湍流模型及其在CFD中的應用,如果在靜止的空氣里，點燃一個火炬，并且燃料源源不斷地供給，可以發(fā)現(xiàn)周圍的氣體會做強烈的湍流流動，同時這些氣流的湍流流動會促使火焰愈燒愈旺。上述過程涉及流動、傳熱、傳質和化學反應。提出問題：湍流對那些過程有影響？哪些因素又反過來影響湍流？,一個例子,一、湍流及其數(shù)學描述,1、湍流流動的特征流體實驗表明，當Reynolds數(shù)小于某一臨界值時，流動是平滑的，相鄰的流體層彼此有序地流動，這種流動稱為層流（laminarflow）。當Reynolds數(shù)大于臨界值時，會出現(xiàn)一系列復雜的變化，最終導致流動特征的本質變化，流動呈無序的混亂狀態(tài)。這時，即使是邊界條件保持不變，流動也是不穩(wěn)定的，速度、壓力、溫度等流動特性都隨機變化，這種狀態(tài)稱為湍流（turbulentflow）.,湍流流動的兩個例子,LargerStructures,SmallerStructures,觀測表明，湍流帶有旋轉流動結構，這就是湍流渦（turbulenteddies），簡稱渦（eddy）。從物理結構上看，可以把湍流看成是由各種不同尺寸的渦疊合而成的流動，這些渦的大小和旋轉軸的方向分布是隨機的。大尺度的渦主要是由流動的邊界條件所決定，其尺寸可以與流場的大小相比擬，它主要受慣性影響而存在，是引起低頻脈動的原因；小尺度的渦主要是由粘性力所決定的，其尺寸可能只是流場尺度的千分之一量級，是引起高頻脈動的原因。,湍流渦的特點,渦的生成與耗散,大尺寸的渦不斷地從主流中獲得能量，通過渦間相互作用，能量逐漸向小尺寸的渦傳遞。最后由于流體粘性的作用，小尺度的渦就不斷消失，機械能就耗散為流體的熱能。同時由于邊界的作用，擾動及速度梯度的作用，新的渦又不斷產生，構成了湍流運動。,對某些簡單的均勻時均流場，如果湍流脈動是均勻的、各向同性的，可以用經典的統(tǒng)計理論進行分析。但實際上，湍流是不均勻的。,湍流是流體力學中的難題,湍流的作用,由于湍流的存在，速度脈動量在流線方向的分量和垂直于流線方向的分量之間建立了關聯(lián)量，它代表著一種橫向交換通量，也可以認為是由于湍流流動引起的一種附加剪切應力影響動量的輸運過程。湍流的存在使傳熱和傳質通量提高。由于湍流會促進這些基本過程，因此對某些物理現(xiàn)象就會產生強烈的影響，如，脈動過程的消衰、均相化學反應率的增加以及液滴蒸發(fā)的強化。,某些因素會影響湍流的形成。如，當湍流定性尺度和脈動強度非常小時，流體的粘度會直接影響當?shù)氐耐牧鞫?。當馬赫（Mach）數(shù)達到5以上時，密度的脈動量與當?shù)氐耐牧饔忻芮械年P系。強烈的化學反應、氣流的旋轉流動、顆粒的存在以及浮力或電磁場的作用，都會影響當?shù)氐耐牧鹘Y構。,外界因素對湍流的影響,2、湍流的基本方程,無論湍流運動多么復雜，非穩(wěn)態(tài)的連續(xù)方程和N-S方程對于湍流的瞬時運動仍然是適用的。在此，考慮不可壓流動，使用笛卡爾坐標系，速度矢量在x、y和z方向的分量分別為u、v和w，寫出湍流瞬時控制方程如下：,(1),(2a),(2b),(2c),定義時均量,為了考察脈動的影響，目前廣泛采用的是時間平均法，即把湍流運動看做由兩個流動疊加而成，一是時間平均流動，二是瞬時脈動流動。這樣，將脈動分離出來，便于處理和進一步探討。現(xiàn)在，引入Reynolds平均法，任一變量的時間平均定義為：,(3),這里，上標“”代表對時間的平均值。如果用上標“、”代表脈動值，物理量的瞬時值、時均值及脈動值之間的關系如下：,時均量與脈動量的關系,(4),現(xiàn)在用平均值和脈動值之和代替流動變量，即：,(5),將（5）代入瞬時狀態(tài)下的連續(xù)性方程（1）和動量方程（2），并對時間取平均，得到湍流時均流動的控制方程如下：,湍流時均流動的控制方程,(6),(7a),(7b),(7c),時均輸運方程的統(tǒng)一形式,(8),以上是假設流體密度為常數(shù)；但是在實際流動中，密度可能是變化的。Bradshaw等指出，細微的密度變動并不對流動造成明顯的影響在此，忽略密度脈動的影響，但考慮平均密度的變化，寫出可壓湍流平均流動的控制方程如下注意，為方便起見，除脈動值的時均值外，下式中去掉了表示時均值的上劃線符號“”，如用表示,密度脈動的影響,時均形式的連續(xù)方程,時均形式的N-S方程，又稱Reynolds時均N-S方程（簡稱RANS）,（9）,（10）,湍流輸運方程組,標量的時均輸運方程,（11）,湍流輸運方程組,張量形式的時均輸運方程,（12）,（13）,（14）,二、湍流的數(shù)值模擬方法簡介,1、三維湍流數(shù)值模擬方法的分類湍流數(shù)值模擬方法可以分為直接數(shù)值模擬方法和非直接數(shù)值模擬方法。所謂直接數(shù)值模擬方法是指求解瞬時湍流控制方程。非直接數(shù)值模擬方法就是不直接計算湍流的脈動特性，而是設法對湍流做某種程度的近似和簡化處理，例如前面提到的時均性質的Reynolds方法就是其中的一種典型方法。根據(jù)依賴所采用的近似和簡化方法不同，非直接數(shù)值模擬方法分為大渦模擬、統(tǒng)計平均法和Reynolds平均法。