.（2019全國1理）9.記為等差數(shù)列的前項和.已知，則（ ） A. B. C. D. 答案：A解析：依題意有，可得，.（2019全國1理）14.記為等比數(shù)列的前項和，若，則 .答案：解答：，設(shè)等比數(shù)列公比為2019全國2理)19. 已知數(shù)列和滿足，.（1）證明： 是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項公式.答案：（1）見解析（2），.解析：(1)將，相加可得，整理可得，又，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.將，作差可得，整理可得，又，故是首項為，公差為的等差數(shù)列.（2）由是首項為，公比為的等比數(shù)列可得；由是首項為，公差為的等差數(shù)列可得；相加化簡得，相減化簡得。(2019全國3理)5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，則（）A. B. C. D. 答案：C解答：設(shè)該等比數(shù)列的首項，公比，由已知得，因為且，則可解得，又因為，即可解得，則.(2019全國3理)14.記為等差數(shù)列的前項和，若，則 .答案：解析：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，故，.（2019北京理）10.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2=3，S5=10，則a5=_，Sn的最小值為_【答案】 (1). 0. (2). -10.【解析】【分析】首先確定公差,然后由通項公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項負(fù)項的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,得,公差,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,時,大于0,所以的最小值為或,即為.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式求和公式等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識基礎(chǔ)知識基本運(yùn)算能力的考查.（2019北京理）20.已知數(shù)列an，從中選取第i1項、第i2項、第im項(i1i2im)，若，則稱新數(shù)列為an的長度為m的遞增子列規(guī)定：數(shù)列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列（）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為4的遞增子列；（）已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為，長度為q的遞增子列的末項的最小值為.若pq，求證：0.因為ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當(dāng)k=1時，有q1；當(dāng)k=2，3，m時，有設(shè)f（x）=，則令，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e，+)+0f（x）極大值因為，所以取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時，即，經(jīng)檢驗知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5【點睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力10.設(shè)，數(shù)列中， ,則（ ）A. 當(dāng)B. 當(dāng)C. 當(dāng)D. 當(dāng)【答案】A【解析】【分析】本題綜合性較強(qiáng)，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、運(yùn)算求解能力、分類討論思想的考查.本題從確定不動點出發(fā)，通過研究選項得解.【詳解】選項B：不動點滿足時，如圖，若，排除如圖，若為不動點則選項C：不動點滿足，不動點為，令，則，排除選項D：不動點滿足，不動點為，令，則，排除.選項A：證明：當(dāng)時，處理一：可依次迭代到；處理二：當(dāng)時，則則，則.故選A【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.20.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記 證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得數(shù)列的首項和公差確定數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合三項成等比數(shù)列的充分必要條件整理計算即可確定數(shù)列的通項公式；(2)結(jié)合(1)的結(jié)果對數(shù)列的通項公式進(jìn)行放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項求和的方法即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項公式為.其前n項和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2