全等三角形一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2探索三角形全等的條件，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式。重點(diǎn)：1. 使學(xué)生理解證明的基本過(guò)程 ，掌握用綜合法證明的格式；2 .三角形全等的性質(zhì)和條件。難點(diǎn)：1.掌握用綜合法證明的格式；2 .選用合適的條件證明兩個(gè)三角形全等經(jīng)典例題透析類型一：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1、如圖，ABDACE，AB=AC，寫出圖中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.思路點(diǎn)撥: AB=AC，AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，A是公共角，A和A是對(duì)應(yīng)角，按對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊可求解.解析：AB和AC是對(duì)應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對(duì)應(yīng)邊，A和A是對(duì)應(yīng)角，B和C，AEC 和ADB是對(duì)應(yīng)角.總結(jié)升華：已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角，第三對(duì)角是對(duì)應(yīng)角；再由對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，可找到對(duì)應(yīng)邊.已知兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊，第三對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角.舉一反三：【變式1】如圖，ABCDBE.問(wèn)線段AE和CD相等嗎？為什么？【答案】證明：由ABCDBE，得AB=DB,BC=BE， 則AB-BE=DB-BC，即AE=CD。【變式2】如右圖，。 求證：AECF【答案】AECF2、如圖，已知ABCDEF，A=30，B=50，BF=2，求DFE的度數(shù)與EC的長(zhǎng)。思路點(diǎn)撥: 由全等三角形性質(zhì)可知：DFE=ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度數(shù)與BF的長(zhǎng)即可。解析：在ABC中， ACB=180-A-B，又A=30，B=50，所以ACB=100.又因?yàn)锳BCDEF，所以ACB=DFE，BC=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等）。所以DFE=100EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。總結(jié)升華：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，ACDECD，CEFBEF，ACB=90. 求證：（1）CDAB；（2）EFAC.【答案】(1）因?yàn)锳CDECD，所以ADC=EDC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因?yàn)锳DC+EDC=180，所以ADC=EDC=90.所以CDAB.(2）因?yàn)镃EFBEF,所以CFE=BFE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.因?yàn)镃FE+BFE=180，所以CFE=BFE=90.因?yàn)锳CB=90,所以ACB=BFE.所以EFAC.類型二：全等三角形的證明3、如圖，ACBD，DFCE，ECBFDA，求證：ADFBCE思路點(diǎn)撥: 欲證ADFBCE，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過(guò)ACBD而得解析：ACBD(已知)AB-BDAB-AC(等式性質(zhì))即 ADBC在ADF與BCE中ADFBCE(SAS)總結(jié)升華：利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形，(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等舉一反三：【變式1】如圖，已知ABDC，ABDC，求證：ADBC【答案】ABCD34在ABD和CDB中ABDCDB(SAS)12(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)ADBC(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)【變式2】如圖，已知EBAD于B，F(xiàn)CAD于C，且EBFC，ABCD 求證 AFDE【答案】EBAD(已知) EBD90(垂直定義)同理可證FCA90EBDFCAABCD，BCBCACAB+BCBC+CDBD在ACF和DBE中ACFDBE(SAS)AFDE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)類型三：綜合應(yīng)用4、如圖，AD為ABC的中線。求證：AB+AC2AD.思路點(diǎn)撥: 要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD，即倍長(zhǎng)中線。解析：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE因?yàn)锳D為ABC的中線，所以BD=CD.在ACD和EBD中，所以ACDEBD(SAS).所以BE=CA.在ABE中，AB+BEAE，所以AB+AC2AD.總結(jié)升華：通過(guò)構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在RtABC中，AB=AC,BAC=90,1=2，CEBD的延長(zhǎng)線于E， 求證：BD=2CE.【答案】分別延長(zhǎng)CE、BA交于F. 因?yàn)锽ECF,所以BEF=BEC=90.在BEF和BEC中，所以BEFBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因?yàn)锽AC=90,BECF.所以BAC=CAF=90，1+BDA=90，1+BFC=90.所以BDA=BFC.在ABD和ACF中，所以ABDACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如圖，ABCD，BEDF，BD，求證：(1)AECF，(2)AECF，(3)AFECEF思路點(diǎn)撥: (1)直接通過(guò)ABECDF而得，(2)先證明AEBCFD，(3)由(1)(2)可證明AEFCFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)冉馕觯?1)在ABE與CDF中ABECDF(SAS)AECF(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)AEBCFD(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)AECF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(3)在AEF與CFE中AEFCFE(SAS)AFECEF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)總結(jié)升華：在復(fù)雜問(wèn)題中，常將已知全等三角形的對(duì)應(yīng)角(邊)作為判定另一對(duì)三角形全等的條件舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，延長(zhǎng)AC邊上的中線BD到F，使DFBD，延長(zhǎng)AB邊上的中線CE到G，使EGCE，求證 AFAG【答案】在AGE與BCE中AGEBCE(SAS)AGBC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在AFD與CBD中AFDCBD(SAS)AFCB(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)AFAG(等量代換)6、如圖 ABAC，BDAC于D，CEAB于E，BD、CE相交于F求證：AF平分BAC思路點(diǎn)撥: 若能證得得AD=AE，由于ADB、AEC都是直角，可證得RtADFRtAEF，而要證AD=AE，就應(yīng)先考慮RtABD與RtAEC，由題意已知AB=AC，BAC是公共角，可證得RtABDRtACE解析：在RtABD與RtACE中RtABDRtACE(AAS)AD=AE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在RtADF與RtAEF中RtADFRtAEF(HL)DAF=EAF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)AF平分BAC(角平分線的定義)總結(jié)升華：條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過(guò)多次三角形全等得出待求的結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證已知：如圖，在ABC與ABC中AB=AB，BC=BC，ADBC于D，ADBC于 D且 AD=AD求證：ABCABC證明：在RtABD與RtABD中RtABD RtABD(HL)B=B(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)在ABC與ABC中ABCABC(SAS)【變式2】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC=BD，CD90 求證：OC=OD【答案】C=D=90ABD、ACB為直角三角形在RtABD和RtABC中RtABDRtABC(HL)AD=BC在AOD和BOC中AODBOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC，D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DEAB，DFAC，CGAB垂足分別是E、F、G.試判斷：猜測(cè)線段 DE、DF、CG的數(shù)量有何關(guān)系？并證明你的猜想。思路點(diǎn)撥:尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑解析：結(jié)論：DE+DF=CG方法一：（截長(zhǎng)法）板書此種方法（3分鐘） 作DMCG于M DEAB，CGAB，DMCG 四邊形EDMG是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B=FCD MDC=FCD 而DMCG，DFAC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDCFCD（AAS） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG總結(jié)升華：方法二（補(bǔ)短法）作CMED交ED的延長(zhǎng)線于M（證明過(guò)程略） 總結(jié)：截長(zhǎng)補(bǔ)短的一般思路，并由此可以引申到截長(zhǎng)法有兩種截長(zhǎng)的想法方法三（面積法）使