,2、直接數(shù)值模擬（DNS）簡介,直接數(shù)值模擬方法就是直接用瞬時的N-S方程對湍流進行計算，其最大的好處是無需對湍流流動做任何簡化或近似，理論上能得到相對準確的計算結果。但是，DNS要求網格劃分的非常細，對計算機內存空間及計算速度要求非常高，目前還無法用于真正意義上的工程計算。,3、大渦模擬（LES）簡介,由于就目前的計算能力而言，能夠采用的計算網格的最小尺度仍然比最小渦的尺度要大許多。因此，目前只能放棄對全尺度范圍上渦運動的模擬，而只將比網格尺度大的湍流運動通過N-S方程直接計算出來，對于小尺度渦對大尺度運動的影響則通過建立模型來模擬，從而形成了大渦模擬法（LES）。,LES方法的基本思想,用瞬時的N-S方程直接模擬湍流中的大尺度渦，不直接模擬小尺度的渦，而小渦對大渦的影響通過近似的模型來考慮。LES方法對計算機內存及CPU速度要求仍然很高，但是低于DNS法。,4、Reynolds平均法（RANS）簡介,雖然瞬時N-S方程可以描述湍流，但是N-S方程的非線性使得用解析方法精確描寫三維時間相關的全部細節(jié)極端困難。從工程應用的觀點來看，重要的是湍流所引起的平均流場的變化，是整體效果。Reynolds平均法的核心不是直接求解瞬時的N-S方程，而是想辦法求解時均化的Reynolds方程，這樣不僅可以避免DNS方法計算量大的問題，而且能夠滿足工程實踐應用要求。Reynolds平均法是目前使用最廣的湍流數(shù)值模擬方法。,Reynolds時均法分類,根據(jù)Reynolds應力作出的假定或處理的方式不同，目前常用的湍流模型有兩類：Reynolds應力模型和渦粘模型。,1）Reynolds應力模型Reynolds應力模型包括,Reynolds應力方程模型代數(shù)應力方程模型,2）渦粘模型在渦粘模型中，不直接處理Reynolds應力項，而是引入湍流粘度（turbulentviscosity），或稱湍流系數(shù)（eddyviscosity），然后把湍流應力表示成湍流粘度的函數(shù)，這個計算的關鍵在于確定這種湍流粘度。,Reynolds時均法分類,鮑瑟內斯克(Boussinesq)模型,最早的湍流數(shù)學模型，一百多年前提出的針對二維邊界層問題把因湍流引起的、由脈動速度相關聯(lián)的剪切應力，模仿層流中以時間平均速度的梯度來表達，即建立了,（15）,這里，為湍流粘度，為時均速度，是“Kroneckerdelta”符號（），k為湍流動能（turbulentkineticenergy）：,（16）,Reynolds應力與平均速度梯度的關系,Boussinesq形式,在各向同性的前提下模仿層流輸運，引入標量的各向同性湍流粘性（渦粘性）系數(shù)概念,湍流動力粘度t和湍流運動粘度t與層流中的和不同，后者是物性參數(shù)，由物質的分子決定的，而前者由流動特性所決定，依賴于流場中各點的湍流狀態(tài)Boussinesq并沒有直接建立起求解t和t的公式，但從式（15）中可以看出，t或t正比于速度的一種值,湍流粘度的特點,（15）,Reynolds時均方程組通用形式,通用變量對各方程分別為1，vi，Ys，cpT等，e/為輸運系數(shù)，為湍流Prandtl數(shù)或Schimidt數(shù)，et(+t)為有效粘性系數(shù)，t或t稱為湍流粘性或渦流粘性系數(shù)，S為各方程源項。在各向同性假定的前提下，按照Boussinesq形式，湍流模型或湍流封閉的任務可歸結為尋求t或t的表達式或者其輸運方程,Boussinesq建立起式（15）后，關鍵問題變成如何求得t值，引導出各種求t的數(shù)學模型。這些模型分為兩大類：早期提出的代數(shù)方程模型只能解釋某些簡單的流動模型普朗特于1925年提出的混合長度模型和馮卡門于1930年提出的相似律假設模型微分方程模型,數(shù)學模型,零方程模型,一方程模型,兩方程模型,所謂的渦粘模型，就是把t與湍流時均參數(shù)聯(lián)系起來的關系式。依據(jù)確定t的微分方程的數(shù)量的多少，渦粘模型包括：,目前兩方程模型在工程中使用最為廣泛，最基本的兩方程模型就是標準k-模型，即分別引入關于湍流動能k和湍流耗散率的方程。此外，還有各種改進的k-模型，其中比較著名的是RNGk-模型和Realizablek-模型。,零方程模型,所謂零方程模型就是不使用微分方程，而是用代數(shù)關系式，把湍流粘度與時均值聯(lián)系起來的模型，它只用湍流的時均連續(xù)方程和Reynolds方程組成方程組，把方程組中的Reynolds應力用平均速度場的局部速度梯度來表示。,（12）,（13）,混合長度模型的出發(fā)點,零方程中最著名的是Prandtl提出的混合長度模型（mixinglengthmodel）。該模型由兩個類比的簡單物理設想出發(fā)的。,1)層流粘性與湍流粘性的類比,2)時均運動與脈動的量綱對比,混合長度模型的出發(fā)點,由以上兩個類比，混合長度模型的湍流封閉代數(shù)表達式（邊界層問題中）,直接用平均量梯度代數(shù)表達式來模擬Reynolds時均方程組中未知的應力或熱流、物質流關聯(lián)項。lm由實驗或直觀判斷加以確定。