.,1,利用元素法解決:,定積分在幾何上的應(yīng)用,定積分在物理上的應(yīng)用,定積分的應(yīng)用,.,2,定積分的元素法,一、什么問題可以用定積分解決?,二、如何應(yīng)用定積分解決問題?,.,3,表示為,一、什么問題可以用定積分解決?,1)所求量U是與區(qū)間a,b上的某分布f(x)有關(guān)的,2)U對區(qū)間a,b具有可加性,即可通過,“分割,近似代替,求和,取極限”,定積分定義,一個整體量;,.,4,二、如何應(yīng)用定積分解決問題?,第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的,微分表達式,第二步利用“求和,取極限”求出整體量的,積分表達式,這種分析方法稱為元素法(或微元分析法),元素的幾何形狀常取為:,條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等,近似值,精確值,第二節(jié),.,5,一、平面圖形的面積,二、平面曲線的弧長,定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,.,6,一、平面圖形的面積,1.直角坐標(biāo)情形,設(shè)曲線,與直線,及x軸所圍曲,則,邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為,O,O,.,7,例1.計算兩條拋物線,在第一象限所圍,圖形的面積.,解:由,得交點,O,.,8,例2.計算拋物線,與直線,的面積.,解:由,得交點,所圍圖形,為簡便計算,選取y作積分變量,則有,O,.,9,例3.求橢圓,解:利用對稱性,所圍圖形的面積.,有,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,當(dāng)a=b時得圓面積公式,.,10,一般地,當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時,按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,O,.,11,例4.求由擺線,的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.,解:,O,.,12,2.極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積.,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,O,.,13,對應(yīng)從0變,例5.計算阿基米德螺線,解:,到2所圍圖形面積.,O,.,14,心形線,例6.計算心形線,所圍圖形的,面積.,解:,(利用對稱性),心形線,O,心形線(外擺線的一種),即,點擊圖中任意點動畫開始或暫停,尖點:,面積:,弧長:,參數(shù)的幾何意義,.,16,例7.計算心形線,與圓,所圍圖形的面積.,解:利用對稱性,所求面積,.,17,例8.求雙紐線,所圍圖形面積.,解:利用對稱性,則所求面積為,思考:用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積.,答案:,O,.,18,二、平面曲線的弧長,當(dāng)折線段的最大,邊長0時,折線的長度之和趨向于一個確定的極限,即,并稱此曲線弧為可求長的.,定理:任意光滑曲線弧都是可求長的.,(證明略),.,19,(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:,弧長元素(弧微分):,因此所求弧長,.,20,(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:,弧長元素(弧微分):,因此所求弧長,.,21,(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,因此所求弧長,則得,弧長元素(弧微分):,(自己驗證),.,22,例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.,求這一段弧長.,解:,下垂,懸鏈線方程為,.,23,例10.計算擺線,一拱,的弧長.,解:,.,24,例11.求阿基米德螺線,相應(yīng)于02,一段的弧長.,解:,.,25,內(nèi)容小結(jié),1.平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,2.平面曲線的弧長,曲線方程,參數(shù)方程方程,極坐標(biāo)方程,弧微分:,直角坐標(biāo)方程,上下限按順時針方向確定,直角坐標(biāo)方程,注意:求弧長時積分上下限必須上大下小,.,26,思考與練習(xí),1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A及邊界長s.,提示:交點為,弧線段部分,直線段部分,以x為積分變量,則要分,兩段積分,故以y為積分變量.,.,27,解：,2.求曲線,所圍圖形的面積.,顯然,面積為,同理其他.,又,故在區(qū)域,.