北京市海淀區(qū) 2015 2016 學年八年級第一學期期末 考試 數(shù)學 試題 、選擇題（本題共 36 分，每小題 3 分） 在下列各題的四個備選答案中，只有 一個 符合題意 請將正確選項前的字母填在表格中相應的位置 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 下列標志是軸對稱圖形的是 A B C D 【考點】 軸 對稱與軸對稱圖形 【試題解析】 根據(jù)軸對稱圖形的定義可觀察得知 選 B 【答案】 B 2 指大氣中直徑小于或等于 米的顆粒物， 米等于 02 5 米，把數(shù)字 02 5 用科學記數(shù)法表示為 A 0 B 0 C 625 10 D 0 【考點】 科學記數(shù)法和近似數(shù)、有效數(shù)字 【試題解析】 根據(jù)題意得 02 5= 故選 D 【答案】 D 3 使分式 23x有意義的 x 的取值 范圍是 A 3x B 3x C 3x D 3x 【考點】 分式的概念 【試題解析】 由于分式的分母不能為 0，否則無意義，所以 故選 A 【答案】 A 4下列計算中，正確的是 A 2 3 8() B 8 4 2a a a C 3 2 5a a a D 2 3 5a a a 【考點】 冪的運算 【試題解析】 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。所以 確故選 D 【答案】 D 5 如圖， 7， 5，則 長為 A 2 B 3 C 4 D 5 【考點】 全等三角形的性質(zhì) 【試題解析】 由于 據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 C=7，又因為 5，所以 故選 A 【答案】 A 6在平面直角坐標系中，已知點 A（ 2， m）和點 B（ n， 3）關(guān) 于 x 軸對稱，則 的值是 A 1 B 1 C 5 D 5 【考點】 平面直角坐標系及點的坐標 【試題解析】 由于 A、 所以橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，得 m=3， n=2故選 C 【答案】 C 7工人師傅常用角尺平分一個任意角做法如下：如圖， 一個任意角，在邊 分別取 動角尺，使角尺兩邊 相同 的刻度分別與點 M， N 重合，過角尺頂點 C 作射線 此作法便可得 依據(jù)是 A B C D 考點】 全等三角形的判定 【試題解析】 根據(jù)題意得在 ， 故選 A 【答案】 A 8 下列各式中，計算正確的是 A 2( 2 1) 2 1x x x B2 3193C 22( 2 ) 4 D 2( 2 ) ( 3 ) 6x x x x 【考點】 整式的運算因式分解 【試題解析】 根據(jù)題意得 故選 B 【答案】 B 9若 1，則 222a b b 的值為 A 4 B 3 C 1 D 0 【考點】 因式分解整式的運算 【試題解析】 根據(jù)題意得 故選 C 【答案】 C 10如圖，在 ， A 40， 垂直平分線 D 點，則 度數(shù)是 A 20 B 30 C 40 D 50 【考點】 線段的垂直平分線 【試題解析】 根據(jù)題意得 A 40 0，又 N 交 0， 0故選 B 【答案】 B 11若分式 61a的值為正整數(shù)，則整數(shù) a 的值有 A 3 個 B 4 個 C 6 個 D 8 個 【考點】 分式的基本性質(zhì) 【試題解析】 根據(jù)題意得 的值為正整數(shù)， a+1 必定是可以整除 6 正整數(shù)， a+1=1， 2,3 或 6， a=0,1,2，或5故選 B 【答案】 B 12如圖，等腰三角形 底邊 為 4，面積是 16，腰 垂直平分線 別交 于 E， F 點若點 D 為 的中點，點 M 為線段 一動點，則 長的最小值為 A 6 B 8 C 10 D 12 【考點】 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 【試題解析】 根據(jù)題意得 ，等腰三角形 D=8， C，所以連接 得 M， M+D+M，當 為高 ， 長的最小值為=2+8=10故選 C 【答案】 C 二、填空題（本題共 24 分，每小題 3 分） 13當 x 時，分式1為 0 【考點】 分式的概念 【試題解析】 根據(jù)題意得分式分母不能為 0 ，所以分式的分子為 0時，即 x=0時，分式 值為 0 【答案】 14 分解因式： 2 4x y y 【考點】 因式分解 【試題解析】 根據(jù)題意得 【答案】 15 計算： 233 【考點】 分式的運算 【試題解析】 根據(jù)題意得 【答案】 16如果等腰三角形的兩邊長分別為 3 和 7，那么它的周長為 【考點】 等腰三角形 【試題解析】 根據(jù)題意得等腰三角形的另一邊可能為 7或 3，由于三角形的三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）可知，另一邊為 3不成立，所以另一邊只能為 7所以周長為 7+7+3=17 【答案】 17 17如圖， A 25， D 45，則 度數(shù)為 【考點】 三角形的性質(zhì)及其分類 【試題解析】 根據(jù)題意得 A 25， 5， D 45，70， 10 【答案】 110 18等式 2 2 2()a b a b 成立的條件為 【考點】 整式乘法 【試題解析】 根據(jù)題意得 ， 【答案】 19如圖， 在 ， 邊 的高， 分 點 E， 2， 5，則 面積 為 【考點】 三角形中的角平分線、中線、高線三角形的面積 【試題解析】 根據(jù)題意得 ，如圖，過 ， D=2（角平分線的性質(zhì)），又 5， 。 