,混合長度模型的特點,例子：對邊界層流動,對自由射流有：平面淹沒射流圓淹沒射流其中x為沿流動方向，b為射流寬度。lm與橫向距離y或r無關對充分發(fā)展管流有其中R為管半徑，y為距管壁距離,例子：自由射流、充分發(fā)展管流,VonKarman給出公式,對浮力流動，如為穩(wěn)定分層（Ri0），則有其中,Ri稱為梯度Richardson數(shù)，為浮力梯度與速度梯度之比，lm0為無浮力時混合長度。17,例子：浮力流,對不穩(wěn)定分層（Ri0），則有其中2=14浮力或Ri越大則lm越小或湍流粘性越小，即浮力消弱湍流湍流Prandtl數(shù)T或Schmidt數(shù)Y，由經驗來確定,例子：浮力流,在浮力流中，浮力對T的影響可表達為,其中T0為無浮力時的湍流Prandtl數(shù)上式意味著浮力越大（Ri越大）則T越大或T及DT越小浮力的增大使湍流導熱或湍流擴散減弱的程度比使湍流粘性減弱的程度更厲害,例子：浮力流,優(yōu)點：直觀、簡單，無須附加湍流特性的微分方程適用于簡單流動，如射流、邊界層、管流、噴管流動等。另外，研究歷史較長，積累了很多經驗。,缺點1：在處必然是湍流粘性T為零，或剪力、熱流、擴散流均為零與實際不符,通道內中心線處T按該理論為零柵網后方均勻流場中的T按該理論為零實際上，均不為零,混合長度模型的優(yōu)缺點,混合長度模型相當于湍流能量達到局部平衡，即湍流的產生等于湍流的耗散，亦即認為湍流的對流（上游影響）和擴散（斷面上的混合）均為零。缺點2：只有簡單流動中才能給出lm的表達式。對復雜流動如拐彎或臺階后方有回流的流動，就很難給出lm的規(guī)律。,混合長度模型的優(yōu)缺點,湍流動能方程模型（單方程模型）,為了使Reynolds方程組封閉，對其中的關聯(lián)項等表征湍流特性的量繼續(xù)寫輸運方程，其中的第一個就是Reynolds應力輸運方程周培源先生在四十年代提出的推導應力輸運方程的出發(fā)點是瞬態(tài)的N-S方程和時均Reynolds方程,推導方法1,寫出瞬時速度分量vi及vj的NS方程將vj乘以vi的NS方程與vi乘以vj的NS方程相加，得到vivj的方程對上述方程進行Reynolds展開，取時平均，得到的方程將時均速度乘以的Reynolds方程與乘以的Reynolds方程相加，得到的方程上述兩者相減，便得到的方程,推導方法2,將瞬時速度vi的NS方程與時平均速度的Reynolds方程相減，得到的方程用類似辦法得到方程將vj乘以vi的方程與vi乘以vj的方程相加，再取時平均，便得到的方程,N-S方程,右端浮力項按Boussinesq近似應為gi，此處用體膨脹系數(shù),ik為粘性應力張量，由廣義牛頓定律給出瞬時速度分量vj的N-S方程,vivj的輸運方程,將vj乘以vi的NS方程與vi乘以vj的NS方程相加，得到vivj的方程,對上式進行Reynolds展開，即代入取時平均，并考慮,時均速度乘以的Reynolds方程加乘以的Reynolds方程，得到的輸運方程由的輸運方程減去的輸運方程，可得到Reynolds應力輸運方程的精確形式注意：其中這些項可以被消去,左端第一、第二項分別為隨時間變化率及平均運動的對流，右端依次為湍流及分子擴散項、剪力產生項、浮力產生項、粘性耗散項及壓力應變項,Reynolds應力諸分量中三個法向應力分量之和的一半稱為湍流動能，即由上述Reynolds應力輸運方程的一般形式，當取i=j，并忽略其中壓力應變項，可得到湍流動能k的守恒方程的精確形式：,上式中左端兩項分別為湍流動能隨時間變化率及平均運動造成的湍流動能對流；右端第一項為各方向脈動，壓強脈動及分子運動造成的湍流動能的輸運，即湍流動能的湍流擴散再加上其分子擴散；右端第二項為湍流應力與平均速度梯度作用造成的湍流產生，即平均動能和湍能間的轉化；右端第三項為浮力造成的湍能產生（或銷毀），即湍能與重力位能間的轉化，或自然對流對湍流的影響；右端最后一項為湍能的粘性耗散,湍流脈動是一種能量，是總體動能（時均動能加脈動動能）的一部分服從一般輸運定理或守恒定理有對流、擴散、產生及耗散有學者提出由求解湍流特性（包括湍能）的微分方程來確定湍流粘性，規(guī)定,所謂湍能方程模型或單方程模型封閉法，就是首先用模擬法封閉k方程，然后再由代數(shù)式給定l，從而使Reynolds時均方程組封閉k方程右端的二階及三階關聯(lián)項未知精確形式的k方程不封閉需用模擬假設使三階關聯(lián)項降階，并使二階關聯(lián)項表達為平均量的函數(shù),基本思路受分子輸運及混合長度模型的啟發(fā)，用梯度模擬取應力正比于速度梯度，質量流正比于濃度梯度，熱流正比于溫度梯度擴散項剪力產生項浮力產生項,對耗散項由量綱分析，取而因此有耗散項：,模擬后的k方程,其中已經廣為應用的k方程，l仍需由經驗式給定,邊界層中湍能方程及其簡化,無浮力的平面二維邊界層流動，k方程可化為如果忽略非定常項、對流及擴散，取局部平衡關系，即令產生項等于耗散項，則有,由定義可知則可以寫或由此得到或上兩個式子就是混合長度模型的表達式混合長度模型是單方程模型的極端情況，或其簡化形式（忽視對流與擴散）,對單方程模型的評價,單方程模型克服了混合長度模型的不足，考慮了湍能經歷效應（對流）及混合效應（擴散）但是要用單方程模型封閉，必須預先給定l的代數(shù)表達式,單方程模型,在零方程模型中，湍流粘度和混合長度lm都把Reynolds應力和當?shù)仄骄俣忍荻认嗦?lián)系，是一種局部平衡的概念，忽略了對流和擴散的影響。