gè)撓曲的y1、y2 兩個(gè)部分的平衡微分方程通解是式中的五個(gè)未知常數(shù)。 邊界條件、13-5變截面推桿的穩(wěn)定可從邊界條件(1)、(2)得到，將y2和y1代入邊界條件(3)、(4)、(5)而得到聯(lián)立方程式，穩(wěn)定方程式可在展開(kāi)整理并賦予I1/I2和l1/l2時(shí)求解，13-5變截面推桿的穩(wěn)定可由工廠臺(tái)承受F1， 在截面突變中受到F2作用時(shí)可以估計(jì)穩(wěn)定方程，式中，給出I1/I2、l1/l2和F1/F2時(shí)可以求解. 圖中所示的桿，穩(wěn)定方程(c )的最小根可以獲得臨界載荷為13-5變截面桿的穩(wěn)定，圖a所示的桿的截面慣性矩函數(shù)變化，任一截面的慣性矩對(duì)應(yīng)于i1-柱頂截面慣性矩、i2-柱底截面慣性矩以及m值不同形狀的桿13-5截面桿穩(wěn)定，如圖c所示，直線外形由4個(gè)截面不變角度組成的組合桿，m=2。 另外，在圖b、圖c的兩個(gè)情況下，圖d所示的桿、m=2的時(shí)微分方程式代入or、變系數(shù)微分方程式、t=lnx、常系數(shù)方程式、命令、解代入13-5變截面桿的穩(wěn)定性、t=lnx，邊界條件根據(jù)條件(1):B=0、條件(2)得到穩(wěn)定方程式，如果已知，則通過(guò)試算解k的最小根而得到臨界載荷m=4的情況下的微分方程式分別表示、解、邊界條件、導(dǎo)出穩(wěn)定方程式表示指令，13-6剪力對(duì)臨界載荷產(chǎn)生的影響，yM和yS表示受彎矩和剪力的影響而產(chǎn)生的撓曲，總撓曲度求出相對(duì)于x可得到二次微分系數(shù)的曲率的近似式，受彎矩產(chǎn)生的曲率為圖a、圖b、圖c因此，撓曲線微分方程式可以對(duì)圖a所示結(jié)構(gòu)求出13-6剪切力對(duì)臨界載荷的影響，撓曲線方程式可以求出指令、微分方程式的解、邊界條件、導(dǎo)出穩(wěn)定方程式可以得到最小正根、所得到的- Euler臨界載荷、-修正系數(shù)、e-Euler臨界應(yīng)力、13-6剪切力對(duì)臨界載荷的影響， 推桿由鋼材制成，e可以寫(xiě)成比例界限、剪切彈性模量G=80GPa，在實(shí)體部件中剪切力的影響小，13-7組合桿的穩(wěn)定，組合桿通常由幾個(gè)連接件連接兩個(gè)型鋼構(gòu)成，連接件的形式為接木式、接木式。 如圖a、b所示。 中選擇所需的墻類(lèi)型。 如果連接桿的節(jié)距較大，則可以使用實(shí)體桿公式計(jì)算臨界載荷。 亦即，式中的k/GA必須單獨(dú)處理以反映耦合的影響。 -單位剪切力產(chǎn)生的剪切角。 (d )，13-7組合桿的穩(wěn)定，1，裝訂桿式組合桿，裝訂桿通常采用單角鋼，其截面小，其兩端可視為鉸鏈。 現(xiàn)在，如圖所示，抽取分項(xiàng)之間進(jìn)行分析。 根據(jù)變位、接木的橫棒、接木的斜棒、棒的長(zhǎng)度、棒的長(zhǎng)度，13-7組合桿的穩(wěn)定、ad-主要部件的截面積id-主要部件的截面對(duì)其自身的形心軸施加的慣性矩，從其形心軸到z軸的距離近似為b/2。 斜桿與橫桿EA相同，=45時(shí)，斜桿的影響、橫桿的影響、13-7復(fù)合桿的穩(wěn)定、斜桿對(duì)臨界負(fù)荷的影響比橫桿大，如果省略橫桿的影響，則aq-1根斜桿的截面積。 臨界載荷成為歐拉問(wèn)題的基本形式，r兩主要部件的截面為截面形心軸z整體的旋轉(zhuǎn)半徑。 一般設(shè)定=3060、縱橫比=l/r時(shí)，可換算縱橫比。 -采用鋼結(jié)構(gòu)規(guī)格推薦的公式、13-7組合桿的穩(wěn)定性、2、組合桿的組合桿的組合、組合桿的組合桿的組合時(shí)，組合桿與主要部件的連接可視為剛結(jié)。 主要部件的反彎曲點(diǎn)處于節(jié)點(diǎn)之間，剪切力平均分配給兩個(gè)主要部件。 采取圖a所示的部分分析。 當(dāng)與圖b所示的彎矩圖相乘時(shí)，13-7的組合桿的穩(wěn)定性、節(jié)距d增加，并且校正系數(shù)2減小。 通常情況下，接木板的剛性較大，若近似于EIb=，則復(fù)合構(gòu)件整體的截面慣量、-復(fù)合構(gòu)件整體的縱橫比d-1條主要構(gòu)件的一個(gè)節(jié)之間的長(zhǎng)度的比率。 當(dāng)使用1來(lái)代替13-7組合桿的穩(wěn)定器，近似的0.83時(shí)，相應(yīng)的長(zhǎng)度系數(shù)可以決定換算的細(xì)長(zhǎng)比，標(biāo)準(zhǔn)中的粘合板組合桿的細(xì)長(zhǎng)比，如果該桿被13-8彈性介質(zhì)穩(wěn)定器支撐，并且該桿被彈性介質(zhì)支撐的彎曲部彎曲，則彈性介質(zhì)向其產(chǎn)生分布反作用力。 如圖所示。 本文采用vinkley假設(shè)：分布反作用力的集中度q與撓曲y成比例，即k-bed系數(shù)、能量法、撓曲曲線、彈性介質(zhì)的應(yīng)變能、載荷勢(shì)為13-8彈性介質(zhì)的桿的穩(wěn)定，所得到的a為零半頻率m的確定條件必須為大于零的整數(shù)，否則，不能滿足兩端鉸鏈的邊界條件。 (2)使特征載荷f的值最小。 13-8彈性介質(zhì)上桿的穩(wěn)定，f與m的關(guān)系曲線如圖所示為極值條件，f為極小，但m不一定是整數(shù)。 另外，取用式(f )計(jì)算的m值的附近整數(shù)mi和mi 1，代入式(e )求出f，將其中較小的一方作為臨界負(fù)荷Fcr。 k/EI越