【答案】 5 20圖 1 是用繩索織成的一片網(wǎng)的一部分，小明探索這片網(wǎng)的結(jié)點數(shù)（ V），網(wǎng)眼數(shù)（ F），邊數(shù)（ E）之間的關(guān)系，他采用由特殊到一般的方法進行探索，列表如下： 特殊網(wǎng)圖 結(jié)點數(shù)（ V） 4 6 9 12 網(wǎng)眼數(shù)（ F） 1 2 4 6 邊數(shù)（ E） 4 7 12 表中“ ”處應填的數(shù)字為 ；根據(jù)上述探索過程，可以猜想 V ， F， E 之間滿足的等量關(guān)系為 ； 如圖 2，若網(wǎng)眼形狀為六邊形，則 V ， F， E 之間滿足的等量關(guān)系為 圖 1 圖 2 【考點】 定義新概念及程序 【試題解析】 根據(jù)題意可觀察得出“”處應填的數(shù)字為 17，根據(jù)規(guī)律觀察可得 【答案】 17， ， 三、解答題（本題共 16 分，每小題 4 分） 21計算 ： 10 14( 3 ) 32 【考點】 實數(shù)運算 【試題解析】 原式 2 【答案】 2 22 如圖， E 為 一點， 求證： 【考點】 全等三角形的判定全等三角形的性質(zhì) 【試題解析】 證明： C 在 【答案】見解析 23計算：223 4 2 21 1 2 1x x x 【考點】 分式的運算 【試題解析】 原式 . 【答案】 24解方程： 3111 【考點】 分式方程的解法 【試題解析】 方程兩邊乘以 ，得 解得 . 檢驗：當 時， 所以， 原分式方程的解為 【答案】 2 四、解答題（本題共 13 分，第 25 題 4 分，第 26 題 5 分，第 27 題 4 分） 25 已知 3，求 2 ( ) ( ) ( ) 2x y x y x y x 的值 【考點】 整式的運算 【試題解析】 原式 . 當 時， 原式 3. 【答案】 3 26北京時間 2015 年 7 月 31 日，國際奧委會主席巴赫宣布：中國北京獲得 2022 年第 24 屆冬季奧林匹克運動會舉辦權(quán)北京也創(chuàng)造歷史，成為第一個既舉辦過夏奧會又舉辦冬奧會的城市，張家口也成為本屆冬奧會的協(xié)辦城市 近期， 新建 北京至張家口 鐵路可行性研究報告已經(jīng)獲得國家發(fā)改委批復，同意新建北京至張家口鐵路，鐵路全長約 180 千米按照設計，京 張高鐵列車的平均行駛速度是普通快車的 ，用時比普通快車用時少了 20 分鐘，求高鐵列車的平均行駛速度 【考點】 分式方程的應用 【試題解析】 設普通快車的平均行駛速度為 時 ,則高鐵列車的平均行駛速度為 時 根據(jù)題意得 解得 經(jīng)檢驗， 是所列分式方程的解，且符合題意 【答案】 270千米 /時 27 已知：如 圖，線段 射線 于點 B （ 1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡（不寫作法） 在射線 作一點 C，使 作 角平分線交 D 點； 在射線 作一點 E，使 接 （ 2）在（ 1）所作的圖形中，猜想線段 數(shù)量關(guān)系，并證明 點】 角及角平分線尺規(guī)作圖 【試題解析】 （ 1） （ 2） 證明： 分 1 4 1 4 2 3 4 2 3， 3 4 1 3 【答案】見解析 五、解答題（本題共 11 分，第 28 題 5 分，第 29 題 6 分） 28如圖 1，我們在 2016 年 1 月的日歷中標出一個十字星，并計算 它的“十字差” （ 將十字星左右兩數(shù)，上下兩數(shù)分別相乘再將所得的積作差，稱為該十字星的“十字差” ） 該十 字星的十字差為1 2 1 4 6 2 0 4 8 ，再選擇其它位置的十字星，可以發(fā) 現(xiàn)“十字差”仍 為 48 （ 1）如圖 2，將正整數(shù)依次填入 5 列的長方形數(shù)表中，探究不同位置十字星的 “十字差” ，可以發(fā)現(xiàn)相應 的“十字差”也是 一個定值，則這個定值為 _ （ 2）若將正整數(shù)依次填入 k 列的長方形數(shù)表中（ 3k ），繼續(xù)前面的探究，可以發(fā)現(xiàn)相應 “十字差”為 與列數(shù) k 有關(guān)的定值，請用 k 表示 出這個定值，并證明你的結(jié)論 （ 