為了彌補混合長度假定的局限性，在使用湍流時均連續(xù)方程（12）和Reynolds方程（13）的基礎上，再建立一個湍流動能k的輸運方程，而表示成k的函數(shù)，從而可使方程封閉。這里，湍流動能k的輸運方程可寫為：,（17）,方程中各項依次為瞬態(tài)項、對流項、擴散項、產生項、耗散項。,由Kolmogorov-Prandtl表達式，有：,（18）,其中，k，CD，C為經驗常數(shù)，多數(shù)文獻建議：k=1，C=0.09。而CD的取值在不同的文獻中結果不同，從0.08到0.38不等。但這個問題在后面要介紹的雙方程模型中不存在。l為湍流脈動的長度比尺，依據(jù)經驗公式或實驗確定。,式（17）、（18）構成單方程模型，單方程模型考慮到湍流的對流輸運和擴散輸運，因此比零方程模型更加合理。但是，一方程模型中如何確定長度比尺l仍為不易解決的問題，因此很難得到推廣應用。,單方程模型中的湍流粘度,標準k-兩方程模型,標準k-模型是在上面介紹的單方程模型的基礎上，新引入一個關于湍流耗散率的方程后形成的。該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。,k雙方程模型,湍流由各種不同尺寸的渦團所構成大渦團是脈動能量的主要攜帶者含能渦團小渦團為耗散渦團湍流渦團尺度是可以輸運的量各種渦團的輸運及其間相互作用，渦團尺度在流場中也有對流、擴散、產生（小渦團的耗散生產大渦團）及耗散（大渦團拉伸成小渦團）,湍流尺度l的輸運方程推廣言之，對湍流粘性T=ck1/2lSpalding和Launder曾總結出一個廣義的第二參量z=kmln，一般形式的z方程：,不同學者推薦的不同的z,其中k-雙方程模型的應用及經受的檢驗最為普遍,標準k-模型的定義,在關于湍動能k的方程的基礎上，再引入一個關于湍動耗散率的方程，便形成了k-兩方程模型，稱為標準k-模型（standardk-model）。在模型中，表示湍動耗散率（turbulentdissipationrate）的被定義為：,（19）,湍動粘度可表示成k和的函數(shù)，即：,其中，C為經驗常數(shù)。,原始的方程,與推導k方程類似設湍流各向同性，忽略某些各向異性部分，得到輸運方程的原始形式，或有條件地稱為的精確方程左端第一，第二項分別為時間變化率及對流，右端第一、第二、第三、第四項分別為湍流擴散、分子擴散、產生項（渦旋拉伸）及粘性耗散項,封閉后的方程,對擴散項采用梯度模擬由一般概念出發(fā)，設的產生和耗散正比于k的產生和耗散由量綱分析方程的源項可模擬為方程,在標準k-模型中，k和是兩個基本未知量，與之相對應的輸運方程為：,（20）,（21）,其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項，Gb是由于浮力引起的湍動能k的產生項，YM代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻，C1、C2和C3為經驗常數(shù)，k和分別是與湍動能k和耗散率對應的Prandtl數(shù)，Sk和S是用戶定義的源項。,標準k-模型,Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項，由下式計算：,（22）,Gb是由于浮力引起的湍動能k的產生項，對于不可壓流體，Gb=0。對于可壓流體，有：,（23）,標準k-模型中的有關公式,Prt是湍動Prandtl數(shù)，在該模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數(shù)，可由可壓流體的狀態(tài)方程求出，其定義為：,（24）,YM代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻，對于不可壓流體，YM=0。對于可壓流體，有：,（25）,其中，Mt是湍流Mach數(shù)，,標準k-模型中的有關公式,在標準的k-模型中，根據(jù)Launder等的推薦值及后來的實驗驗證，模型常數(shù)的取值為：,（26）,對于可壓縮流體的流動計算中與浮力相關的系數(shù)C3，當主流方向與重力方向平行時，有C3=1，當主流方向與重力方向垂直時，有C3=0。,標準k-模型中的系數(shù),根據(jù)以上分析，當流體為不可壓，且不考慮用戶自定義源項時，,（27）,（28）,這時，標準k-模型變?yōu)椋?采用標準k-模型求解流動及換熱問題時，控制方程包括連續(xù)性方程、動量方程、能量方程、k方程、方程與式（20）。若不考慮熱交換的單純流場計算問題，則不需要包含能量方程。如考慮傳質或者有化學變化的情況，則應再加入組分方程。這些方程都可以表示為下面通用形式：,（29）,若用散度符號，上式記為：,（30）,標準k-模型的控制方程組,標準k-模型的控制方程組,在將各變量的控制方程都寫成式（30）所示的統(tǒng)一形式后，控制方程的離散化及求解方法可以得到統(tǒng)一，不同變量的區(qū)別僅在于擴散系數(shù)、廣義源項及初值、邊界條件這三方面。,標準k-模型的解法,1）模型中的有關系數(shù)，主要根據(jù)一些特殊條件下的試驗結果而確定的，在不同的文獻討論不同的問題時，這些值可能有出入。在數(shù)值計算的過程中，針對特定的問題，參考相關文獻，尋求更合理的取值。,標準k-模型的適用性,2）上述k-模型，是針對湍流發(fā)展非常充分的湍流流動來建立的，是一種針對高Re數(shù)的湍流計算模型，而當Re數(shù)較低時，例如，在近壁區(qū)內的流動，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動影響可能不如分子粘性的影響大，在更貼近壁面的底層內，流動可能處于層流狀態(tài)。因此，對Re數(shù)較低的流動使用上面建立的k-模型進行計算，就會出現(xiàn)問題。這時，必須采用特殊的處理方式，以解決近壁區(qū)內的流動計算及低Re數(shù)時的流動問題。使用上面的k-模型可能就會出現(xiàn)問題。常用解決方法有壁面函數(shù)法和低Re數(shù)的k-模型。,標準k-模型的適用性,3）標準k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改進，但是對于強旋流、彎曲壁面流動或彎曲流線流動時，會產生一定失真。原因是在標準k-模型中，對于Reynolds應力的各個分量，假定粘度系數(shù)t是相同的，即假定t是各向同性的標量。而在彎曲流線的情況下，湍流是各向異性的，t應該是各向異性的張量。,標準k-模型的適用性,在RNGk-模型中，通過在大尺度運動和修正后的粘度項體現(xiàn)小尺度的影響，而使這些小尺度運動有系統(tǒng)地從控制方程中去除。所得到的k方程和方程，與標準k-模型非常相似：,（31）,（32）,RNGk-模型,其中，,（33）,RNGk-模型中的系數(shù),RNGk-模型主要變化是：,1）通過修正湍動粘度，考慮了平均流動中的旋轉及旋流流動情況；2）在方程中增加了一項，從而反映了主流的時均應變率Eij，這樣，RNGk-模型中產生項不僅與流動情況有關，而且在同一問題中也還是空間坐標的函數(shù)。從而，RNGk-模型可以更好處理高應變率及流線彎曲程度較大的流動。,RNGk-模型與標準k-模型的比較,需要注意的是，RNGk-模型仍針對充分發(fā)展的湍流是有效的，是高Re數(shù)的湍流計算模型，而對近壁區(qū)內的流動及Re數(shù)較低的流動，必須使用下面將要介紹的壁面函數(shù)法或低Re數(shù)的k-模型來模擬。此外，需要說明一點，在FLUENT手冊中，將RNGk-模型所引入的反映主流的時均應變率Eij的一項，歸入了方程中的C2系數(shù)中，且表達式多了一個系數(shù)C，而不像這里歸入C1系數(shù)。這兩種處理方式實質上是一樣的。,RNGk-模型,標準k-模型對時均應變率特別大的情況，有可能導致負的正壓力。為使流動符合湍流的物理定律，需要對正應力進行某種數(shù)學約束。為保證這種約束的實現(xiàn)，認為湍流粘度計算式中的系數(shù)C不應是常數(shù)，而應與應變率聯(lián)系起來。從而，提出了Realizablek-模型。這里，Realizable有“可實現(xiàn)”的意思。,Realizblek-模型,（34）,（35）,其中，,（36）,Realizblek-模型形式,式中，與C按下式計算：,（37）,（38）,Realizblek-模型中的系數(shù),（39）,其中，,Realizblek-模型中的系數(shù),上面的是從角速度k為參考系中觀察到的時均轉動速率張量，顯然對無旋轉的流場，上式中計算式根號中的第二項為零，這一項是專門用以表示旋轉影響的，也是本模型的特點之一。,Realizblek-模型中的系數(shù),湍流粘度計算公式發(fā)生了變化，引入了與旋轉和曲率有關的內容。方程發(fā)生了很大變化，方程中的產生項不再包含有k方程中的產生項Gk，這樣，現(xiàn)在的形式更好地表示了光譜的能量轉換。方程中的倒數(shù)第二項不具有任何奇異性，即使k值很小或為零，分母也不會為零。這與標準k-模型和RNGk-有很大區(qū)別。,Realizblek-模型與標準k-模型,Realizablek-模型已被有效地用于各種不同類型的流動模擬，包括旋轉均勻剪切流、包含有射流和混合流的自由流動、管道內流動、邊界層流動，以及帶有分離的流動等。,Realizblek-模型適用性,在近壁區(qū)使用k-模型的問題,k-模型都是高Re數(shù)的湍流模型，可是，在近壁區(qū)內的流動，Re數(shù)較低，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動影響不如分子粘性的影響大，湍流應力幾乎不起作用，這樣在這個區(qū)域內就不能使用前面的k-模型就行計算，必須采用特殊的處理方式。下面介紹：壁面函數(shù)法和低Re數(shù)k-模型。