3）如圖 3，將正整數(shù)依次填入三角形的數(shù)表中，探究不同十字星 的“十字差” ，若某個十字星中心的數(shù)在第 32 行，且其相 應的“十字差”為 2015，則這個十字星中心的數(shù)為_（直接寫出結(jié)果） 圖 1 圖 2 圖 3 【考點】 定義新概念及程序 【試題解析】 （ 1） ； （ 2） ； 證明：設十字星中心的數(shù)為 x，則十字星左右兩數(shù)分別為 ， ，上下兩數(shù)分別為 ，（ ） 十字差為 這個定值為 （ 3）觀察圖 3得，第 的數(shù)字多 2(第 n+1）排的數(shù)少 2n,設第 32 行某十字星中心的數(shù)為 x，則十字星左右兩數(shù)分別為 ， ，上下兩數(shù)分別為 x+64 . 十字差 【答案】（ 1） 24（ 2） （ 3） 976 29 數(shù)學老師布置了這樣一道作業(yè)題： 在 ， D 和點 A 在直線 同側(cè)， ， ， 120，連接 度數(shù) 小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當 90， 30時（如圖 1），利用軸對稱知識，以 連接 如圖 2） ， 然后利用 90， 30以及 等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題 圖 1 圖 2 （ 1）請結(jié)合小聰 研究問題的過程和思路， 求出這種特殊情況下 度數(shù)； （ 2）結(jié)合 小聰研究特殊問題的啟發(fā)，請解決數(shù)學老師布置的這道作業(yè)題 ； （ 3） 解決完老師 布置的這道作業(yè)題后，小聰進一步思考，當 點 D 和點 A 在直線 異側(cè)時，且 度數(shù)與（ 1）中相同，則 ， 滿足的條件為 _（直接寫出結(jié)果） 【考點】 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 【試題解析】 （ 1）如圖 ,作 B D 接 90， 45 30， 15 B D 15， B D 60 D D B D C， C 60 ， B C B C B C 30 30 （ 2）第一種情況：當 時 如圖 ,作 B D 接 180， 2 180 同（ 1）可證 ， B D ， D 60 以下同（ 1）可求得 30 第二種情況：當 時， 如圖 ,作 B D 接 180， 2 180 同（ 1）可證 ， B D ， D 60 D D B D C， C 60 同（ 1）可證 B C B C B C C 360， 2 B 60 360 B 150 150 （ 3） ， 或 ， 【答案】見解析 數(shù)學 參考 答案 、選擇題（本題共 36 分，每小題 3 分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A D A C A B C B B C 二、 填空題（本題共 24 分，每小題 3 分） 13 0x ； 14 ( 2)( 2)y x x； 15 269 16 17； 17 110； 18 0； 19 5； 20 17， 1V F E ， 1V F E 三、 解答題（本題共 16 分，每小題 4 分） 21 解： 原式 2 1 2 3 2 . 22 證明： C 在 , ,A C E B D B 23 解： 原式23 4 2 ( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x xx x x x x 2( 3 4 ) 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2x x xx x x 22 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2x x 11. 24 解： 方程兩邊乘以 ( 1)( 1)，得 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 )x x x x x . 解得 2x . 檢驗：當 2x 時， ( 1)( 1) 0 所以， 原分式方程的解為 2x 四、解答題（本題共 13 分，第 25 題 4 分，第 26 題 5 分，第 27 題 4 分） 25 解： 原式 2 2 2 2( 2 ) 2x x y y x y x 2( 2 2 ) 2x xy x . 當 3時， 原式 3. 26 解： 設普通快車的平均行駛速度為 x 千米 /時 ,則高鐵列車的平均行駛速度為 米 /時 根據(jù)題意得 1 8 0 1 8 0 11 解得 180x 經(jīng)檢驗， 180x 是所列分式方程的解，且符合題意 1 8 0 2 7 0x 答： 高鐵列車的平均行駛速度為 270 千米 /時 27 解： （ 1）（注：不寫結(jié)論不扣分） （ 2） 證明： 分 1 12 4 1 12 4 2 3 4 2 3， 3 12 4 1 3 五、解答題（本題共 11 分，第