,一是不對粘性影響比較明顯的區(qū)域（粘性底層和過渡層）進行求解，而是用一組半經驗公式（即壁面函數(shù)）將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內的相應物理量聯(lián)系起來，這就是壁面函數(shù)法。另一種途徑是采用低Re數(shù)k-模型來求解粘性影響比較明顯的區(qū)域（粘性底層和過渡層），這時要求在壁面劃分比較細密的網格。越靠近壁面，網格越細。這兩種方法都可與標準k-模型和RNGk-模型等配合，成功地解決近壁區(qū)及低Re數(shù)情況下的流動計算問題。,解決這個問題有兩個途徑,壁面函數(shù)法（wallfunctions）實際是一組半經驗公式，用于將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內待求的未知量直接聯(lián)系起來。它必須與高Re數(shù)k-模型配合使用。壁面函數(shù)法的基本思想是：對于湍流核心區(qū)的流動使用k-模型求解，而在壁面區(qū)不進行求解，直接使用半經驗公式將壁面上的物理量與湍流核心區(qū)內的求解變量聯(lián)系起來。這樣，不需要對壁面區(qū)內的流動進行求解，就可直接得到與壁面相鄰控制體積的節(jié)點變量值。,壁面函數(shù)法,在壁面區(qū)，流體運動受壁面流動條件的影響比較明顯，壁面區(qū)可分為三個子層：1）粘性底層2）過渡層3）對數(shù)律層,近壁區(qū)流動特點,粘性底層是一個緊貼固體壁面的極薄層，其中粘性力在動量、熱量及質量交換中起主導作用，湍流切應力可以忽略，所以流動幾乎是層流流動，平行于壁面的速度分量沿壁面法線方向為線性分布。過渡層處于粘性底層的外面，其中粘性力與湍流切應力的作用相當，流動狀態(tài)比較復雜，很難用一個公式或定律來描述。由于過渡層厚度極小，所以在工程計算中通常不明顯劃出，歸入對數(shù)律層。對數(shù)律層處于最外層，其中粘性力的影響不明顯，湍流切應力占主要地位，流動處于充分發(fā)展的湍流狀態(tài)，流速分布接近對數(shù)律。,三層的特點,為了用公式描述粘性底層和對數(shù)律層內的流動，引入如下無量鋼參數(shù)，分別表示速度和距離：,（40）,（41）,其中，u是流體的時均速度，u是壁面摩擦速度，w是壁面切應力，y是到壁面的距離。,公式描述,當時，所對應的區(qū)域是粘性底層，這時速度沿壁面法線方向呈線性分布，即：,當時，流動處于對數(shù)律層，這時速度沿壁面法線方向呈對數(shù)律分布，即：,其中，為Karman常數(shù)，B和E是與表面粗糙有關的常數(shù)，對于光滑壁面有=0.4，B=5.5，E=9.8，壁面粗糙度的增加將使得B值減小。,注意，上面給出各子層的分界值，只是近似值。有的文獻介紹對應于對數(shù)律層。有的文獻推薦將作為粘性底層與對數(shù)律層的分界點。,1）動量方程中變量u的計算式,當與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點滿足時，流動處于對數(shù)律層，此時的速度up為,（42）,推薦按下式計算,（43）,此時的壁面切應力w滿足如下關系：,（44）,式中，up是節(jié)點p的時均速度，kp是節(jié)點p的湍動能，yp是節(jié)點p到壁面的距離，是流體的動力粘度。,當與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點滿足時，控制體積內的流動處于粘性底層，此時的速度up由層流應力應變關系決定。,能量方程以溫度T為求解未知量，為了建立計算網格節(jié)點上的溫度與壁面上的物理量之間的聯(lián)系，定義新的參數(shù)T+如下：,（45）,式中，Tp是與壁面相鄰的控制體積的節(jié)點p處的溫度，Tw是壁面上的溫度，是流體密度，Cp是流體的比熱容，qw是壁面上的熱流密度。,能量方程中溫度T的計算式,壁面函數(shù)法通過下式將計算網格節(jié)點上的溫度T與壁面上的物理量相聯(lián)系：,（46）,3）湍動能方程與耗散率方程中的k和的計算式在k-模型和后面的RSM模型中，k方程是在包括與壁面相鄰的的控制體積內的所有計算域上進行求解，在壁面上湍動能k的邊界條件是：,（47）,其中n是垂直于壁面的局部坐標。,在與壁面相鄰的控制體積內，構成k方程源項的湍動能產生項Gk，及耗散率，按局部平衡假定來計算，即在與壁面相鄰的控制體積內Gk和都是相等的。從而，Gk按下式計算：,（48）,按下式計算,（49）,注意，在與壁面相鄰的控制體積上是不對方程進行求解的，直接按式（49）確定節(jié)點的。,由上分析可見，針對各求解變量（包括平均流速、溫度、k和）所給出的壁面邊界條件均由壁面函數(shù)考慮到了，所以不用擔心壁面處的邊界條件。,上述壁面函數(shù)法是FLUENT選用的默認方法，它對各種壁面流動都非常有效。相對于后面要介紹的低Re數(shù)k-模型，壁面函數(shù)法計算效率高，工程實用性強。而采用低Re數(shù)k-模型時，因壁面區(qū)（粘性底層和過渡層）內的物理量變化非常大，因此，必須使用細密的網格，從而造成計算成本的提高。當然，壁面函數(shù)法無法象低Re數(shù)k-模型那樣得到粘性底層和過渡層內的“真實”速度分布。,但是壁面函數(shù)法也有一定的局限性，當流動分離過大或近壁面流動處于高壓之下時，則此方法不是很理想。為此，F(xiàn)LUENT還提供了非平衡的壁面函數(shù)法及增強的壁面函數(shù)法。,低Re數(shù)k-模型,上面介紹的壁面函數(shù)法的表達式主要是根據(jù)簡單的平行流動邊界層的實測資料而歸納出來的，同時，這種方法并未對壁面區(qū)內部的流動進行“細致”的研究，尤其是粘性底層內，分子粘性的作用并未有效地計算。為了使基于k-模型的數(shù)值計算能從高Re數(shù)區(qū)域一直進行到固體壁面上（Re為零），許多學者提出了對高Re數(shù)k-模型進行修改的方案。這里介紹Jones和Launder提出的低Re數(shù)k-模型。,1）為體現(xiàn)分子粘性的影響，控制方程的擴散系數(shù)項必須同時包括湍流擴散系數(shù)與分子擴散系數(shù)兩部分。2）控制方程的有關系數(shù)必須考慮不同流態(tài)的影響，即在系數(shù)計算公式中引入湍流雷諾數(shù)Ret，這里3）在k方程中應考慮壁面附近湍動能的耗散不是各向同性這一因素。,低Re數(shù)的流動主要體現(xiàn)在粘性底層，流體的分子粘性起著絕對支配地位，因此必須對高Re數(shù)k-模型進行三方面修改，才能使其用于計算各種Re數(shù)的流動：,低Re數(shù)k-模型的輸運方程,（50）,（51）,式中，,（52）,n代表壁面法向坐標，u為與壁面平行的流速。在實際計算中，方向n可近似取為x、y和z中最滿足條件的一個，速度u也做類似處理。式中“”所圍部分就是低Re數(shù)k-模型區(qū)別于高Re數(shù)k-模型的部分。,系數(shù)f1，f2，fu的引入，實際上等于對標準k-模型中系數(shù)C1、C2和C進行的修正，計算如下：,（53）,顯然，當Ret很大時，f1，f2和fu均趨于1。,在上述方程中，除了對標準k-模型中有關系數(shù)進行修正外，Jones和Launder的模型中在k和的方程中還各自引入了一個附加項。k方程（50）中的附加項是為了考慮在粘性底層中湍動能的耗散不是各向同性的這一因素而加入的。,（50）,k方程的附加項,在高Ret的區(qū)域，湍動能的耗散可以看成是各向同性的，而在粘性底層中，總耗散率中各向異性部分的作用逐漸增加。方程（51）中的附加項是為了使k的計算與某些實驗測定值符合的更好而加入的。,（51）,方程的附加項,在使用低Re數(shù)k-模型進行流動計算時，充分發(fā)展的湍流核心區(qū)及粘性底層均用同一套公式計算，但由于粘性底層的速度梯度大，因此在粘性底層的網格要密。建議當局部湍流的Ret數(shù)小于150時，就應該用低Re數(shù)k-模型，而不能使用高Re數(shù)k-模型進行計算。,Reynolds應力方程模型（RSM）,上面介紹的各種兩方程模型都采用各向同性的湍流粘度來計算湍流應力，這些模型難于考慮旋轉流動及流動方向表面曲率變化的影響。為了克服這些缺點，有必要直接對Reynolds方程中的湍流脈動應力直接建立微分方程式并進行求解。建立Reynolds應力的方程有兩種：一是Reynolds應力方程模型，二是代數(shù)應力方程模型。,1、Reynolds應力輸運方程,（54）,方程中第一項為瞬態(tài)項，其他各項依次為：Cij：對流項DT,ij：湍動擴散項DL,ij：分子粘性擴散項Pij：剪應力產生項Gij：浮力產生項ij：壓力應變項ij：粘性耗散項Fij：系統(tǒng)旋轉產生項,上式各項中，Cij、DL,ij、Pij和Fij均只包含二階關聯(lián)項，不必進行處理?？墒牵珼T,ij、Gij、ij和ij包含有未知的關聯(lián)項，必須象前面構造k方程和方程的過程一樣，構造其合理的表達式，即給出各項的模型，才能得到真正有意義的Reynolds應力方程。,1）湍動擴散項DT,ij的計算,可通過Daly和Harlow所給出的廣義梯度擴散模型來計算,（55）,但是有的文獻認為該式可能導致數(shù)值上不穩(wěn)定，推薦下式,（56）,式中，t是湍動粘度，按標準k-模型中來計算，系數(shù)k=0.82，注意該值在Realizablek-模型中為1.0。,2）浮力產生項Gij的計算式,（57）,其中，T是溫度，Prt是能量的湍動Prandtl數(shù)，在該模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數(shù)。對于理想氣體，有：,（58）,如果流體是不可壓的，則Gij=0。,3）壓力應變項ij的計算,壓力應變項ij的存在是Reynolds應力模型與k-模型的最大區(qū)別之處，由張量的縮并原理和連續(xù)方程可知，kk=0。因此，ij僅在湍流各分量間存在，當時，它表示減小剪切應力，使湍流趨向于各向同性；當時，它表示使湍動能在各應力分量間重新分配，對總量無影響?？梢?，此項并不產生脈動能量，僅起到再分配作用。因此，有的文獻稱此項為再分配項。,（59）,其中，ij,1是慢的壓力應變項，ij,2是快的壓力應變項，ij,w是壁面反射項。,ij相對普遍的形式,ij,1計算式如下：,（60）,這里，C1=1.8。ij,2計算式如下：,（61）,這里，C2=0.60。Pij的定義見式（54），P=Pkk/2。,（62）,這里，C1=0.5，C2=0.3，nk是壁面單位法向矢量的xk分量，d是研究的位置到固體壁面的距離，其中C=0.09，k是Karman常數(shù)，k=0.4187。,壁面反射項ij,w負責對近壁面處的正壓力進行再分配。它有使垂直于壁面的應力變弱，而使平行于壁面的應力變強的趨勢。,耗散項表示分子粘性對Reynolds應力產生的耗散。在建立耗散項的計算公式時，認為大尺度渦承擔動能輸運，小尺度渦承擔粘性耗散，因此小尺度渦團可以看成是各向同性的。即認為局部各向同性。依照該假設，耗散項可最終寫成：,（63）,最后，綜合上面各計算方程，得到封閉的Reynolds應力輸運方程。,4）粘性耗散項ij的計算,（64）,2、RSM的控制方程組及其解法,在上述得到的Reynolds應力輸運方程中，包含湍動能k和耗散率，為此，在使用RSM時，需要補充k和的方程如下：,（65）,（66）,式中，Pij是剪應力產生項，根據(jù)式（54）計算。Gij是浮力產生項，根據(jù)（57）或（58）計算，對于不可壓流體，Gij=0。是湍動粘度，按下式計算：,（67）,最后，可以通過SIMPLE等算法進行求解。,取值分別為：,為常數(shù)。,C3是與局部流動方向相關的一個數(shù)，當主流方向與重力方向平行時，有C3=1，當主流方向與重力方向垂直時，有C3=0,3、對RSM適用性的討論,與標準k-模型一樣，RSM也屬于高Re數(shù)的湍流計算模型，在固體壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脈動受到阻尼，Re數(shù)很小，上述方程不再適用。因此，必須采用壁面函數(shù)法，或低Re數(shù)的RSM來處理近壁面區(qū)的流動計算問題。關于低Re數(shù)的RSM，其基本思想是修正高Re數(shù)RSM中耗散函數(shù)（擴散項）及壓力應變重新分配項的表達式，以使RSM模型方程可以直接應用到壁面上。,由上述方法建立的對壓力應變項等的計算公式可以看出，盡管RSM比k-模型應用范圍更廣，包含更多的物理機理，但它仍有很多缺陷。計算實踐表明，RSM雖能考慮一些各向異性效應，但并不一定比其他模型效果更好，在計算突擴流動分離區(qū)和計算湍流輸運各向異性較強的流動時，RSM優(yōu)于雙方程模型，但對于一般的回流流動，RSM的結果不一定比k-模型要好。,另一方面，就三維計算而言，采用RSM意味著要多求解6個Reynolds應力的微分方程，計算量大，對計算機的要求高。因此，RSM不如k-模型應用更廣泛，但是RSM是一種更有潛力的湍流模型。,八、代數(shù)應力方程模型（ASM）,由于RSM過于復雜，計算量大，有許多學者從RSM出發(fā)，建立Reynolds應力的代數(shù)方程模型，即將RSM中包含Reynolds應力微商的項用不包含微商的表達式去代替，就形成了代數(shù)應力方程模型（AlgebraicStressequationModel，簡稱ASM）。,1、ASM的應力方程,在對RSM中的Reynolds應力方程進行簡化時，重點集中在對流項和擴散項的處理上。一種簡化方案是采用局部平衡假定，即Reynolds應力的對流項和擴散項之差為零；另一種簡化方案是假定Reynolds應力的對流項和擴散項之差正比與湍動能k的對流項和擴散項之差?，F(xiàn)以第一種簡化方案為例，給出ASM的代數(shù)應力方程。,當假定Reynolds應力的對流項和擴散項之差為零時，根據(jù)方程（54）中的記法，有：,（68）,代入式（54），在準穩(wěn)態(tài)的湍流條件下，有：,（69）,現(xiàn)考慮無浮力作用，系統(tǒng)無旋轉、忽略固體壁面的反射影響時，將上式與Reynolds應力輸運方程（64）相聯(lián)系后，有：,（70）,從而有：,（71）,這就是代數(shù)應力方程。,2、ASM的控制方程組及其求解,除了式（70）表示的6個應力方程外，ASM的其他控制方程組與RSM所使用的相同，即時均連續(xù)方程，Reynolds方程、應力方程、k方程和方程，共12個方程構成了ASM的基本控制方程組。,方程組的變量可以通過SIMPLE等算法求解。對于近壁面區(qū)的流動計算，仍需要采用壁面函數(shù)法或其他方法來處理。,3、ASM的特點,ASM是將各向異性的影響合并到Reynolds應力中進行計算的一種經濟算法，當然，因其要解6個代數(shù)方程組，其計算量還是遠大于k-模型。ASM雖然不象k-模型應用廣泛，但可用于k-模型不能滿足要求的場合以及不同的傳輸假定對計算精度影響不是十分明顯的場合。例如，對于像方形管道和三角形管道內的扭曲和二次流的模擬，由于流動特征是由Reynolds正應力的各向異性造成的，因此使用標準k-模型得不到理想的結果，而使用ASM就非常有效。,考慮各向異性的渦k-模型也在發(fā)展，如前面介紹的各種改進的k-模型，這使得ASM模型的深入應用受到一定的影響。但是仍有許多文獻認為ASM模型是目前最有應用前景的湍流模型